第三讲 资本市场均衡
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f rp
rf
A
C
M
rf A
C
双曲线的渐进线
E (rp ) A D (rp ) C C
rf A
C
与射线 rf H ( rp )
重合
这里我们只考虑 rf A 的上半支射线 C 情况； 因为： rf A 和 rf A 不是风 C C
险厌恶者的投资行为。 并且 C 和 rf A C 支射线与市场出清条件相违背。
在金融市场中有无套利假设，即不存在任何套 利机会，也就是说无钱投入就无钱产出，这是现代 金融理论的一条公理，这条公理只有在非常理想的 市场中存在。无套利假设可看作市场是否有效的标 志，套利机会很多的市场显然是不稳定的市场，在 这样的市场定价问题不可能有稳定的解，而定价问 题作为理论问题研究时，必须要求市场有无套利假 设。
E ( F ) 0, E ( i ) 0,cov( F , i ) 0
2
cov( i , j ) 0
E ( i ) i2 2 E ( Fk2 ) 1
当投资者具有套利机会时，他们会构造套 利组合以增加财富
市场中有无限多类资产，证券种类N远远 大于因子数K. 市场中不存在任何套利机会（无套利假设）
T w E ( r ) w E (ri ) 0 i i i 1 n
这等价于，只要
对于任意的W，必然有
w 1,w k , k 1,..., K
w E(ri )
又由于非零向量1, k 线性无关，则E(ri) 必定落在由1, k 张成的向量空间Rk+1中，也就是 存在一组不为零的数 1 , 2 ...k 使得
E(ri ) 0 1 1i1 2 i 2 ,..., k ik
理解：E(ri)必须落在Rk+1空间中，才能必然成立
w E(ri )
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴 含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的 二维空间上，d可以由a、b线性表示！
3、套利机会、套利组合
如果经济中存在满足以下条件之一的资产组合，就 称经济中存在套利机会 证券市场上存在一个有着正值的未来收益但现时价 格至少为零的证券组合——这称为第一类套利或套 利。（或者套利是一个证券组合 ，它满 足: 1T 0 ，同时 X 0 ) 证券市场上至少存在一个有着正值的未来收益但却 有现时价格严格为负的证券组合——这称为第二类 套利或强套利。 （或者强套利是一个证券组合 它满足 1T 0 同时 X 0 ）
（1）在线性因素模型中有多个因素，并且不含扰动项：
ri i i , k Fk
K
投资组合或一个证券的总的风险补偿应当是投资者承受 宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种 宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素的贝塔值 乘以该因素的因素组合的风险补偿。 E ( ri* ) rf i11 i 22 .... ik k
二、资本市场均衡机制是怎样的
资本市场的风险收益权衡的竞争均衡与新 古典一般均衡同出一脉，但由于金融商品 及其环境的特殊性产生了一些新特点。二 者最大的区别是由于研究对象的不同，而 使资本市场均衡分析是在不确定性条件下， 以预期效用函数来解决消费选择，研究金 融市场的理性预期均衡。 而由于金融商品及其环境的特殊性产生的 无套利均衡机制是金融经济学要研究的资 本市场的特殊均衡机制。
f
四、资本市场的无套利均衡——APT
1、无套利假设
1958 年 Modigliani 和 Miller 开始提出无套 利假设作为“公理”来作为金融资产定价的出 发点。从此就出现了“无套利定价论” 在金融经济学中，对于市场均衡时的定价分析， 无套利均衡分析扮演着更为重要的角色。无套 利条件既是一种核心假设，也是一种基本分析 方法。无套利均衡成为资本市场均衡的一种新 概念。
k 1
或
* E ( rp ) rf p11 p 22 .... pk k
E (r )
* p n
* w E ( r i i) i 1
n
p wi i
i 1
证明
命题 ：假设n种资产其收益率k个因子决定 （K<N），即
ri E (ri ) ik Fk
第一个条件： w
1
w2 w3 ... wn 0 0, k 1, 2,3,...k
，N需大于K，
pk 第二个条件：
即：
W1β11+ W2β21+ W 3β31+…+ W NβN1=0
W1β12+ W2β22+ W 3β32+…+ W NβN2=0
· · · · · · · ·
套利组合
