第五章2摩擦
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a 350 mm
a C
P
F
FC
D
B
M
FB
第五章 摩 擦
§5-1 摩擦及其分类 §5-2 滑动摩擦 §5-3 摩擦角和摩擦自锁 §5-4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5-5 滚动摩阻
3.测定摩擦系数的一种简易方法、斜面与螺纹自锁条件
利用摩擦角的概念， 可用简单的实验方法，测 定静摩擦因数。
把要测定的两种材料
如图所示，三脚圆桌的半径为r = 500
mm,重为P = 600 N。圆桌的三脚A, B和
C形成一等边三角形。若在中线CD上距
圆心为a的点M处作用铅直力F = 1500 N,
求使圆桌不致翻倒的最大距离a。
A
解：取圆桌为研究对象
FA
当圆桌处于翻倒的临界状态时，FC=0 M AB (F) 0, F(a r / 2) P r / 2 0
1)不发生滑动 要求FsfsFN ；
A
Fs x
2)不绕A点翻倒 这时法向约束力的作用线
应在木箱内，要求d > 0。 （1）设木箱平衡 Fx 0, Fs F cos 0
Fy 0, FN P F sin 0
M A (F) 0 hF cos Pa / 2 FN d 0
Fs 0.866 kN, FN 4.5 kN, d 0.171 m
特别注意：
F max的方向不可随意画。
例5-3 图示的均质木箱重 P=5kN ,它与地面 F 间的摩擦因数 fs=0.4 。图中h=2a=2 m, =30。 求：（1）当D处的拉力 F=1kN 时,木箱是否 平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。
解：取木箱为研究对象
h
木箱平衡的条件:
ya D
d FN P
M A (F) 0 hF cos Pa / 2 FN d 0
F
ya
将d=0 代入平衡方程：
D
F
F翻
Pa
2h cos
1.443 kN
d h
F F翻 1.443 kN
FN P
当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。 A
Fs x
例5-4 两根相同的匀质杆AB和BC，在端点 B用光滑铰链连接，A,C端放在不光滑的水 平面上，如图所示。当ABC成等边三角形 时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求 杆端与水平面间的摩擦因数。
列平衡方程：
∑Fy = 0，FN - P cos = 0
∑MA(F) = 0，Pr sin - Mf = 0 解得： FN = P cos ；Mf = Pr sin
y
rO P Mf
Fs
x
A FN
由于摩阻力偶矩应满足：0 Mf Mmax = FN
因此得： Pr sin P cos
即
线距中滚心阻线系的数距离的物理意d 义M：FmN即a x 将滚显动然时，法 向 d约束
力离中心线的最远距离。
由于滚动摩阻系数较小，在大多数情况下滚动摩阻可 以忽略不计。
3.证明滚比滑省力
分别计算出使滚子滚动 或滑动所需要的水平拉力
RP F
O
FN
Fs A Mf
滚动的临界平衡状态： M A( F ) 0
Fs为负值，即如果静止则有下滑趋势。
此时最大静摩擦力
F max = f s FN = 299.8 N
∵ | Fs | > F max ∴ 物块不静止。
此时，摩擦力
Fd = f FN = 269.8N
例5-2 物体重为P,放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因 数为fs，如图所示。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。
F滚
M max R
FN
R
P
R
滑动的临界平衡状态： Fx 0
F滑 Fmax f s FN f s P
R
fs
滚子滚动比滑动省力
例5-5半径为 r，重为 P 的车轮，放置在倾斜的铁轨上。已知
铁轨倾角为 ，车轮与铁轨的滚阻系数为。求要使车轮维持
平衡， 、 和r的关系。
解：取车轮为研究对象，受力 如图。 选取坐标轴如图。
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin fs cos cos fs sin
讨论
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin fs cos cos fs sin
