最新2控制系统的数学模型汇总
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.什么是线性方程？
－由线性微分方程描述的系统。
2.线性方程的性质：
若f1（t）→c1（t），f2（t）→c2（t）； 则a1f1（t）+a2f2（t）→a1c1（t）+a2c2（t） (1)、可叠加性 (2)、均匀性
chpt2*
6
3. 线性系统的应用 （1）多个外作用产生的响应可通过逐个外作 用响应的叠加。 （2）零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 （3）系统对输入和干扰分别研究
2控制系统的数学模型
4. 建立控制系统的数学模型的工具
（1）微分方程 （2）差分方程 （3）传递函数 （4）结构图和信号流图 （5）实验所得的频率特性 （6）其它数学工具
2
§2-1控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
L
R
例2-3（图2-3）
Ur(t)
C
U0(t)
步骤： （1）确定输入量和输出量； （2）列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。
13
五. 非线性微分方程的线性化
•非线性元件线性化 •切线法（小偏差法）
步骤： •先写出非线性函数：
yfx
•在平衡点附近用泰勒级数展开
y fx fx 0 d d x f x x 0 x x 0 2 1 ! d 2 d f( 2 x ) x x 0 (x x 0 ) 2
14
•将一阶导数项近似式代入方程
yfxfx0 dd x fx x0xx0
•写出增量线性化微分方程
令 y y y 0 f(x ) f(x 0 ) x , x x 0 ,K (d(x ) f/d )x 0 ,x 则 : y K x
略去增量符号，便得到函数 yf x
在工作点A附近的线性化方程：
适用于所有情况
chpt2*
8
例2－6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
【RLC无源网络微分方程】为：
L
R
Ld C 2 d u0 2 (tt)Rd C d 0(u t)tu0(t)ui(t) Ur(t)
（4）只有线形时不变微分方程才能运用 Laplace变换为代数方程。
7
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）
1·微分方程的解法 （1） 直接解析法（分离变量法）
适用于变量少量简单的情况 （2）Laplace变换解析法
仅适用于线形时不变情况 （3）状态转移矩阵法
仅适用于线形时不变情况 （4）数值法
y Kx
15
(例2-7)
chpt2*
16
续（例2-7）
chpt2*
17
五、运动的模态（振型）Mode
（1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n 阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的 运动形式。微分方程的通解是这些独立 解的线性组合。 （2）特征根与模态形式的关系
•与初始条件无关
•由初始条件产生的输 出分量
•与输入电压无关
零初始条件响应＋零输入响应＝单位阶跃响应
11
u(t) 1[U0(s)] Ui(s) 0.1s0.2 s2 s1 s2 s1
1[s((s0.5)12 0.8662)
0.1(s2) (s0.5)2 0.8662]
11.15e0.5t sin0(.86t6120)0.2e0.5t sin0(.86t630)
0.1s0.2
u0()
t
u0(t)
s0
sU0(s)
s0
s[
]1V
s(s2 s1) s2 s1
计算结果与时域表达式求得的数值一致。
12
2. 用Laplace变换求解线形定常微分方程的步骤归纳：
（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一
项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变 量s的代数方程； （2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表 达式，使之成为典型分式之和； （3）反变换得到输出量的时域表达式。
chpt2*
3
二、控制系统微分方程的建立
步骤： （1）由系统原理图画出系统方块图； （2）分别列写各元件（方块）的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。 注意： （1）信号传送的单向性； （2）后级对前级的负载效应。
chpt2*
4
图2-5速度控制系统
chpt2*
5
三、线性系统的特性
10
u(t) 1[U0(s)] 1[s2Ui(ss)10s.21ss0.12]
1[s((s0.5)12 0.8662)
0.1(s2) (s0.5)2 0.8662]
11.15e0.5t sin0(.86t6120)0.2e0.5t sin0(.86t630)
零初始条件响应
零输入响应
•由输入电压产生的输 出分量
利用Laplace变换的初值定理和终值定理，可以直接计算出 u0(t)的初始值和终值。
当ui (t) 1(t)时， u0(t)的初始值为：
lim lim lim u0(0)
t0
u0(t)
s
sU0(s)
s
s[
1
0.1s0.2]0.1V
s(s2 s1) s2 s1
u0(t)的终值为：
lim lim lim 1
2)
(s
0.1(s 2) 0.5) 2 0.866
2
对上式进行 Laplace 反变换，得网络的单位 阶跃响应：
u (t )
1[U 0 ( s )]＝ 1[ s (( s
1 0.5) 2
0.866
2)
(s
0 .1( s 0.5) 2
2) 0.866
2
]
1 1.15 e 0.5t sin( 0.866 t 120 ) 0.2e 0.5t sin( 0.866 t 30 )
U i (s) s2 s 1
0.1s 0.2 s2 s 1
因 u i (t ) 1V (突然加 1V相当于输入为单位阶跃 函数 ),
即U
i
(s)
1 ，待入整理： s
U 0 (s)
s(s 2
1 s 1)
0.1s 0.2 s2 s 1
U 0 (s)
s(( s
1 0.5) 2
0.866
令
Ui (s) [ui (t)] 且
U0 (s) [u0 (t)]
C
U0(t)
[
du0 (t dt
)
]
sU
0
(s)
u0
(0)
[
d
2u0 (t dt 2
)
]
s
2U
0
(s)
su0
(0)
wk.baidu.com
u0
'
(0)
9
其中：
