完全平方公式(提高)知识讲解

完全平方公式（提高）
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2
222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，22
2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或
减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以
是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
1、分解因式：
（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+； （3）22222
16(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+． 【答案与解析】
解：（1）22222
3633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．
（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．
（3）2222216(4)x y x y -+
22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++--
22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．
（4）4224222222
816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．
（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．
【答案】
解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++ 22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．
（2）原式22
[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+- 22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．
2、（2016•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3．
【思路点拨】先提公因式ab ，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．
【答案与解析】
解：a 3b+2a 2b 2+ab 3
= ab （a 2+2ab+b 2）
= ab （a+b ）2
将a+b=3，ab=2代入得，ab （a+b ）2=2×32=18．
故代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值是18．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三：
【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4
234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.
【答案】
解：()()()()4
234x y x y x y x y y +++++ ()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++
令22
54x xy y u ++=
∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++
即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++
类型二、配方法分解因式
3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如： ()()()()
()()
222282118
19
1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？ 22
22()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.
【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.
【答案与解析】
解：如2252352333x x x x ⎛
⎫+-=+- ⎪⎝⎭
222555233663x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
25493636x ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2257366x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ 575736666x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ ()1323x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.
类型三、完全平方公式的应用
4、（2015春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中
有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x 2+6x ﹣2）
=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数
所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．
【答案与解析】
解：原式=3（x 2﹣2x+4）
=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）
=3（x ﹣1）2+9，
∵无论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为非负数，
∴（x ﹣1）2的最小值为0，此时x=1，
∴3（x ﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，
则当x=1时，原多项式的最小值是9．
【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.
【答案】
解：22216610a b c ab bc --++
()
()()
22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+-- 所以()()22
350a b b c +--= ()()22
35a b b c +=-
所以3(5)a b b c +=±-
所以28a c b b c a +==-或
因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，
所以8b c a b =-<，矛盾，舍去.
所以2a c b +=.
【变式2】（2015春•萧山区期中）若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013
﹣x ）2= ．
【答案】4032．
解：∵（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，
∴[（2015﹣x ）﹣（2013﹣x ）]2=（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2﹣2（2015﹣x ）（2013﹣x ）=4，
则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2=4+2×2014=4032．。