设市场有N种证券，Wi表示投资者对证券持有权数的 变化。根据套利的定义，套利有自融资功能，套利组合 中买入证券所需资金由卖出证券获得。根据套利的定义， 如果一个证券组合满足下列三个条件，则者证券组合就 是套利证券组合： 套利的初始价格为零 套利组合收益不承担风险，对任何因素的敏感性为零， 即 Pk 0 ，k=1,2,..K N需大于K， 套利须获得正的收益。
2、供需均衡 3、纯交换经济下证券市场均衡条件 4、风险收益权衡的资本市场均衡 ——资本市场线
假设无摩擦的证券市场有N种风险资产和一 种无风险资产。以rf表示无风险资产的利率， 设p是由N+1资产组成的前沿证券组合， wp是N种风险资产的证券组合的权重的N维 向量，则wp是如下规划的解：
1 T min w Qw 2 s.t. wT e (1 wT 1)rf E (rp )
4、无套利均衡定价及其证明
APT模型有以下假设： 市场是完全竞争的、无摩擦的，没有交易成本 投资者并有相同的投资理念，任何证券的回报率 满足K因子模型
ri E (ri ) i1 F 1 i 2 F 2 ..... ik F k i ,
条件是
(i 1, 2,..., N , k 1, 2, 3,...K , N K )
求解有以下有关投资组合的收益与风险的关 系：
(rp )
E (rp ) rf H
如果
E(rp ) rf E(rp ) rf
(rp )
E (rp ) rf H
rf A
C
M
A C
rf
以rf 为端点的 射线是rf H (rp )
rf A
C
射线 r H ( ) 的 是投资者卖空切 点M投资与无风 险资产的组合， 下半支无效
k
n i 1 T w w 1 0 i i1 i 1 n T w w 2 0 i i 2 i 1 n T w w k 0 i ik i 1
T w w i 10
（ 2）
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（1）和（2）成立，则蕴含(followed)
rf A
的下半
资本市场线
E rP rF
E (rM )பைடு நூலகம் rF
M
p
5、资本市场均衡时的均衡定价——证券市场线
E (ri ) rF [ E (rM ) rF ]i
im ( i 2 ) m
之所以说切点M(即e点)所代表的资产组 合就是有风险资产的市场组合，是因为： 任何市场上存在的资产必须被包含在M 所代表的资产组合里。不然的话，因为理 性的投资者都会选择r M射线上的点作为自 己的投资组合，不被M所包含的资产（可 能由于收益率过低）就会变得无人问津， 其价格就会下跌，从而收益率会上升，直 到进入到M所代表的资产组合。
通过其它资产的价格来推断某一资产的价格，其逻 辑出发点是功能完好的证券市场不存在无风险套利 机会，如果两种证券能够提供投资者同样的收益， 那么它们的价格一定相等，即所谓的“一价原 则” 。 无套利假设类似于普通商品定价问题中的“无投入 就无产出”假设。由于在金融市场中最后都会以钱 来结算，所以投入和产出都将是钱。所谓无套利假 设就是“无钱投入就无钱产出”。这就是现代理论 金融经济学中的一条“公理”。
W1β1K+ W2β2K+ W 3β3K+…+ W NβNK=0
这时满足这两个等式的任何一组解将成为潜 在的套利组合，即满足自融资和无风险套利 条件。
第三个条件：
w1E (r 1 ) w2 E (r 1 ) w3 E (r 1 ) ... wn E (r 1) 0
因此，当一个组合满足上述三个方程时，便 存在一个能获得净投资为零的不承担风险的正 的收益的套利组合。
均衡定价方法
均衡定价或绝对定价法的条件是： 交换经济 初始财富 投资者个体偏好 财富约束下的期望效用最大 结果是： 当每个投资者预期效用最大化时，没有动 力通过买卖证券增加自己的效用时，市场 达到均衡，此时的证券价格是均衡价格。 （如CAPM)
无套利均衡定价（如APT）
“传统”的定价理论应该建立在一般经济均 衡的框架中。但是由于金融市场的最主要的 特征在于未来的不确定性，沿“均衡定价论” 的道路前进步履十分艰难。 1958 年 Modigliani 和 Miller 开始提出 无套利假设作为“公理”来作为金融资产定 价的出发点。从此就出现了“套利定价论”。
一、经济学中的均衡
1769 年詹姆斯 · 斯图亚特在经济学中第一次使 用这一概念。 马克鲁普给出的定义是：“由经过选择的相互联 系的变量所组成的群集，这些变量的值已经经过 相互调整，以致在它们所构成的模型里任何内在 的改变既定状态的倾向都不占优势” 经济学上的均衡概念不单单强调一种相对稳定的 状态，同时经济均衡概念包含有期望特征，追求 自身福利最大化的个人通过市场的作用最终能达 到和谐的平衡状态，即经济学中的均衡点均是在 一定约束条件下的效用最大值点。 均衡本身就意味着一种次序，是一种排列中的最 优选择，这显然与理性概念有关.