u0'(0)dd 0u (t)tt0C 1i(t)t0C 1i(0)
待入整理得：
U 0 (s)
－由线性微分方程描述的系统。
2.线性方程的性质：
若f1（t）→c1（t），f2（t）→c2（t）； 则a1f1（t）+a2f2（t）→a1c1（t）+a2c2（t） (1)、可叠加性 (2)、均匀性
chpt2*
6
3. 线性系统的应用 （1）多个外作用产生的响应可通过逐个外作 用响应的叠加。 （2）零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 （3）系统对输入和干扰分别研究
2控制系统的数学模型
4. 建立控制系统的数学模型的工具
（1）微分方程 （2）差分方程 （3）传递函数 （4）结构图和信号流图 （5）实验所得的频率特性 （6）其它数学工具
2
§2-1控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
L
R
例2-3（图2-3）
Ur(t)
C
U0(t)
步骤： （1）确定输入量和输出量； （2）列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。
13
五. 非线性微分方程的线性化
•非线性元件线性化 •切线法（小偏差法）
步骤： •先写出非线性函数：
yfx
•在平衡点附近用泰勒级数展开
y fx fx 0 d d x f x x 0 x x 0 2 1 ! d 2 d f( 2 x ) x x 0 (x x 0 ) 2
14
•将一阶导数项近似式代入方程
yfxfx0 dd x fx x0xx0
•写出增量线性化微分方程
令 y y y 0 f(x ) f(x 0 ) x , x x 0 ,K (d(x ) f/d )x 0 ,x 则 : y K x
略去增量符号，便得到函数 yf x
在工作点A附近的线性化方程：
适用于所有情况
chpt2*
8
例2－6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
【RLC无源网络微分方程】为：
L
R
Ld C 2 d u0 2 (tt)Rd C d 0(u t)tu0(t)ui(t) Ur(t)
（4）只有线形时不变微分方程才能运用 Laplace变换为代数方程。
7
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）
1·微分方程的解法 （1） 直接解析法（分离变量法）
适用于变量少量简单的情况 （2）Laplace变换解析法
仅适用于线形时不变情况 （3）状态转移矩阵法
仅适用于线形时不变情况 （4）数值法
y Kx
15
(例2-7)
chpt2*
16
续（例2-7）
chpt2*
17
五、运动的模态（振型）Mode
（1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n 阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的 运动形式。微分方程的通解是这些独立 解的线性组合。 （2）特征根与模态形式的关系
•与初始条件无关
•由初始条件产生的输 出分量
•与输入电压无关
零初始条件响应＋零输入响应＝单位阶跃响应
11
u(t) 1[U0(s)] Ui(s) 0.1s0.2 s2 s1 s2 s1
1[s((s0.5)12 0.8662)
0.1(s2) (s0.5)2 0.8662]
11.15e0.5t sin0(.86t6120)0.2e0.5t sin0(.86t630)
0.1s0.2
u0()
t
u0(t)
s0
sU0(s)
s0
s[
]1V
s(s2 s1) s2 s1
计算结果与时域表达式求得的数值一致。
12
2. 用Laplace变换求解线形定常微分方程的步骤归纳：
（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一
项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变 量s的代数方程； （2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表 达式，使之成为典型分式之和； （3）反变换得到输出量的时域表达式。
chpt2*
3
二、控制系统微分方程的建立
步骤： （1）由系统原理图画出系统方块图； （2）分别列写各元件（方块）的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。 注意： （1）信号传送的单向性； （2）后级对前级的负载效应。
chpt2*
4
图2-5速度控制系统
chpt2*
5
三、线性系统的特性
10
u(t) 1[U0(s)] 1[s2Ui(ss)10s.21ss0.12]
1[s((s0.5)12 0.8662)
0.1(s2) (s0.5)2 0.8662]
11.15e0.5t sin0(.86t6120)0.2e0.5t sin0(.86t630)
零初始条件响应
零输入响应
•由输入电压产生的输 出分量
利用Laplace变换的初值定理和终值定理，可以直接计算出 u0(t)的初始值和终值。
当ui (t) 1(t)时， u0(t)的初始值为：
lim lim lim u0(0)
t0
u0(t)
s
sU0(s)
s
s[
1
0.1s0.2]0.1V
s(s2 s1) s2 s1
u0(t)的终值为：
lim lim lim 1
2)
(s
0.1(s 2) 0.5) 2 0.866
2
对上式进行 Laplace 反变换，得网络的单位 阶跃响应：
u (t )
1[U 0 ( s )]＝ 1[ s (( s
1 0.5) 2
0.866
2)
(s
0 .1( s 0.5) 2
2) 0.866
2
]
1 1.15 e 0.5t sin( 0.866 t 120 ) 0.2e 0.5t sin( 0.866 t 30 )
U i (s) s2 s 1
0.1s 0.2 s2 s 1
因 u i (t ) 1V (突然加 1V相当于输入为单位阶跃 函数 ),
即U
i
(s)
1 ，待入整理： s
U 0 (s)
s(s 2
1 s 1)
0.1s 0.2 s2 s 1
U 0 (s)
s(( s
1 0.5) 2
0.866
令
Ui (s) [ui (t)] 且
U0 (s) [u0 (t)]
C
U0(t)
[
du0 (t dt
)
]
sU
0
(s)
u0
(0)
[
d
2u0 (t dt 2
)
]
s
2U
0
(s)
su0
(0)
wk.baidu.com
u0
'
(0)
9
其中：
u0'(0)dd 0u (t)tt0C 1i(t)t0C 1i(0)
待入整理得：
U 0 (s)