数学分析 CALCULUS - 深圳大学.

函
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十 平面曲线
七
F(x, y) 0
章 上点P0(x0, y0)处切线的方向数为
多 元
Fx P0 , Fy P0 .
函
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十 定理18.6 设在条பைடு நூலகம்(2)的限制下, 求函数(3)的极值,
七 其中 f 与k(k 1, 2, , m)在D内有连续的一阶偏
多 (ii) 验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;
元 函
(iii) 验证在P0处F对某变量偏导数不等于0; (iv) 利用隐函数定理求导数.
数 微
注意: 当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数
§4 条 件 极 值
十 例1 用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.
七 章 例2 抛物面
多
x2 y2 z
元 被平面
函
x y z 1
数 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十 七 例3 求f (x, y, z) xyz在条件
章
1 1 1 1 (x 0, y 0, z 0, r 0)
多
xyzr
元 下的极小值, 并证明不等式
函 数
3
1 a
1 b
1 c
1
3
abc ,
微 其中a, b, c为任意正实数.
分
学
第
§4 条 件 极 值
十 作业 P.169. 习题 1. (1), (3). 3.
七 章 补充作业 多 1. 设a0, 求曲线
元
x2 y2 2az,
函
x2
y2
xy
a2
数 上的点到xy平面的最小距离和最大距离.
章
导数. 若D的内点 P0
x(0) 1
,
x(0) 2
,L
,
x(0) n
是极值点, 且
多
元 雅可比矩阵
函 数 微 分
1
x1
L
M
1
xn
M
(13)
m
L
m
学
x1
xn P0
第
§4 条 件 极 值
十
的秩为m, 则存在常数
(0) 1
,
2(
0
)
,L
,
(0) m
,
使得
七
章
x(0) 1
,L
函
拉格朗日函数的引入
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十
七 问题 做一个容量为V的长方体开口水箱, 问水箱
章
的长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?
多
元
函
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十
七 定义 对自变量有约束条件的极值问题称为条件极
章 值问题.
多
元 条件极值问题的一般形式为: 在条件组
函
k x1, x2,L L , xn 0, k 1, 2,L , m(m n) (2)
数 的限制下求目标函数
微
y f x1, x2,L L , xn
(3)
分 的极值.
学
第
十 七 章
极值必要条件 若函数 f 在点P0(x0, y0)存在偏导数, 且在P0取得极值, 则有
多
fx x0, y0 fy x0, y0 0.
元
函
数
微
分
学
第
十
七 极值充分条件 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域
第
十
七
级数与多元微积分
章
Series and Calculous in Several Variables
多
元
函 数 微
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
分
学
第
十
七
第十八章 隐函数定理及其应用
章
多
§1 隐函数
元
§2 隐函数组
函
§3 几何应用
数
§4 条件极值
微
分
学
第
十
七
§1 可 微 性
章
多
一 可微性与全微分
多
(ii) F(x0, y0)0; (iii) Fy(x0, y0)0,
元 结论: F(x, y)0确定一个连续可微的函数 y f (x)
函 其导数为
数
微 分
y Fx . Fy
学
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 三、利用隐函数定理解题的一般步骤:
章 (i) 确定F, 求F对各变量的偏导数;
,
x(0) n
,
(0) 1
,L
,
(0) m
为下述nm个方程
多
Lx1
f x1
m k 1
k
k
x1
0
元
L L L L L L L L
函 数 微
Lxn
f
xn
m
k
k 1
k
xn
0
L1
1 x1,L
, xn 0
L L L L L L L L
分
Lm
m x1,L
, xn 0
学 的解.
第
f f
xy yy
P0 P0
f f
xx yx
fxy
f
yy
P0
元 为 f 在点P0的黑赛(Hesse)矩阵.
函
数
微
分
学
第
十 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有
七 二阶连续偏导数, 且P0是 f 的稳定点, 则有
章
(i) 当 fxx P0 0,
f xx
f yy
f
2 xy
P0 0 时, 不能肯定 f 在点P0是否
取得极值.
第
§4 条 件 极 值
十 求函数
七
y f (x, y)
章 在约束条件
多
(x, y) 0
元 下的条件极值. 函
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十 方程
七
(x, y) 0
章 确定的隐函数y g(x)的导数为
多 元
g(x) x (x) . y (x)
f yy
f
2 xy
P0 0 时, f 在点P0取得
多
极小值;
元 函
(ii) 当 fxx P0 0,
f xx
f yy
f
2 xy
P0 0 时, f 在点P0取得
数
极大值;
微
(iii) 当
fxx
f yy
f
2 xy
P0 0 时, f 在点P0不能取得极值;
分 学
(iv) 当
fxx
元
二 偏导数
函
三 可微性条件
数
四 可微性几何意义及应用
微
分
学
第
十
七
§2 复 合 函 数 微 分 法
章
多
一 复合函数的求导法则
元
二 复合函数的全微分
函
数
微
分
学
第
§4 条 件 极 值
十
七 基本内容: 条件极值, 拉格朗日乘数法
章 基本要求: 掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,
多
理解拉格朗日函数的引入
元 重点难点: 拉格朗日乘数法的应用,
微 2. 设 x1 L xn 1, xi 0, i 1, 2, L , n. 证明不等式
分 学
x1
1 x1
x2
1 x2
L
xn
1 xn
n
1 n
n
.
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 一、隐函数: 由方程所确定的函数.
章 二、隐函数定理: 条件: (i) F, Fx和Fy连续;
章
U (P0)内具有二阶连续偏导数, 且P0是 f的稳定点.
多
则当H(P0)是正定矩阵时, f 在P0取得极小值;
元
当H(P0)是负定矩阵时, f 在P0取得极大值;
函 当H(P0)是当H(P0)是不定矩阵时, f 在P0不取极值.
数
微
分
学
第
十 称矩阵
七 章
多
H
f
P0
f xx f yx
P0 P0