套利力量的作用消除了无风险套利机会所建立市场均 衡就是无套利均衡。它仅与一组维持了市场没有套利 机会的价格有关，这组价格就是无套利均衡价格。 无套利均衡本质上也由供需作用造成，但它与一般商 品市场的供需均衡有两点很大的特殊性，一是无风险， 二是自融资。 只要出现套利机会，所有的市场参与者都会进行套利 活动，套取无风险利润。套利机会消除后的市场均衡 与市场参与者的偏好无关——这是金融市场均衡最本 质的特征。
无套利假设及其定价的几个层次
1、假设：未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价。 定价法则：可定价法则，则即一价律。 存在定价函数P:L R 2、假设：组合的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和。 定价法则:线性定价法则， 是线性函数，即对于任何实数
和
3、假设：未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱 定价法则：正线性定价法则 是正线性函数，即当 时， 这里y>0表示y为非负 随机变量，并且它为正的概率大于零。
k 1
K
其中，i=1,2,…,n ，k=1,2,…,K，则
E (ri ) 0 ik k
k 1
K
0 , 1,..., j为常数
证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无 （ 1） n 风险的组合，即 wi满足下列条件
零投资
无风险
k=1,2,…,K)线性无关。 即，1、（
2、无套利均衡 无套利假设存在的金融市场就是一个金融市场无套 利均衡状态，即套利力量的作用消除了无风险套利 机会所建立市场均衡状态套利。 套利定价理论要研究的无套利假设存在的金融市场 无套利均衡定价问题,需要分析以下几个相关联的问 题： 第一，实际市场是否达到均衡状态？ 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者将如何行动？ 第三，投资者的行动将如何影响市场，最终使市场达到 均衡？ 第四，均衡状态下，证券期望收益由什么决定？
rf
A
C
M
rf A
C
双曲线的渐进线
E (rp ) A D (rp ) C C
rf A
C
与射线 rf H ( rp )
重合
这里我们只考虑 rf A 的上半支射线 C 情况； 因为： rf A 和 rf A 不是风 C C
险厌恶者的投资行为。 并且 C 和 rf A C 支射线与市场出清条件相违背。
在金融市场中有无套利假设，即不存在任何套 利机会，也就是说无钱投入就无钱产出，这是现代 金融理论的一条公理，这条公理只有在非常理想的 市场中存在。无套利假设可看作市场是否有效的标 志，套利机会很多的市场显然是不稳定的市场，在 这样的市场定价问题不可能有稳定的解，而定价问 题作为理论问题研究时，必须要求市场有无套利假 设。
E ( F ) 0, E ( i ) 0,cov( F , i ) 0
2
cov( i , j ) 0
E ( i ) i2 2 E ( Fk2 ) 1
当投资者具有套利机会时，他们会构造套 利组合以增加财富
市场中有无限多类资产，证券种类N远远 大于因子数K. 市场中不存在任何套利机会（无套利假设）
T w E ( r ) w E (ri ) 0 i i i 1 n
这等价于，只要
对于任意的W，必然有
w 1,w k , k 1,..., K
w E(ri )
又由于非零向量1, k 线性无关，则E(ri) 必定落在由1, k 张成的向量空间Rk+1中，也就是 存在一组不为零的数 1 , 2 ...k 使得
E(ri ) 0 1 1i1 2 i 2 ,..., k ik
理解：E(ri)必须落在Rk+1空间中，才能必然成立
w E(ri )
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴 含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的 二维空间上，d可以由a、b线性表示！
3、套利机会、套利组合
如果经济中存在满足以下条件之一的资产组合，就 称经济中存在套利机会 证券市场上存在一个有着正值的未来收益但现时价 格至少为零的证券组合——这称为第一类套利或套 利。（或者套利是一个证券组合 ，它满 足: 1T 0 ，同时 X 0 ) 证券市场上至少存在一个有着正值的未来收益但却 有现时价格严格为负的证券组合——这称为第二类 套利或强套利。 （或者强套利是一个证券组合 它满足 1T 0 同时 X 0 ）
（1）在线性因素模型中有多个因素，并且不含扰动项：
ri i i , k Fk
K
