线面的位置关系

线面的位置关系
线面的位置关系
二. 知识总结：
直线与平面的位置关系
1. 直线在平面内——直线与平面有无数个公共点
2. 直线在平面外
（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点
①直线与平面直交（垂直）
②直线与平面斜交（不垂直）
（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点
（一）直线与平面平行的判定和性质
1. 判定依据
（1）线面平行的定义
（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）（3）面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
2. 判定方法
（1）证明这直线与这平面没有公共点
（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行
（3）证明这直线所在平面与这平面平行
（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等
3. 性质
（二）直线和平面垂直的判定和性质
1. 知识提要
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。

（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（3）两两平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2. 方法提要：判定直线垂直平面的方法
（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直
（2）证明这直线与平面的一条垂线平行
（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线
（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行
（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线
【典型例题】
[例1] 已知：正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且BM=AN，求证：MN//平面CED。

证明：连结AM并延长交CD于G，连结GE
由AB//CD
[例2] 设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R 分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：SA//平面PQR。

证：如图，设，则O为AC的中点，连结SO
设，由
取SC中点M，连结OM、KP
由
[例3] 正三棱柱中，。

D、F分别为CC1­，A1B中点（1）证明：DF//平面ABC；
（2）证明：AF⊥BD；
（3）求平面A1BD与ABC所成的锐二面角
（1）证明：取AB中点M，连FM、CM（2）证明：
（3）法1：
法2：延长AC交A1D延长线于G，连BG，由CG=AC=BC 又AA1⊥面ABC为所求二面角平面角
[例4] 如图，在正三棱柱中，，求证：，。

证法1：如图，延长B1C1到，使，连结，则
在中，由
同理
证法2：（利用三垂线Th及其逆Th）
如图，取AB的中点为D，A1B1的中点为D1，则BD1//A1D
同理面A1B1BA
，同理A1C⊥BC1
[例5] 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，且PA=AB，C是圆周上一点（异于A、B），E是PB的中点，F是PC上的点，且AF⊥PC，求证：PB平面AEF。

证：
[例6] 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，作AE⊥SB 交SB于E，过E作EF⊥SC于F。

（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。

证明：（1）由已知，SA⊥平面AC（2）证明：
[例7] 斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成角，求异面直线与BC的距离。

解：由在面ABC上的射影H在的平分线上
连AH延长交BC于D，则AD是的平分线
作DE⊥AA1于E，则DE即异面直线AA1与BC的公垂线段
又由
∴
∴在中，
即与BC的距离为
[例8] 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG距离。

解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC
设，
到面EFG的距离与点B到面EFG距离相等点O到面EFG 的距离与B到面EFG的距离相等由
由GC=2，
，则
另法（体积变换）
解法2：设点B到面EFG的距离为，则为三棱锥B－EFG的高，由三棱锥与三棱锥为同一四面体，故它们体积相等，即：
而
故
所以，点B到平面EFG的距离为
小结：点到面的距离有直接和间接两类方法，直接法即作出点面垂线段并求它的长；而间接法是把点面距离看成一个几何体的高，再利用体积变换方法求出这个高的值，通常情况下，由于间接法无需确定垂足的位置，因此较为简便。

[例9] 如图，四棱锥中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为重心，则PG与底面所成角为（）A. B. C. D.
解：如图，由G为的重心，则为所求，，，，则，即，选B。

[例10] 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与所成的角都是的直线有且仅有（）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
解：把直线分别平移至经过点P，即：过点P分别作直线，，
如果，则取；如果，则取。

这时，与相交于点P所成的两组对顶角分别等于和，记与所确定的平面为，那么，在平面内，过点P不存在与都成的直线。

过点P且与都成角的直线，必在面外且在内的射影必然平分所成的对顶角，这样的直线有且仅有2条，它们关于对称，所以，过点P与都成角的直线有且仅有2条，故选B。

若不变，将改为则答案A；若不变，将改为度，则答案为C；若不变，将改为，则答案为D。

[例11] 如图，斜三棱柱的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=，侧棱与底面成，，求与底面所成的角。

解：由AC⊥AB，AC⊥面面面ABC，故在底面ABC上的射影即AB所在直线。

过作交AB延长线于点O，连CO，则分别是与底面所成的角
∴，令，则，在中，
在中，由，
即
（舍）与底面所成角为
注：线面角取值范围，关键找到直线在面上的射影，一般先
找斜足，再找线上非斜足一点P在该平面内射影，连转化为平面角。

[例12] 三棱锥中底面ABC为边长为的正三角形，PA、PB 与底面均成角，PC与底面成角，求其体积。

解：设M是AB中点，由PA与PB与底面均成角，故PA=PB 面PCM面ABC⊥PCM
作PH⊥CM于H，则PH⊥底面ABC
则，，设，则
又
∴
∴或
当时，H=M ，
当时，，PH=，V=
【模拟试题】
一. 选择题
1. 两条直线与平面所成的角相等，则的位置关系（）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D.
以上都有可能
2. 空间两条直线平行的充分条件是（）
A. 平行于同一平面
B. 垂直于同一条直线
C. 与同一平面所成的角相等
D. 分别垂直于两个平行平面
3. 如果AP、BP、CP两两垂直，则P在平面ABC内的射影一定是△ABC的（）
A. 垂心
B. 内心
C. 外心
D.
重心
4. 下列命题中不正确命题的个数是（）
（1）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
（2）过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直；（3）过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直；
（4）若异面，过一定可作一个平面与b垂直。

