线性代数习题选讲__第20讲 正定二次型与正定矩阵_

所以 BT AB 是实对称矩阵. 必要性 设 BT AB 为正定矩阵, 那么二次型
f ( X ) X T ( BT AB)X 是正定的.
如果r(B ) n, 那么齐次方程组 BX 0 有非零解 α.
于是
f (α) αT ( BT AB)α 0.
这与 f 是正定二次型相矛盾. 因此, r(B ) n.
证明 设
fi ( x1 , x2 , , xn ) bi1 x1 bi2 x2 bin xn ,
那么 f ( x1 , x2 ,
n
, xn ) fi2 f12 f22
i 1
fn2
( f1 , f2 ,
f1
,
fn
)
f2
.
(1)
fn
令
是 n元实向量. 因为
x1
Tn Tn1 Tn1 Tn2
Tn2 Tn3
T2 T1
1.
于是, Tn n 1. 因此,
n
n1 2n
.
▌
题 20.2 设 A是 m阶正定矩阵, B是 m n实矩阵. 证明
实对称矩阵 BT AB为正定矩阵的充分必要条件是 r(B ) n.
证明 显然 BT AB 是实矩阵. 因为 ( BT AB)T BT AT ( BT )T BT AB,
第 20 讲 正定二次型与正定矩阵
题 20.1 判断 n元二次型
n
n1
f (x1 , x2 , , xn ) xi2 xi xi1
i 1
i 1
是否为正定二次型.
解 n元二次型 f 的矩阵记为
1 1/2
1
/
2
1
An
.
1 1/ 2
1
/ 1
2
f 是正定二次型等价于 An 是正定矩阵. 下面计算 An 的行列式 n .
充分性 假设 | B | 0. 根据定理4.1, 齐次方程组 BX 0只有零解. 于是当 X 0时, 有 BX 0. 因此, 当 X 0时,
f X T ( BT B)X ( BX )T ( BX ) 0. 这说明 f 是正定二次型. ▌
题 20.4 设
A B
G
C
D
是正定矩阵, 其中 A是 m阶矩阵, D是 n阶矩阵. 证明
显然, 1 1, 2 3 / 4. 设 n 3.
1 1/2
1
/
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1/ 2
n det
1/2 1
第1行乘( 1/2)
加到第2行
1
1 1/ 2
0
3/4
1/ 2
det 1 / 2 1
第2行乘( 4/6) 加到第3行
1
1 1/ 2
0
3/4
1/ 2
det 0 4 / 6 1 / 2
充分性 设r(B ) n. 设实向量α 满足 f (α) αT ( BT AB)α ( Bα)T A( Bα) 0,
那么由 A是正定矩阵可知, Bα 0.
因为r(B ) n, 所以齐次方程组 BX 0只有零解. 于是 Bα 0意味着α 0. 这样我们就证明了满足 f (α) 0的实向量α只能是零向量. 这说明 f 是正定 二次型. 因此, 二次型
f ( X ) X T ( BT AB)X 的矩阵 BT AB是正定的. ▌
题 20.3 设 B (bij )是 n阶实矩阵,
n
f ( x1 , x2 , , xn ) (bi1 x1 bi2 x2
i 1
bin xn )2 .
证明 f 为正定二次型的充分必要条件是 | B | 0.
设α是任意m元非零实向量, 令
α
β
0
是 m n元实向量, 那么 β 0. 因为G 是正定矩阵, 所以,
αT
Aα
(αT
,
0)
A C
Bα
D
0
β TGβ
0.
因此, A是正定矩阵.
设γ 是任意 n元非零实向量, 令
0
δ
γ
是 m n元实向量, 那么 δ 0. 因为G 是正定矩阵, 所以,
1/2 1
第3行乘( 6/8) 加到第4行
1 1/ 2
0
3/4
1/ 2
det 0 4 / 6 1 / 2
0 5/8
1 3 4 n n1 4 6 2(n 1) 2n
n1. 2n
由此可得,
1
1
0,
2
3 4
0,
,
n
n1 2n
0.
于是由赫尔维茨定理可知, An 是正定矩阵. 因此, f 是正定二次型. ▌
xn
所以由等式(1)可知,
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ( f1 , f2 ,
f1
,
fn
)
f2
fn
( BX )T ( BX ) X T ( BT B)X .
必要性 设 f 是正定二次型, 那么当 X 0时, f X T ( BT B)X 0.
于是当 X 0时, BX 0. 这意味着齐次方程组 BX 0 只有零解. 根据定理4.1, | B | 0.
γT Dγ
(0,
γT
)
A C
B D
0 γ
δTGδ
0.
因此, D是正定矩阵.
(3) 由定理2.7可知,
Im
B
T
A1
0 A
I
n
BT
B D
Im 0
A1B
In
所以
A 0
D
0 BT
X
x2
xn
f1 f2
b11 x1 b21 x1
b12 x2 b22 x2
fn
bn1 x1 bn2 x2
b1n xn
b2n xn
bnn xn
b11 b12
b21
b22
bn1 bn2
BX ,
b1n b2n
x1 x2
bnn
说明
我们也可以用下面的方法求 An 的行列式 n .
1 1/2
1
/
2
1
n det
1 1/ 2
1
/ 1
2
2 1
1 2n
1
det
2
.
2 1
1 2
令
2 1
1
2
Tn det
,
2 1
12
那么Tn 是三对角矩阵的行列式. 显然, T1 2, T2 3. 设 n 3. 由例4.22可知, Tn 2Tn1 Tn2 . 由此可得
(1) AT A, DT D, BT C; (2) A, D都是正定矩阵;
(3) n阶矩阵 D BT A1B 是正定矩阵.
证明
(1)
因为G
A
C
B D
是正定矩阵,
所以G 是对称
矩阵, 即
A B T A B
C
D
C
D
.
又因为
A
B
T
AT
CT
C
D
BT
D
T
,
所以, AT A, DT D, BT C. (2) 因为G 是正定矩阵, 所以由第1小题可知, A, D都是 实对称矩阵.