投资组合或一个证券的总的风险补偿应当是投资者承受 宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种 宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素的贝塔值 乘以该因素的因素组合的风险补偿。 E ( ri* ) rf i11 i 22 .... ik k
二、资本市场均衡机制是怎样的
资本市场的风险收益权衡的竞争均衡与新 古典一般均衡同出一脉，但由于金融商品 及其环境的特殊性产生了一些新特点。二 者最大的区别是由于研究对象的不同，而 使资本市场均衡分析是在不确定性条件下， 以预期效用函数来解决消费选择，研究金 融市场的理性预期均衡。 而由于金融商品及其环境的特殊性产生的 无套利均衡机制是金融经济学要研究的资 本市场的特殊均衡机制。
f
四、资本市场的无套利均衡——APT
1、无套利假设
1958 年 Modigliani 和 Miller 开始提出无套 利假设作为“公理”来作为金融资产定价的出 发点。从此就出现了“无套利定价论” 在金融经济学中，对于市场均衡时的定价分析， 无套利均衡分析扮演着更为重要的角色。无套 利条件既是一种核心假设，也是一种基本分析 方法。无套利均衡成为资本市场均衡的一种新 概念。
k 1
或
* E ( rp ) rf p11 p 22 .... pk k
E (r )
* p n
* w E ( r i i) i 1
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i 1
证明
命题 ：假设n种资产其收益率k个因子决定 （K<N），即
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第一个条件： w
1
w2 w3 ... wn 0 0, k 1, 2,3,...k
，N需大于K，
pk 第二个条件：
即：
W1β11+ W2β21+ W 3β31+…+ W NβN1=0
W1β12+ W2β22+ W 3β32+…+ W NβN2=0
· · · · · · · ·
套利组合
设市场有N种证券，Wi表示投资者对证券持有权数的 变化。根据套利的定义，套利有自融资功能，套利组合 中买入证券所需资金由卖出证券获得。根据套利的定义， 如果一个证券组合满足下列三个条件，则者证券组合就 是套利证券组合： 套利的初始价格为零 套利组合收益不承担风险，对任何因素的敏感性为零， 即 Pk 0 ，k=1,2,..K N需大于K， 套利须获得正的收益。
2、供需均衡 3、纯交换经济下证券市场均衡条件 4、风险收益权衡的资本市场均衡 ——资本市场线
假设无摩擦的证券市场有N种风险资产和一 种无风险资产。以rf表示无风险资产的利率， 设p是由N+1资产组成的前沿证券组合， wp是N种风险资产的证券组合的权重的N维 向量，则wp是如下规划的解：
1 T min w Qw 2 s.t. wT e (1 wT 1)rf E (rp )
4、无套利均衡定价及其证明
APT模型有以下假设： 市场是完全竞争的、无摩擦的，没有交易成本 投资者并有相同的投资理念，任何证券的回报率 满足K因子模型
ri E (ri ) i1 F 1 i 2 F 2 ..... ik F k i ,
条件是
(i 1, 2,..., N , k 1, 2, 3,...K , N K )
求解有以下有关投资组合的收益与风险的关 系：
(rp )
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如果
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rf A
C
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A C
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以rf 为端点的 射线是rf H (rp )
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C
射线 r H ( ) 的 是投资者卖空切 点M投资与无风 险资产的组合， 下半支无效
k
n i 1 T w w 1 0 i i1 i 1 n T w w 2 0 i i 2 i 1 n T w w k 0 i ik i 1
T w w i 10
（ 2）
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（1）和（2）成立，则蕴含(followed)
rf A
的下半
资本市场线
E rP rF
E (rM )பைடு நூலகம் rF
M
p
5、资本市场均衡时的均衡定价——证券市场线
E (ri ) rF [ E (rM ) rF ]i
