线面的位置关系

线面的位置关系

线面的位置关系

二. 知识总结：

直线与平面的位置关系

1. 直线在平面内——直线与平面有无数个公共点

2. 直线在平面外

（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点

①直线与平面直交（垂直）

②直线与平面斜交（不垂直）

（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点

（一）直线与平面平行的判定和性质

1. 判定依据

（1）线面平行的定义

（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）（3）面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

2. 判定方法

（1）证明这直线与这平面没有公共点

（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行

（3）证明这直线所在平面与这平面平行

（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等

3. 性质

（二）直线和平面垂直的判定和性质

1. 知识提要

（1）直线和平面垂直的定义

如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。

（2）直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（3）两两平面垂直的性质定理

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2. 方法提要：判定直线垂直平面的方法

（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直

（2）证明这直线与平面的一条垂线平行

（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线

（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行

（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线

【典型例题】

[例1] 已知：正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且BM=AN，求证：MN//平面CED。

证明：连结AM并延长交CD于G，连结GE

由AB//CD

[例2] 设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R 分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：SA//平面PQR。

证：如图，设，则O为AC的中点，连结SO

设，由

取SC中点M，连结OM、KP

由

[例3] 正三棱柱中，。D、F分别为CC1­，A1B中点（1）证明：DF//平面ABC；

（2）证明：AF⊥BD；

（3）求平面A1BD与ABC所成的锐二面角

（1）证明：取AB中点M，连FM、CM（2）证明：

（3）法1：

法2：延长AC交A1D延长线于G，连BG，由CG=AC=BC 又AA1⊥面ABC为所求二面角平面角

[例4] 如图，在正三棱柱中，，求证：，。

证法1：如图，延长B1C1到，使，连结，则

在中，由

同理

证法2：（利用三垂线Th及其逆Th）

如图，取AB的中点为D，A1B1的中点为D1，则BD1//A1D

同理面A1B1BA

，同理A1C⊥BC1

[例5] 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，且PA=AB，C是圆周上一点（异于A、B），E是PB的中点，F是PC上的点，且AF⊥PC，求证：PB平面AEF。

证：

[例6] 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，作AE⊥SB 交SB于E，过E作EF⊥SC于F。

（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。

证明：（1）由已知，SA⊥平面AC（2）证明：

[例7] 斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成角，求异面直线与BC的距离。

解：由在面ABC上的射影H在的平分线上

连AH延长交BC于D，则AD是的平分线

作DE⊥AA1于E，则DE即异面直线AA1与BC的公垂线段

又由

∴

∴在中，

即与BC的距离为

[例8] 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG距离。

解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC

设，

到面EFG的距离与点B到面EFG距离相等点O到面EFG 的距离与B到面EFG的距离相等由

由GC=2，

，则

另法（体积变换）

解法2：设点B到面EFG的距离为，则为三棱锥B－EFG的高，由三棱锥与三棱锥为同一四面体，故它们体积相等，即：

而

故

所以，点B到平面EFG的距离为

小结：点到面的距离有直接和间接两类方法，直接法即作出点面垂线段并求它的长；而间接法是把点面距离看成一个几何体的高，再利用体积变换方法求出这个高的值，通常情况下，由于间接法无需确定垂足的位置，因此较为简便。

[例9] 如图，四棱锥中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为重心，则PG与底面所成角为（）A. B. C. D.

解：如图，由G为的重心，则为所求，，，，则，即，选B。

[例10] 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与所成的角都是的直线有且仅有（）

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

解：把直线分别平移至经过点P，即：过点P分别作直线，，