若不计摩擦，即f s = 0，前面解得的结果就退化为唯 一答案 F1 = P tanα 这与直接用平衡条件求解同。
tan
r
例5-6 半径为R的滑轮B上作用有力偶MB，轮上绕有细绳拉住半 径为R、重量为P的圆柱，如图所示。斜面倾角为，圆柱与斜面
的滚动摩阻系数为。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最 小值。
解：取圆柱为研究对象，先求绳子拉力
R B
MB
(1) 当绳拉力为最小值FT1时，圆 柱处于向下滚动的临界状态
y
FT2
R
C Mmax
P
A FN
M A ( F ) 0, P sin R FT 2R M max 0
M max FN
FT 2
P(
s in
R
cos
)
O Fs
(3) 以滑轮B为研究对象
FBy
FBx
FT
R B
MB
M B ( F ) 0, FT R M B 0 当绳拉力分别为FT2或FT1时，得力偶矩MB的最大与最小值为
解：取整体为研究对象
B
FNA
P A
FSA
FNC P
C
FSC
FBy
MC ( F ) 0, P AC / 4 P 3AC / 4 FNA AC 0
FNA P
取杆AB为研究对象
FNA P
M B ( F ) 0, P AC / 4 FSA 3AC / 2 FNA AC / 2 0
∵FsfsFN=1.8kN, d>0∴木箱平衡
（2）取木箱平衡的临界状态：滑动Fs=fsFN 或 翻倒d=0
1) 木箱处于滑动的临界状态： Fx 0, Fs F cos 0
Fy 0, FN P F sin 0
Fs=fsFN
F
F滑
cos
fsP
fs sin
1.876
kN
2) 木箱处于绕A点翻到的临界状态
分别做成斜面和物块，把 物块放在斜面上，并逐渐 从零起增大斜面的倾角， 直到物块刚开始下滑为止。 这时的角就是要测定的摩 擦角。
fs tan f tan
斜面的自锁条件
由前面的分析可知，斜面的自锁(不下滑）条件是：
f
斜面的自锁条件也是螺纹
自锁的条件。这是因为螺纹可
以看作是绕在一个圆柱上的斜
FR
y
x
F1
Fmax
P
FN
解：力F1太大，物块将上滑，力F1太小，物块将下滑，因 此F1应在最大与最小值之间。 1.考虑物块上滑时的临界状态，受力分析如图
Fx 0, F1max cos P sin Fmax 0 Fy 0, FN F1max sin P cos 0
Fmax fs FN
F1m a x
正是这个矩为 Mf的力偶阻碍了轮的滚动。
矩为Mf的力偶称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），它与力 偶（F, Fs）平衡，它的转向与滚动的趋向相反。
滚动摩阻力偶矩Mf随着主动力的增加而增大，当力F增加到 某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态；这时，滚动摩阻 力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。 若力F再增大一点，轮子就会滚动。
M Bmax FT 2R P ( R sin cos )
M Bmin FT1R P ( R sin cos )
P( R sin cຫໍສະໝຸດ Baidus ) M B P( R sin cos )
0 M f M max
实验表明
M max F N
滚动摩阻定律
其中是比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数 由上式知，滚动摩阻系数具有长度的量纲，单位一般用mm。
2.滚动摩阻系数的物理意义
RP F
O
FN
P
F O
FN d
Fs A Mmax
Fs A
在即将滚动的临界平衡状态，将法向约束力FN与最大滚 动摩阻力偶Mmax合成为一个力FN′，且FN′=FN，力FN ′的作用
面。施于螺母上的轴向载荷相
当于物块的重力。
P
螺母相当于放置在斜面
上的滑块
螺纹升角 就是斜面的 倾角 。
§5-4 考虑摩擦时物体的平衡问题
Equilibrium problems with friction
对有粗糙表面物体的平衡问题的研究与前几章基 本相同，但需注意：
（1）受力分析时，需要考虑静摩擦力Fs; 说明分析时增加了未知量
（2）除了平衡方程外，还必须列出补充方程 Fs≤f s FN，补充
方程的数目等于摩擦力的数目； 又增加了与新增Fs个数相同的方程数，从而使问题有解
(3)平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