im ( i 2 ) m
之所以说切点M(即e点)所代表的资产组 合就是有风险资产的市场组合，是因为： 任何市场上存在的资产必须被包含在M 所代表的资产组合里。不然的话，因为理 性的投资者都会选择r M射线上的点作为自 己的投资组合，不被M所包含的资产（可 能由于收益率过低）就会变得无人问津， 其价格就会下跌，从而收益率会上升，直 到进入到M所代表的资产组合。
通过其它资产的价格来推断某一资产的价格，其逻 辑出发点是功能完好的证券市场不存在无风险套利 机会，如果两种证券能够提供投资者同样的收益， 那么它们的价格一定相等，即所谓的“一价原 则” 。 无套利假设类似于普通商品定价问题中的“无投入 就无产出”假设。由于在金融市场中最后都会以钱 来结算，所以投入和产出都将是钱。所谓无套利假 设就是“无钱投入就无钱产出”。这就是现代理论 金融经济学中的一条“公理”。
W1β1K+ W2β2K+ W 3β3K+…+ W NβNK=0
这时满足这两个等式的任何一组解将成为潜 在的套利组合，即满足自融资和无风险套利 条件。
第三个条件：
w1E (r 1 ) w2 E (r 1 ) w3 E (r 1 ) ... wn E (r 1) 0
因此，当一个组合满足上述三个方程时，便 存在一个能获得净投资为零的不承担风险的正 的收益的套利组合。
均衡定价方法
均衡定价或绝对定价法的条件是： 交换经济 初始财富 投资者个体偏好 财富约束下的期望效用最大 结果是： 当每个投资者预期效用最大化时，没有动 力通过买卖证券增加自己的效用时，市场 达到均衡，此时的证券价格是均衡价格。 （如CAPM)
无套利均衡定价（如APT）
“传统”的定价理论应该建立在一般经济均 衡的框架中。但是由于金融市场的最主要的 特征在于未来的不确定性，沿“均衡定价论” 的道路前进步履十分艰难。 1958 年 Modigliani 和 Miller 开始提出 无套利假设作为“公理”来作为金融资产定 价的出发点。从此就出现了“套利定价论”。
一、经济学中的均衡
1769 年詹姆斯 · 斯图亚特在经济学中第一次使 用这一概念。 马克鲁普给出的定义是：“由经过选择的相互联 系的变量所组成的群集，这些变量的值已经经过 相互调整，以致在它们所构成的模型里任何内在 的改变既定状态的倾向都不占优势” 经济学上的均衡概念不单单强调一种相对稳定的 状态，同时经济均衡概念包含有期望特征，追求 自身福利最大化的个人通过市场的作用最终能达 到和谐的平衡状态，即经济学中的均衡点均是在 一定约束条件下的效用最大值点。 均衡本身就意味着一种次序，是一种排列中的最 优选择，这显然与理性概念有关.
套利力量的作用消除了无风险套利机会所建立市场均 衡就是无套利均衡。它仅与一组维持了市场没有套利 机会的价格有关，这组价格就是无套利均衡价格。 无套利均衡本质上也由供需作用造成，但它与一般商 品市场的供需均衡有两点很大的特殊性，一是无风险， 二是自融资。 只要出现套利机会，所有的市场参与者都会进行套利 活动，套取无风险利润。套利机会消除后的市场均衡 与市场参与者的偏好无关——这是金融市场均衡最本 质的特征。
无套利假设及其定价的几个层次
1、假设：未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价。 定价法则：可定价法则，则即一价律。 存在定价函数P:L R 2、假设：组合的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和。 定价法则:线性定价法则， 是线性函数，即对于任何实数
和
3、假设：未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱 定价法则：正线性定价法则 是正线性函数，即当 时， 这里y>0表示y为非负 随机变量，并且它为正的概率大于零。
k 1
K
其中，i=1,2,…,n ，k=1,2,…,K，则
E (ri ) 0 ik k
k 1
K
0 , 1,..., j为常数
证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无 （ 1） n 风险的组合，即 wi满足下列条件
零投资
无风险
k=1,2,…,K)线性无关。 即，1、（
2、无套利均衡 无套利假设存在的金融市场就是一个金融市场无套 利均衡状态，即套利力量的作用消除了无风险套利 机会所建立市场均衡状态套利。 套利定价理论要研究的无套利假设存在的金融市场 无套利均衡定价问题,需要分析以下几个相关联的问 题： 第一，实际市场是否达到均衡状态？ 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者将如何行动？ 第三，投资者的行动将如何影响市场，最终使市场达到 均衡？ 第四，均衡状态下，证券期望收益由什么决定？