人教版高数必修四第3讲：诱导公式(教师版)
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诱导公式
1.理解四组诱导公式及其探究思路
2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。
（一）诱导公式
诱导公式一: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）
诱导公式二： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-）
ααtan tan(-=-）（其中Z ∈k ）
诱导公式三: ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）
ααπtan tan(-=-）（其中Z ∈k ）
诱导公式四：ααπ-sin sin(=+）
ααπ-cos cos(
=+） ααπtan tan(=+）
（其中Z ∈k ）
作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．
)
(2
由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；
中奇偶指的是
k k
π
类型一：利用诱导公式求值
例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）16
sin()3
π-
； （2）o cos(945)-. 解：（1）原式16443sin
sin(4)sin sin()sin 333332
πππππππ=-=-+=-=-+==. （2）原式o
o
o
o
o
o
cos945cos(2360225)cos225cos(18045)==⨯+==+=o
cos45-
2
2
=-
. 点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于
o 360，则再利用诱导公式化为o o (0,360)范围内的角的三角函数；若这时的角是o o (90,360)范围内
的角，再利用有关的诱导公式化为o o
(0,90)范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到
锐角再求值.
练习：求o
o
o
o
sin10sin(260)cos100cos(170)---的值. （答案：
1
sin cos αα
）
例2 (变式应用) 求o o o o o
sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值
思路：负角三角函数→正角三角函数→o 0～o
360角三角函数→锐角三角函数→求值. 解：原式
点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为o 360k α⋅+，o 180α±，o
360α-等形式，最后再利用诱导公式求解.
练习：求35463755tan()sin()cos tan
6366
ππππ
-
--. （答案：0） 提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.
例3 (综合应用) 已知o
1
cos(75)3
α-=-，且α为第四象限角，求o
sin(105)α+的值.
导思：（1）角o 75α-与角o
105α+有什么关系？ （2）o
sin(105)α+与o
sin(75)α-有什么关系？
（3）已知o
cos(75)α-如何求o
sin(75)α-？应注意什么问题？
解：由题意知o
75α-为第三象限角，故o
2
o
2
1sin(75)1cos (75)1()3
αα-=---=---
223=-
，故o o o o
22sin(105)sin[180(75)]sin(75)3
ααα+=+-=--=. 点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即o
75α-的范围的确定，应注意到已知条件o
1
cos(75)3
α-=-中的隐含信息.
练习：若o
1cos(75)3
α+=
，且α为第三象限角，求o o
cos(15)sin(15)αα-+-的值. （答案：12233
--）
类型二：利用诱导公式化简三角函数式
例3(直接应用) 化简
cos()
2sin()cos(2)5sin()
2
π
απαπαπα-⋅-⋅-+. 解：原式2cos(
)sin 2sin cos sin cos sin cos sin(
)
2
π
αα
αααααπ
α
α-=
⋅⋅=
⋅⋅=+. 练习：化简：sin(6)cos(10)tan()
cos()sin(8)tan(5)
παπααπαππαπα-+---+-； （答案：1）
例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33n n n ππππ+⋅+∈. 解：当n 为奇数时，原式24sin (cos )sin()[(cos()]sin cos 333333
ππππππππ=-=--+= 313
224
=
⋅=.