行列式的计算技巧与方法总结
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行列式的计算技巧与方法总结
1、记住性质,这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T
D 或'
D ,即若
,
21
2222111211nn
n n n n a a a a a a a a a D =
则
nn
n
n n n T a a a a a a a a a D
21222
12
12111=.
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T
D D =
注 由性质1知道,行列式中的行与列具有
相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.
性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.
推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.
性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即
.
21
2
1
112112
1
21
112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn
n n in i i n nn
n n in i i n ===
第i 行(列)乘以k ,记为k i
⨯γ(或k C i
⨯).
推论 1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,
nn
n n in
in i i i i n a a a c b c b c b a a a D
2
1
221111211+++=.
则
2
121
2
1
1121121
2
1
11211
D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn
n n in i i n nn n n in i i n +=+=
.
性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.
注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j
i
kr r +;
以数k 乘第j 列加到第i 列上,记作j
i
kc c +.
2、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行
列式的步骤是:
如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
例2若2
1
0101
321
-=D , 则.2
1
3
10201
1D D
T
=-=
例3(1)01212
1
11001211
121---=--(第一、二行互换). (2)1
2
1
1
021101
211
0121
---=--(第二、三列互换)
(3)0725011
011
=(第一、二两行相等) (4)0
3
37
22
41
12=---(第二、三列相等)
例4(1)02
22
2
510211=--因为第三行是第一行
的2倍.
(2)07
5414
1
5382
0141
=---因为第一列与第二列
成比例,即第二列是第一列的4倍.
例5若1
2
1013
201
--=D , 则
D 21
2
1
01
3201)2(1
21013402-=---=----
又 D 41
2
1
0132
0141
2
4
0112204=--=--. 例6 设,133
32
31232221
131211
=a a a a a a
a a a 求.5353102633
32
31
232221
131211
a a a a a a
a a a ----
解 利用行列式性质,有
3332
31
23222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332
31
2322211312
115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=33
32
31
2322211312
11a a a a a a a a a
15)3(2⋅⋅-⋅-=.
30=
例7(1).
1
1
011
1311
1
03111
1
32
+=
++=
(2)
()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+1
2
27205
21112730511---+--=.