行列式的计算技巧与方法总结

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行列式的计算技巧与方法总结

1、记住性质,这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T

D 或'

D ,即若

,

21

2222111211nn

n n n n a a a a a a a a a D =

nn

n

n n n T a a a a a a a a a D

21222

12

12111=.

性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T

D D =

注 由性质1知道,行列式中的行与列具有

相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.

性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.

性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即

.

21

2

1

112112

1

21

112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn

n n in i i n nn

n n in i i n ===

第i 行(列)乘以k ,记为k i

⨯γ(或k C i

⨯).

推论 1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,

nn

n n in

in i i i i n a a a c b c b c b a a a D

2

1

221111211+++=.

2

121

2

1

1121121

2

1

11211

D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn

n n in i i n nn n n in i i n +=+=

.

性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.

注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j

i

kr r +;

以数k 乘第j 列加到第i 列上,记作j

i

kc c +.

2、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行

列式的步骤是:

如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

例2若2

1

0101

321

-=D , 则.2

1

3

10201

1D D

T

=-=

例3(1)01212

1

11001211

121---=--(第一、二行互换). (2)1

2

1

1

021101

211

0121

---=--(第二、三列互换)

(3)0725011

011

=(第一、二两行相等) (4)0

3

37

22

41

12=---(第二、三列相等)

例4(1)02

22

2

510211=--因为第三行是第一行

的2倍.

(2)07

5414

1

5382

0141

=---因为第一列与第二列

成比例,即第二列是第一列的4倍.

例5若1

2

1013

201

--=D , 则

D 21

2

1

01

3201)2(1

21013402-=---=----

又 D 41

2

1

0132

0141

2

4

0112204=--=--. 例6 设,133

32

31232221

131211

=a a a a a a

a a a 求.5353102633

32

31

232221

131211

a a a a a a

a a a ----

解 利用行列式性质,有

3332

31

23222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332

31

2322211312

115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=33

32

31

2322211312

11a a a a a a a a a

15)3(2⋅⋅-⋅-=.

30=

例7(1).

1

1

011

1311

1

03111

1

32

+=

++=

(2)

()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+1

2

27205

21112730511---+--=.

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