问题中可能有最大值和最小值问题。
例5-1 物块重P=1500N， f s = 0.2，f = 0.18，水平力F = 400N。 问图示情形，物块是否静止，求此时摩擦力的大小。
FN
解：取物块为研究对象，受力分析。 F
x
假设物块静止，假定静摩擦力如图。y Fs
30°
建直角坐标系如图所示
P
O
∑Fx = 0， -P sin 30°+ F cos 30°- Fs = 0
∑Fy = 0， -P cos 30°- F sin 30°+ FN = 0
代入数值，解得： Fs = - 403.6 N，FN = 1499 N
P
s in cos
fs fs
cos s in
2.考虑物块下滑时的临界状态
y
x
F1
Fmax
P
FN
Fx 0, F1min cos P sin F'max 0 Fy 0, F'N F1min sin P cos 0
F 'max fs F 'N
F1m in
P
s in cos
fs cos fs sin
上作用一水平力F，当力F不大
时，滚子仍保持静止。
？
对滚子做受力分析，F与静滑动摩擦力Fs组成一力偶，
使滚子发生滚动，所以滚子不可能保持平衡。
P F
Fs
FN A
P F
FR
Mf
A
P F
Fs
FMNf
A
滚动摩阻理论认为，在重力和水平力的共同作用下， 滚子和平面不是刚体，会发生变形，有一个接触面。
将分布力向A点简化，得到一个力 FR和一个力偶，力 偶的矩为Mf。 力 FR 分解成摩擦力 Fs 和法向约束力 FN。
A FSA
B FBx
FSA P /(2 3) FSA fs FNA
fs 1/(2 3)
§5-5 滚动摩阻
1.滚动摩擦
Rolling friction
当两物体有相对滚动趋势 或相对滚动时，在接触部分产
P F
生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦（阻）。
Fs
FN
设在水平面上有一滚子，
重量为P，半径为r，在其中心
x
R C
PA
FT1
R
Fs Fy 0, FN P cos 0
y
C
P
A Mmax
FN
O
M A ( F ) 0, P sin R FT1R M max 0 M max FN
FT1
P(
sin
R
cos
)
(2) 当绳拉力为最大值FT2时，圆柱处于向上滚动的临界状态
x Fy 0, FN P cos 0
a C
P
F
FC
D
B
M
FB
第五章 摩 擦
§5-1 摩擦及其分类 §5-2 滑动摩擦 §5-3 摩擦角和摩擦自锁 §5-4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5-5 滚动摩阻
3.测定摩擦系数的一种简易方法、斜面与螺纹自锁条件
利用摩擦角的概念， 可用简单的实验方法，测 定静摩擦因数。
把要测定的两种材料
如图所示，三脚圆桌的半径为r = 500
mm,重为P = 600 N。圆桌的三脚A, B和
C形成一等边三角形。若在中线CD上距
圆心为a的点M处作用铅直力F = 1500 N,
求使圆桌不致翻倒的最大距离a。
A
解：取圆桌为研究对象
FA
当圆桌处于翻倒的临界状态时，FC=0 M AB (F) 0, F(a r / 2) P r / 2 0
1)不发生滑动 要求FsfsFN ；
A
Fs x
2)不绕A点翻倒 这时法向约束力的作用线
应在木箱内，要求d > 0。 （1）设木箱平衡 Fx 0, Fs F cos 0
Fy 0, FN P F sin 0
M A (F) 0 hF cos Pa / 2 FN d 0
Fs 0.866 kN, FN 4.5 kN, d 0.171 m
特别注意：
F max的方向不可随意画。
例5-3 图示的均质木箱重 P=5kN ,它与地面 F 间的摩擦因数 fs=0.4 。图中h=2a=2 m, =30。 求：（1）当D处的拉力 F=1kN 时,木箱是否 平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。
解：取木箱为研究对象
h
木箱平衡的条件:
ya D
d FN P
M A (F) 0 hF cos Pa / 2 FN d 0
F
ya
将d=0 代入平衡方程：
D
F
F翻
Pa
2h cos
1.443 kN
d h
F F翻 1.443 kN
FN P
当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。 A
Fs x
