2017年全国高中数学联赛(四川初赛)试题及答案

2017年全国高中联合竞赛（初赛）试题

一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1.已知函数2

()ln f x a x x =+在1x =处有极值，则实数a 的值是 （ A ） A.2- B.1- C.1 D.2

2.已知0,(,),tan ,tan αβπαβ∈是方程2

310x x ++=的两个根，则cos()αβ-的值是（ B ）

A.

13 B.2

3

3.在8()x y z ++的展开式中，所有形如2(,)a b

x y z a b N ∈的项的系数之和是 （ C ）

A.112

B.448

C.1792

D.14336

4.已知12,F F 为椭圆22

2210()x y a b a b

+=>>的左、右焦点，该椭圆上存在两点,A B ，使得

123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值围是 （ C ）

A.102(,)

B.103(,)

C.112(,)

D.113

(,)

5.已知ABC ∆中，3AB BC CA AB ⋅=⋅，则||||

||

AC AB BC +的最大值是 （ B ）

A.

13 B.2

3

C.3

D.2

6.

已知数列{}n

a 满足：11))()n n n a n N =-∈，

用[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则2017[]a 的个位数字是 （ A ）

A.2

B.4

C.6

D.8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7.已知函数25255()x x

f x =+，则2016

1

2017()k k

f ==∑______________。 答案：1008。

8.设a R ∈，复数1232234,,z a i z a i z a i =+=+=+，其中i 是虚数单位。若123||,||,||z z z 呈等比数列，则实数a 的值是_______________。 答案：0。

9.若(,)P x y 是双曲线22

184

x y -=上的点，则||x y -的最小值是________________。 答案：2。

10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，α为过直线1BD 的平面，则α

截该正方体的截面面积的取值围是______________。

答案：。 11.已知实数123,,x x x 满足：222

12312232x x x x x x x ++++=，则2||x 的最大值是___________。

答案：2。

12.设集合12345678910{,,,,,,,,,}M =，3

3

3

9{(,,)|,,,|()}A x y z x y z M x y z =∈++且，则 集合A 中的元素的个数是____________。

答案：243。

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13.已知数列{}

n

a满足：

11

58

1

*

,()

n

n

n

a

a a a n N

a

+

-

==∈

-

。

（1）若3

a=，求证：数列

2

4

{}

n

n

a

a

-

-

成等比数列，并求出数列{}

n

a的通项公式；

（2）若对任意的正整数n，都有3

n

a>，数a的取值围。

14.1993年，美国数学家F.Smarandache 提出许多数论问题，引起国外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache 函数，正整数n 的Smarandache 函数定义为

*()min{|,|!}S n m m N n m =∈，比如223363(),(),()

S S S ===。

（1）求16()S 和2016()S 的值；

（2）若7()S n =，求正整数n 的最大值；

（3）证明：存在无穷多个合数n ，使得()S n p =，其中p 为n 的最大质因数。

15.如图，点A 与点A '在x 轴上，且关于y 轴对称，过点A '垂直于x 轴的直线与抛物线2

2y x = 交于,B C ，点D 为线段AB 上的动点，点E 在线段AC 上，满足||||

||||

CE AD CA AB =。 （1）求证：直线DE 与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线DE 与此抛物线的公共点为F ，记BCF ∆与

ADE ∆的面积分别为12,S S ，求

1

2

S S 的值。

16.设,αβ为实数，若对任意的实数,,x y z ，有2

2

2

()()a xy yz zx M x y z β++≤≤++恒成立，其中2222cyc

M x xy y y yz z =

++++∑，求α的最大值和β的最小值。