弹性理论相关张量基础
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e3
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方 程代表了nk 个分量方程。 在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的 哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
矢量(可推广至张量)的三种记法：
张量基本概念
指标符号用法 1. 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
主要内容-清华大学冯西桥教授整理 高等弹性理论－附录
弹性理论相关张量分析
引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量
张量基本概念
张量基本概念
矢量（一阶张量）
位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等 符号体系 •参考 •惯例 用黑体或加上箭头表示
(A.23a) (A.24)
若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反 号。当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量 所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积 的负值。
d=ab
[a, b, c ] a b c = ( am em )( eijk b j ck ei ) eijk amb j ck mi eijk ai b j ck
希腊指标
u =u e u1e1 u2 e2
a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积 更高阶张量的缩并等。
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特
a 1b1c1 a 2b2 c2 a 3b3c3 ai bi ci
i 1
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
小结 叙述方法
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A.1
标 量（零阶张量）
例如：质量，温度 质量密度 应变能密度等
其值与坐标系选取无关。
1 ei e j 0
i j i j
Appendix A.1
张量基本概念
矢 量
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
3
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满 足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则
ij ji
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
类似地有
符号ij与erst
erst符号(排列符号或置换符号) 定义(笛卡尔坐标系)
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 或 erst r s s t t r 2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
分解式记法：
分量记法：
ij
用黑体或加下横线表示
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
张量基本概念
例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具
ij n j i1n1 i 2 n2 i 3n3 Ti
有二重方向性的二阶张量，记为 (或 ) 。
矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量
11n1 12n2 13n3 T1 21n1 22n2 23n3 T2
为零阶张量。
31n1 32n2 33n3 T3
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空 间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
ji , j f i 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
★ 三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：
[a , b, c ] = a b c a (b c )
符号ij与erst
利用(A.24)和(A.23a)式有
ei e j ij a b (eijk a j bk )ei
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来 表示多重求和。 例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和， 一般应加求和号。如：
Appendix A.1
符号ij与erst
ij符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
1 ij 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0 22 23 0 1 0 21 31 32 33 0 0 1
3
实体记法：
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
分解式记法： 分量记法：
2. 两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：
3
ui
Appendix A.1
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi
i 1
Appendix A.1
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
ji , j fi 0
ji , j f ii 0
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
Appendix A.1
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
特性 1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
符号ij与erst
常用实例 1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1 (当i＝j时) 不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei•ej＝ ij
2. 矢量的点积：
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
a b ( a j e j )(bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：
ei e j eijk ek
Appendix A.1
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j, k, …表示 三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, , , …均为二维指 标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u =ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法： 实体记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3
+ 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s 2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
符号ij与erst
c ab
★ ★ ★
a b a b cos
c ab
a b a b sin
c a b (eijk a j bk )ei
六项不为零
( a b ) a ( a b ) b 0
ci a j bk eijk a j bk e jki
张量基本概念
爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = ai bi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。 例如：
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方 程代表了nk 个分量方程。 在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的 哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
矢量(可推广至张量)的三种记法：
张量基本概念
指标符号用法 1. 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
主要内容-清华大学冯西桥教授整理 高等弹性理论－附录
弹性理论相关张量分析
引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量
张量基本概念
张量基本概念
矢量（一阶张量）
位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等 符号体系 •参考 •惯例 用黑体或加上箭头表示
(A.23a) (A.24)
若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反 号。当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量 所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积 的负值。
d=ab
[a, b, c ] a b c = ( am em )( eijk b j ck ei ) eijk amb j ck mi eijk ai b j ck
希腊指标
u =u e u1e1 u2 e2
a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积 更高阶张量的缩并等。
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特
a 1b1c1 a 2b2 c2 a 3b3c3 ai bi ci
i 1
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
小结 叙述方法
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A.1
标 量（零阶张量）
例如：质量，温度 质量密度 应变能密度等
其值与坐标系选取无关。
1 ei e j 0
i j i j
Appendix A.1
张量基本概念
矢 量
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
3
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满 足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则
ij ji
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
类似地有
符号ij与erst
erst符号(排列符号或置换符号) 定义(笛卡尔坐标系)
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 或 erst r s s t t r 2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
分解式记法：
分量记法：
ij
用黑体或加下横线表示
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
张量基本概念
例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具
ij n j i1n1 i 2 n2 i 3n3 Ti
有二重方向性的二阶张量，记为 (或 ) 。
矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量
11n1 12n2 13n3 T1 21n1 22n2 23n3 T2
为零阶张量。
31n1 32n2 33n3 T3
Appendix A.1 Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空 间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
ji , j f i 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
★ 三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：
[a , b, c ] = a b c a (b c )
符号ij与erst
利用(A.24)和(A.23a)式有
ei e j ij a b (eijk a j bk )ei
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来 表示多重求和。 例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和， 一般应加求和号。如：
Appendix A.1
符号ij与erst
ij符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
1 ij 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0 22 23 0 1 0 21 31 32 33 0 0 1
3
实体记法：
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
分解式记法： 分量记法：
2. 两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：
3
ui
Appendix A.1
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi
i 1
Appendix A.1
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
ji , j fi 0
ji , j f ii 0
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
Appendix A.1
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
Appendix A.2
Appendix A.2
符号ij与erst
特性 1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
符号ij与erst
常用实例 1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1 (当i＝j时) 不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei•ej＝ ij
2. 矢量的点积：
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
a b ( a j e j )(bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：
ei e j eijk ek
Appendix A.1
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j, k, …表示 三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, , , …均为二维指 标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u =ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
Appendix A.1
Appendix A.1
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法： 实体记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3
+ 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s 2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
符号ij与erst
c ab
★ ★ ★
a b a b cos
c ab
a b a b sin
c a b (eijk a j bk )ei
六项不为零
( a b ) a ( a b ) b 0
ci a j bk eijk a j bk e jki
张量基本概念
爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = ai bi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。 例如：