（5）若异面，过不在上的点M，一定可以作一个平面与a、b都垂直
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成的角的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1、AB上的点，且∠NMC1=90°，则∠NMB1的大小是（）A. 大于90° B. 小于90° C. 90°
D. 不能确定
7. 已知PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、BB1的中点，则EF与对角面ACC1A1所成角为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 150°
9. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中，正确的是（）
A. 有且仅有一条直线与a、b都垂直；
B. 有一个平面与a、b都垂直；
C. 过直线有且仅有一个平面与b平行；
D. 过空间任意一点必可作一条直线与a、b都相交。

10. 已知直线不在平面内，那么下列命题正确的个数为
（）
（1）若不平行于，则不平行于内的任何直线；
（2）若平行于，则平行于内的所有直线；
（3）若平行于，则与垂直的任何直线与平面垂直；
（4）若垂直于内无数条直线，则必有⊥。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
11. 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，D 是EF的中点，现沿AE、AF和EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合，重合后变为G点，则四面体A—EFG中必有（）
A. AG⊥平面EFG
B. AD⊥平面EFG
C. GF⊥平面AEF
D. GD⊥平面AEF
12. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，则点E到AC边的距离为（）
A. B. C. D.
二. 填空题
13. 已知P是△ABC所在平面外一点，O是P在平面ABC 内的射影。

若PA=PB=PC，则点O是△ABC的。

14. 已知直线是平面的斜线，，与b所成的角为60°，b与在内的射影所成的角为45°，则与所成的角为。

15. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且PA⊥平面ABC，则点P到BC的距离为。

16. 已知A、B、C、D四点不共面，则与这四个点距离都相等的平面有个。

17. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，则
直线B1C1到平面A1BCD1的距离是。

18. 直角三角形的斜边AB在平面内，AC和BC与所成角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与所成的角为。

19. 已知正方形ABCD—A1B1C1D1棱长为，E是CC1中点，则BE与平面B1BD所成的角的余弦值是。

20. Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥，梯形ACDE，AC//DE，BE⊥AE，且AC=2，DE=1，则异面直线AE和BC的距离是。

【试题答案】
一. 选择题
1. D
2. D
提示：利用线面垂直的判定定理和性质定理。

3. A
4. D
提示：从（1）—（5）命题中，只有（3）为真命题，其余均为假命题。

5. B
提示：利用最小角定理和直线与平面所成角的范围为可得。

6. C
提示：利用三垂线定理的逆定理。

7. D
提示：如答图1，作CO⊥面PAB于O，连结PO
由∠CPA=∠CPB=60°，则PO为∠APB的平分线，∠APO=30°，∠CPO为所求线面角，由例4给出的关系式，有
图1
8. A
提示：如答图2，作FG//BD交AC于G，由BD⊥面ACC1A1，则FG⊥面ACC1A1，连结GE，则∠FEG为EF与对角面ACC1A1所成的角。

设正方体棱长为，则，，在Rt△FGE中，，故∠FEG=30°，选择A。

图2
9. C
提示：在上任取一点P，过P作，设与所确定的平面为，由，，则，可以证明这样的平面是惟一的。

事实上，假设过有平面满足，则根据例2的结论，直线b平行于与的交线，即，这
与异面矛盾。

10. B
提示：只有（1）是正确的。

由不平行于，又不在内，则与相交，因此不平行于内的任何直线。

11. A
提示：AG⊥GF，且AG⊥GE，则AG⊥平面EFG。

12. D
提示：如答图3，作DF⊥AC于F，连结EF，则EF⊥AC，即EF为E到AC的距离。

由Rt△CFD～Rt△CBA，
图3
二.
13. 外心
提示：利用射影长Th
14. 45°
提示：利用例4已证的公式，设与所成的角为，则，因此15.
提示：取BC中点M，连AM、PM，则由
，故PM为P到BC的距离
16. 7
提示：当平面的一侧有一点而另一侧有三点时，满足条件的平面有4个；当平面的两侧各有两个点时，满足条件的平面有3个。

因此，与A、B、C、D四点距离都相等的平面共有4+3=7个。

17.
提示：作B1E⊥A1B于E，则B1E⊥平面A1BCD1，即B1E 为直线B1C1­与平面A1BCD1的距离。

在
18. 60°
提示：如答图4，作CO⊥于O，∠CAO=30°，∠CBO=45°，∠CDO为CD与所成的角，设CO=x，则AC=2x，BC=，在Rt△ACB中
在Rt△COD中，，即∠CDO=60°
图4
19.
提示：如答图5，取F为AA1的中点，连结EF
设EF交OO1于M，则M为OO1中点，则∠EBM1为BE 与平面B1BD所成的角
在Rt△EBM中，，则
图5
20.
提示：如答图6
故CE为异面直线BC与AE的公垂线段
由DE=1，AC=2，∠DCA=90°，∠CEA=90°，则图6。