2021届新高考地区数学考点专练02 函数及其性质(解析版)

热点02 函数及其性质

纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法. 【考查题型】选择题，填空题，解答题 【满分技巧】

图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入.

零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题.

对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，

M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对

于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算.

恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若

)()(21x ≥g x f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可.

分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错.

函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想.

【常考知识】基本函数图像变换，奇偶性应用，周期性应用，单调性，不等式问题.

【限时检测】（建议用时：60分钟）

一、单选题

1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，

“12x x <”

是“12()()f x f x <”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分

C ．充分必要

D ．非充分非必要

【答案】C

【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.

【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；

当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.

综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C.

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．（2020·上海高三其他模拟）已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪

=⎨⎛⎫≤≤ ⎪

⎪⎝

⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足

()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）

A ．()60,96

B ．()45,72

C ．()30,48

D ．()15,24

【答案】B

【分析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．

【详解】函数()f x 的图象如下图所示：

若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<， 则101x <<，213x <<，

则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==， 则121=x x ，

同时()33,6x ∈，()412,15x ∈， ∵3x ，4x 关于9x =对称，∴

34

92

x x +=， 则3418x x +=，则4318x x =-，

则()1234343318x x x x x x x x ==-()2

2

33318981x x x =-+=--+，

∵()33,6x ∈， ∴()3445,72x x ∈， 即()123445,72x x x x ∈， 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型． 3．（2020·上海高三其他模拟）如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与

11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【分析】先由题意，得到点M 在1B AC △的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，将平面11A B CD 与平面11B C C 翻折到同一个平面, 当02x ≤≤时，表示出()f x ，判断函数的对称

性及特殊点处函数值，即可判断.

【详解】解：如图连接1AB 、1CB 、AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，

因为11//AD B C ，11AD B C =，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//DC AB ，

1DC ⊂面11A DC ，1AB ⊄面11A DC ，所以1//AB 面11A DC ，同理可证1//CB 面11A DC ，又

111AB CB B =，所以面11//A DC 面1AB C

所以点M 在1B AC △的边上沿逆时针方向运动，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，将平面11A B CD 与平面11B C C 翻折到同一个平面,

当02x ≤≤

(

)

22

2

21122()11222f x MA MC MD x x

x ⎛⎫⎛⎫

=++=++

-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 则)(

)

()22

2

2

222121222f

x x

x x f x ⎛⎫⎛⎫=+

-++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 所以()f x 在区间2⎡⎣上的图象关于直线22

x =对称，又()023f =，22622f ⎛= ⎝⎭

，所以()202f f ⎛⎫

> ⎪

⎪⎝⎭

，