例5-4 两根相同的匀质杆AB和BC，在端点 B用光滑铰链连接，A,C端放在不光滑的水 平面上，如图所示。当ABC成等边三角形 时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求 杆端与水平面间的摩擦因数。
列平衡方程：
∑Fy = 0，FN - P cos = 0
∑MA(F) = 0，Pr sin - Mf = 0 解得： FN = P cos ；Mf = Pr sin
y
rO P Mf
Fs
x
A FN
由于摩阻力偶矩应满足：0 Mf Mmax = FN
因此得： Pr sin P cos
即
线距中滚心阻线系的数距离的物理意d 义M：FmN即a x 将滚显动然时，法 向 d约束
力离中心线的最远距离。
由于滚动摩阻系数较小，在大多数情况下滚动摩阻可 以忽略不计。
3.证明滚比滑省力
分别计算出使滚子滚动 或滑动所需要的水平拉力
RP F
O
FN
Fs A Mf
滚动的临界平衡状态： M A( F ) 0
Fs为负值，即如果静止则有下滑趋势。
此时最大静摩擦力
F max = f s FN = 299.8 N
∵ | Fs | > F max ∴ 物块不静止。
此时，摩擦力
Fd = f FN = 269.8N
例5-2 物体重为P,放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因 数为fs，如图所示。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。
F滚
M max R
FN
R
P
R
滑动的临界平衡状态： Fx 0
F滑 Fmax f s FN f s P
R
fs
滚子滚动比滑动省力
例5-5半径为 r，重为 P 的车轮，放置在倾斜的铁轨上。已知
铁轨倾角为 ，车轮与铁轨的滚阻系数为。求要使车轮维持
平衡， 、 和r的关系。
解：取车轮为研究对象，受力 如图。 选取坐标轴如图。
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin fs cos cos fs sin
讨论
P sin fs cos cos fs sin
F1
P sin fs cos cos fs sin
若不计摩擦，即f s = 0，前面解得的结果就退化为唯 一答案 F1 = P tanα 这与直接用平衡条件求解同。
tan
r
例5-6 半径为R的滑轮B上作用有力偶MB，轮上绕有细绳拉住半 径为R、重量为P的圆柱，如图所示。斜面倾角为，圆柱与斜面
的滚动摩阻系数为。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最 小值。
解：取圆柱为研究对象，先求绳子拉力
R B
MB
(1) 当绳拉力为最小值FT1时，圆 柱处于向下滚动的临界状态
y
FT2
R
C Mmax
P
A FN
M A ( F ) 0, P sin R FT 2R M max 0
M max FN
FT 2
P(
s in
R
cos
)
O Fs
(3) 以滑轮B为研究对象
FBy
FBx
FT
R B
MB
M B ( F ) 0, FT R M B 0 当绳拉力分别为FT2或FT1时，得力偶矩MB的最大与最小值为
解：取整体为研究对象
B
FNA
P A
FSA
FNC P
C
FSC
FBy
MC ( F ) 0, P AC / 4 P 3AC / 4 FNA AC 0
FNA P
取杆AB为研究对象
FNA P
M B ( F ) 0, P AC / 4 FSA 3AC / 2 FNA AC / 2 0
∵FsfsFN=1.8kN, d>0∴木箱平衡
（2）取木箱平衡的临界状态：滑动Fs=fsFN 或 翻倒d=0
1) 木箱处于滑动的临界状态： Fx 0, Fs F cos 0
Fy 0, FN P F sin 0
Fs=fsFN
F
F滑
cos
fsP
fs sin
1.876
kN
2) 木箱处于绕A点翻到的临界状态
分别做成斜面和物块，把 物块放在斜面上，并逐渐 从零起增大斜面的倾角， 直到物块刚开始下滑为止。 这时的角就是要测定的摩 擦角。
fs tan f tan
斜面的自锁条件
由前面的分析可知，斜面的自锁(不下滑）条件是：
f
斜面的自锁条件也是螺纹
自锁的条件。这是因为螺纹可
以看作是绕在一个圆柱上的斜
FR
y
x
F1
Fmax
P
FN
解：力F1太大，物块将上滑，力F1太小，物块将下滑，因 此F1应在最大与最小值之间。 1.考虑物块上滑时的临界状态，受力分析如图
Fx 0, F1max cos P sin Fmax 0 Fy 0, FN F1max sin P cos 0
