高中数学黄金解题模板专题 线性规划问题的求解策略(解析版)

【高考地位】线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。

近年来，高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。

在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一线性目标函数问题使用情景：求目标函数的最值解题模板：第一步根据已知约束条件画出其可行域；第二步平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解；第三步得出结论.例1 已知实数,x y满足不等式组2,220,xyx y⎧⎪-⎨⎪+-⎩，≥≥≤则2x y-的最大值是___________．【答案】6【解析】考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件．例2 已知x 、y 满足不等式组 2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是．【答案】6 【解析】目标函数为2z x y =+，当3,0x y ==时，2z x y =+取得最大值是6. 考点：简单的线性规划．【名师点睛】简单的线性规划问题，首先要作出可行域，作直线:0l ax by +=，把z ax by =+中转化为a z y x b b =-+，易知zb是直线的纵截距，因此当0b >时，直线向上平移，z 增大，在0b <时，直线向下平移，z 增大，这样我们把z 的值与直线纵截距联系起来，可容易求得最优解．【变式演练1】已知变量,x y 满足约束条件Ω：21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若Ω表示的区域面积为4，则3z x y =-的最大值为___________.【答案】7 【解析】试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因BC AC ⊥且BC AC =,故区域的面积为4)212)(3(21=--+=a a S ,解之得1=a ,平移动直线z x y -=3,结合图形可以看出当动直线经过点)2,3(B 时,动直线z x y -=3的截距z -最小,z 最大,729max =-=z ,故应填7.C(a+12,1-a2)B(2+a,2)A(-1,2)x-y=ax+y=1y=2Oyx考点：线性规划的有关知识及运用．【变式演练2】已知约束条件400x kx y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A ．0B ．1 C.1或3 D ．3 【答案】B 【解析】考点：1、线性规划；2、三角形的面积.类型二非线性目标函数问题使用情景：求非线性目标函数的最值解题模板：第一步根据已知约束条件画出其可行域；第二步借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题、两点的距离的平方等；第三步得出结论.例3 已知不等式组0,0,4312xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则11yzx-=+的最大值为．【答案】3【解析】考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例4 在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组360200,0x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩所表示的区域上一动点, ABC已知点()1,2A -,则直线AM 斜率的最小值为（ ） A ．23-B ．2-C ．0D ．45【答案】B 【解析】试题分析：可行域为一个四边形OBCD 及其内部,其中(0,2),(2,0),(4,6)B C D ，因此直线AM 斜率的最小值为直线AO 斜率，为2-，选B.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例5 若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则2||z y x =-的最大值为（ ）A ．-8B ．-4C ．1D ．2 【答案】D【解析】考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【变式演练3】已知实数,x y满足401010x yyx+-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2yzx=的最大值是（）A．13B．9 C．2 D．11【答案】B【解析】考点：线性规划.【变式演练4】若变量yx，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥+222yxyxyx，且axyz-=仅在点)21,1(-A处取得最大值，则实数a的取值范围为（）A．)1,2[-- B．)1,(--∞ C．)1,2(--D．)1,1(-【答案】C【解析】试题分析：由约束条件画出可行域如图所示，ax yz -=表示的几何意义是:点()y x ,与()0,a 连线的斜率的取值范围.当0≥a 时,通过图象旋转可知,不可能在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1A 处取到最大值,舍去；当0<a 时,若01≤<-a ,则必然存在a x =与可行域有交点,此时无斜率,可以理解为斜率趋向于正无穷,故无最大值；当12-<<-a 时,在点A 处取到最大值,在O 处取得最小值,符合题意,故选C.考点：线性规划.【变式演练5】已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】D 【解析】考点：简单的线性规划问题．类型三 含参数线性目标函数问题使用情景：求含参数线性目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类讨论；第三步 得出结论.例6已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的-2倍，则a 的值是 . 【答案】12【解析】试题分析：由题意得可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(,)(,2),(1,1),(1)A a a B a a C a -<，直线2z x y =-过C 点时取最大值，过B 点时取最小值，因此112(22)2a a a =--+⇒=. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【变式演练6】设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________． 【答案】12m =+ 【解析】考点：简单的线性规划的应用．【高考再现】1.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.考点：简单线性规划2.【2016高考浙江文数】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） 352 325【答案】B 【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由23030-+=⎧⎨+-=⎩x y x y 得(1,2)A ，由23030--=⎧⎨+-=⎩x y x y 得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即22(12)(21)2=-+-=AB ．故选B ．考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最小值为__________【答案】5-【解析】考点：简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．4.【2016高考新课标Ⅲ文数】若,x y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y=+-的最大值为_____________.【答案】10-【解析】考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．5.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩„„„……①目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?„„……② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.6.【2016高考上海文科】若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线zx y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值，且为2-.考点：简单线性规划7. 【2016高考天津文数】(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.OxyP【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润y x z 32+=，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润试题解析：（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.M2x+3y=z(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划【反馈练习】1.【吉林省长春市普通高中20XX届高三质量监测（一）数学（理）试题】动点(,)P x y满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为.【答案】3 【解析】试题分析：由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.考点：线性规划2. 【山西大学附中20XX 届高三第二次模拟测试数学（理）试题】设,y x 满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值是____________． 【答案】73【解析】考点：线性规划．3. 【河南省新乡市20XX 届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[]2,1-- B ．[]2,0- C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数分别在点()2.6,1.4B 和点()1,3A 处取得最大值为1.2，最小值为2-.考点：线性规划．4. 【河北省武邑中学20XX 届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，表示平面区域为D ，若圆()()()222:110C x y r r +++=>经过区域D 上的点，则r 的取值范围是（ ）A ．22,25⎡⎣B ．(22,32C.(32,25 D ．(()0,2225,+∞U【答案】A 【解析】考点:线性规划.5. 【河北省衡水中学20XX 届高三摸底联考，8】 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B．32 C ．34 D ．74【答案】D 【解析】xyoABC考点：线性规划.6. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中20XX 届高三8月联考，13】若,x y 满足约束条件2060x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么y x的最大值是__________. 【答案】2 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为yx表示平面区域上的点到原点连线的斜率，由图知当点位于点(2,4)A 时，斜率最大，所以yx的最大值为2．考点：简单的线性规划问题．7. 【河南百校联考20XX 届高三9月质检，15】已知实数,x y 满足不等式组22041020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最小值为______________． 【答案】14【解析】考点：线性规划8. 【湖南永州市20XX 届高三第一次模拟，15】若x ，y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为．【答案】2【解析】 试题分析：由不等式组作出可行域，如图，目标函数22x y +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2=+y x 的距离平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2=+y x 的距离为222==d ，所以所求最小值为2.考点：简单线性规划． )2,34(P x yO 229. 【河北省衡水中学20XX 届高三摸底联考，8】 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32 C．34 D ．74【答案】D【解析】考点：线性规划.。