高三数学二轮复习 专题八第一讲函数与方程思想

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2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间 的等量关系，建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用方程 的性质去分析、转化问题，使问题获得解 决．方程的思想是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的 观点观察处理问题．方程思想是动中求静， 研究运动中的等量关系．
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1．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc －1＝0，求a的取值范围．
解析 解法一 (函数思想) 由已知aa＋ ＋bb＋ c－c＝ 1＝00 ，得 b＋c－bc＋1＝0， 如果 c＝1，则 b＋1－b＋1＝0， 即 2＝0，不成立，因此 c≠1， 所以 b＝cc＋ －11，a＝11＋ －cc－c. 令 f(c)＝11＋ －cc－c＝－2＋(1－c)＋1－2 c，
以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，
也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点
问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数
f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系
十分重要．
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4．函数与方程思想解决的相关问题
(1)函数思想在解题中的应用主要表现在 两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、 解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范 围等问题；
（导学教程）2012届高三二轮专 题复习课件：专题八第一讲 函数
与方程思想
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第一讲 函数与方程思想
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函数与方程都是中学数学中最为重要的内 容．而函数与方程思想更是中学数学的一种 基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域， 在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考 查的重点．
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当 1－c＞0 时， f(c)≥－2＋2 1－c1－2 c＝－2＋2 2； 当 1－c＜0 时， f(c)≤－2－2 c－1c－2 1＝－2－2 2. 所以 a 的范围是 a≥－2＋2 2或 a≤－2－2 2. 解法二 (方程思想) 因为 b＋c＝－a，bc＝1－a. 所以 b，c 是方程 x2＋ax＋1－a＝0 的两根， 所以 Δ＝a2－4(1－a)≥0，即 Δ＝a2＋4a－4≥0， 解得 a≥－2＋2 2或 a≤－2－2 2.
1．函数的思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分 析和研究数学中的数量关系，建立函数关系 或构造函数，运用函数的图象和性质去分析 问题、转化问题，从而使问题获得解决．函 数思想是对函数概念的本质认识，用于指导 解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、 分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变 换等．
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函数与方程思想方法解决范围问题的技巧
1．此类题型在高考题中占较大的比重，且考查 的知识范围广，通常是某一个条件等式或某一个公 式中含有未知量，列出函数、不等式或方程(组)， 求解即可．
2．在解决此类型的问题时，一般会用到代数式 的变形，消元、换元、解方程、解不等式等基础知 识和基本方法．
3．此类问题通常可以转化为函数的值域问题， 方程的解的问题或不等式的解集问题．
【答案】 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
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首先明确本题是求x的取值范围，这里注 意另一个变量p，不等式的左边恰是关于p的 一次函数，因此依据一次函数的特性得到解 决．在含有多个字母变量的问题中，选准 “主元”往往是解题的关键．
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2．(2011·苏州模拟)若关于x的方程cos 2x
－2cos x＋m＝0有实数根，则实数m的取值范
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构造函数解决函数、不等式、方程问题
对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px＞4x＋ p－3恒成立的x的取值范围是________．
【解析】 x2＋px＞4x＋p－3 对于 0≤p≤4 恒成立可以 变形为 x2－4x＋3＋p(x－1)＞0 对于 0≤p≤4 恒成立，所以 一次函数 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3 在区间[0,4]上的最小值 大于 0，即xx22－－41x＞＋03＞0 ，所以 x 的取值范围是(－∞，－ 1)∪(3，＋∞)．
②在问题研究中通过建立函数关系式或构 造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的 有关性质，达到化难为易，化繁为简的目 的．
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(2)方程思想在解题中的应用主要表现在 四个方面：
①解方程或解不等式； ②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉 及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、 区间根、区间上恒成立等知识应用； ③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置 关系等； ④构造方程或Hale Waihona Puke Baidu等式求解问题.
围是解__析___原_方__程．可化为 m＝－cos 2x＋2cos x.
令 f(x)＝－cos 2x＋2cos x，
则
f(x)＝－2cos2x＋1＋2cos
x＝－2cos
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当且仅当 a－1＝a－4 1， 即 a＝3 时取等号． 又 a>3 时，(a－1)＋a－4 1＋5 是关于 a 的单调增函数． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 解法二 (看成不等式的解集)∵a，b 为正数， ∴a＋b≥2 ab，又 ab＝a＋b＋3， ∴ab≥2 ab＋3. 即( ab)2－2 ab－3≥0， 解得 ab≥3 或 ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.
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运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题
若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求 ab的取值范围．
【解析】 解法一 (看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3， ∴a≠1，∴b＝aa＋ －31，而 b>0，∴aa＋ －31>0， 即 a>1 或 a<－3，又 a>0，∴a>1，故 a－1>0. ∴ab＝a·aa＋ －31＝a－12＋a－5a1－1＋4 ＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9.
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3．函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函
数问题可以转化为方程问题来解决；方程问
题也可以转化为函数问题加以解决，如解方
程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不
等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的
正负区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可