(优选)电磁场课后习题详解.

第 二 章 恒定电场
2-1电导率为 的均匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为 0 cos ，其
中 r, , 是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度 J 。
解： 利用 J 与 E的关系，再利用 E和 的关系可以解决此问题。
E
(
r
er
1 r
e
1
r sin
e )
1 r
0
sin e
J
C1
U (1
1)
5.95
4 2
C3
1 2
C1
32.26
C2
U
2
C1
20.65
C4 0
由此可得弧片内的电位分布为
1 5.95 20.65 V
2 32.26 V
⑵
E
1
e
再利用分界面上电流密度的衔接条件
J1n J2n
弧片内的总电流
I
J dS
s
R2 R1
C1 1
dd
C11d ln
a (3Ar2 ) 4 r2dr
00
12 A a5t
5
故 Q 24 Aa5
t
2-4 同轴线内、外导体半径分别为 a和 b ，期间充填介质的电导率为 ，内、外
导体间的电压为 U 0，求此同轴线单位长度的功率损耗。
解： 在 a b的范围内，选一个单位长度的圆柱面，假设通过其上的漏电流
为 I0，可以得到
只与坐标 有关，而与坐标 无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其
边值问题为
21
1
2
21 2
0
R1
R2，4
22212 Nhomakorabea22 2
0
R1
R2，0
4
1 U 2
2 0 0
1 2
4
4
1
1
4
2
2
4
其通解可写为
1 C1 C2 2 C3 C4
利用边界条件，决定待定系数可得
2
U
2 0
ln b
a
此题也可以用建立圆柱内电位函数 所满足的边值问题，求解出电位函数
后，利用 E 求出圆柱内的电场强度，后面求解可与以上方法相同，
也可以求出单位长度圆柱的电导或电阻，利用
P
G0U
2 0
或
解。
P
U
2 0
R0
去求
2-5 内、外导体的半径分别为 R1 ，R2的圆柱形电容器，中间的非理想介质的导
I0
J dS 2 J
s
利用 E J ，得
J I0
2
E I0
2
由此可得
U0
E dl
l
b
Ed
I0
ln b
a
2 a
I0
2 U 0
ln b
a
圆柱体内的功率密度
J U0 ln b
a
E J J2
同轴线单位长度的功率损耗
P
pdV
V
2 0
b
U
2 0
a
ln
b 2 a
1
d d =
电率为
，若在内外导体间加电压
U
，求非理想介质中各点电位和电场强度。
0
解： 设两导体之间的楼电流为 I ，由于系统的周对称性，电流密度沿径向，且只
与 有关，由此可得
J
I
2l
e
式中 l 为圆柱的长度。
E
J
I
2
l
e
若以外导体为电位参考点，在 R1 R2 内，任一点的电位
R2 Ed I ln R2
解： 设两导体球间的漏电流为 I ，由于系统具有球对称性，电流密度沿径向，且
只与 r 有关。由此可得
I
J 4 r2 er
E
J
I
4
r2
er
若以外导体的电位为零，在 R1 r R2的非理想介质内任一点的电位
(r)
R2 r
Edr
I
4 r2
dr
I
4
(1 r
1 R2
)
已知内外导体间的电压为 U 0 ，可得
2 l
已知内外导体的电压为
U
，可得
0
U0
R2 Ed I ln R2
R1
2 l R1
由此可以得到非理想介质中各点的电位
电场强度
U0 ln R2
ln
R2
R1
E( )
U0
ln R2
e
R1
2-6 球形电容器的内外半径分别为 R1，R2 ，中间理想介质的电导率为 ，已
知内外导体间电压为 U 0 ，求非理想介质中各点的电位和电场强度。
U0
R2 Edr I ( 1 1 )
R1
4 R1 R2
由此可得非理想介质中任一点的电位
电场强度
(r) R1R2U0 (1 1 )
R2 R1 r R2
E(r)
R1 R2U 0 (R2 R1)r2
er
2-7 有两块不同电导率薄钢片构成一导电弧片，如图所示。
若 1 6.5107S/m， 2 1.2107S/m，R2 45cm，R1 30cm，
E
r
0
sin
e
2-2一半径为 a 的均匀带点球，带电总量为Q，该球绕直径以角速度 旋转。
求：⑴球内各处的电流密度 J ；⑵通过半径为 a 的半圆的总电流。
解： ⑴以球心为原点，旋转轴为Z轴建立坐标系。球内任一点距球心 r处，与Z轴 的夹角为 ，该点运动的线速度为
v r sin e
带电球的电荷体密度为
§电磁场课后习题
目
录
第 二 章 恒定磁场
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13
第 三 章 恒定磁场 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18
厚度为 2mm，电极间电压 U=30V，且 电极 1 。 求：⑴弧片内的电位分布（设 x 轴上的电极为零电位）;
⑵总电流I和弧片电阻R；
⑶在分界面上 D，E ，J 是否发生突变；
⑷分界面上的电荷面密度 。
解： ⑴因为 电极 1 ，电极表面可视为等位面，有对称性分析，电流密度线
式沿图示 e 方向，即垂至于电极表面，而等位线垂至于 E 线（即 J 线），因此
R2 R1
3.137 105A
式中 d 2mm，是薄钢片的厚度。
弧片的电阻
R U 9.56105 I
⑶利用分界面上的衔接条件 J1n J2n 0，则电流密度在分界面上保持连续，
没有突变。
因 2 E2 1E1 0 ，1 2，故电场强度在分界面上不连续，有突变。又因
Q 3Q 4 a3 4 a3
3
J
v
3Qr sin 4 a3
e
⑵利用 J与 I 的关系可得
I
J dS
S
0
a 0
3Qr sin 4 a3
rdrd
Q 2
2-3 已知某一区域中在给定瞬间的电流密度
J A(x3ex y3e y z3ez )
其中 A为常数。求：⑴此瞬间点 (1, 1, 2)处电荷密度的变化率
；⑵求此时
t
以原点为球心， a 为半径的球内总电荷的变化率 dQ。
dt
解： ⑴利用电荷守恒定律的微分形式
J
t
A(x3
y3
z3 )
A(3x2
3y2
3z2)
3 Ar 2
t
x y z
对点 (1, 1, 2)，其电荷密度的变化率为
⑵ 因为
18A
t
ta
Q 0 0 dVdt
所以
Q
t
dt