Fmax fs FN
F1m a x
正是这个矩为 Mf的力偶阻碍了轮的滚动。
矩为Mf的力偶称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），它与力 偶（F, Fs）平衡，它的转向与滚动的趋向相反。
滚动摩阻力偶矩Mf随着主动力的增加而增大，当力F增加到 某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态；这时，滚动摩阻 力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。 若力F再增大一点，轮子就会滚动。
M Bmax FT 2R P ( R sin cos )
M Bmin FT1R P ( R sin cos )
P( R sin cຫໍສະໝຸດ Baidus ) M B P( R sin cos )
0 M f M max
实验表明
M max F N
滚动摩阻定律
其中是比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数 由上式知，滚动摩阻系数具有长度的量纲，单位一般用mm。
2.滚动摩阻系数的物理意义
RP F
O
FN
P
F O
FN d
Fs A Mmax
Fs A
在即将滚动的临界平衡状态，将法向约束力FN与最大滚 动摩阻力偶Mmax合成为一个力FN′，且FN′=FN，力FN ′的作用
面。施于螺母上的轴向载荷相
当于物块的重力。
P
螺母相当于放置在斜面
上的滑块
螺纹升角 就是斜面的 倾角 。
§5-4 考虑摩擦时物体的平衡问题
Equilibrium problems with friction
对有粗糙表面物体的平衡问题的研究与前几章基 本相同，但需注意：
（1）受力分析时，需要考虑静摩擦力Fs; 说明分析时增加了未知量
（2）除了平衡方程外，还必须列出补充方程 Fs≤f s FN，补充
方程的数目等于摩擦力的数目； 又增加了与新增Fs个数相同的方程数，从而使问题有解
(3)平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
问题中可能有最大值和最小值问题。
例5-1 物块重P=1500N， f s = 0.2，f = 0.18，水平力F = 400N。 问图示情形，物块是否静止，求此时摩擦力的大小。
FN
解：取物块为研究对象，受力分析。 F
x
假设物块静止，假定静摩擦力如图。y Fs
30°
建直角坐标系如图所示
P
O
∑Fx = 0， -P sin 30°+ F cos 30°- Fs = 0
∑Fy = 0， -P cos 30°- F sin 30°+ FN = 0
代入数值，解得： Fs = - 403.6 N，FN = 1499 N
P
s in cos
fs fs
cos s in
2.考虑物块下滑时的临界状态
y
x
F1
Fmax
P
FN
Fx 0, F1min cos P sin F'max 0 Fy 0, F'N F1min sin P cos 0
F 'max fs F 'N
F1m in
P
s in cos
fs cos fs sin
上作用一水平力F，当力F不大
时，滚子仍保持静止。
？
对滚子做受力分析，F与静滑动摩擦力Fs组成一力偶，
使滚子发生滚动，所以滚子不可能保持平衡。
P F
Fs
FN A
P F
FR
Mf
A
P F
Fs
FMNf
A
滚动摩阻理论认为，在重力和水平力的共同作用下， 滚子和平面不是刚体，会发生变形，有一个接触面。
将分布力向A点简化，得到一个力 FR和一个力偶，力 偶的矩为Mf。 力 FR 分解成摩擦力 Fs 和法向约束力 FN。
A FSA
B FBx
FSA P /(2 3) FSA fs FNA
fs 1/(2 3)
§5-5 滚动摩阻
1.滚动摩擦
Rolling friction
当两物体有相对滚动趋势 或相对滚动时，在接触部分产
P F
生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦（阻）。
Fs
FN
设在水平面上有一滚子，
重量为P，半径为r，在其中心
x
R C
PA
FT1
R
Fs Fy 0, FN P cos 0
y
C
P
A Mmax
FN
O
M A ( F ) 0, P sin R FT1R M max 0 M max FN
FT1
P(
sin
R
cos
)
(2) 当绳拉力为最大值FT2时，圆柱处于向上滚动的临界状态
x Fy 0, FN P cos 0