六年级奥数工程问题

1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需１5天完成,甲丙两队合作需20天完成,如果由甲乙丙三队合作需几天完成?
分析：设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工作效率是1/1２,乙丙合作的工作效率为1/１5,甲丙合作的工作效率为１/20。

因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为1/１2+1/15+1／2０,所以甲乙丙三队合作的工作效率为(１/12＋
1/15＋1/20）÷２＝１/10。

因此三队合作完成这项工程的时间为１÷1/１0＝１
1
2]
÷
/5
０（天)。

ﻫ答：1÷［（1／12+1/15＋1／２０）÷2]ﻫ=1
÷[
10(天)ﻫ答:甲乙丙三队合作需10天完成。

ﻫ说明：我们通常把工作总＝1÷1/10ﻫ=
量“一项工程”看成一个单位。

这样,工作效率就用工作时间的倒数来表示。

如例1中甲乙两队合作的工作时间为１2天,那么工作效率为1／12，它表示甲乙两队一天完成全部工程的1/12。

ﻫ
2、师徒二人合作生产一批零件，６天可以完成任务。

师傅先做5天后,因事外出,由徒弟来接着做３天,共完成任务的7/10。

如果每人单独做这批零件各需几天? 分析：设这批零件为单位“1”。

其中6天完成任务，用1/6表示师徒的工作效率的和。

要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工作效率，关键在于把师傅先做５天,接着徒弟做3天,理解成两人先合作3天，然后师傅做２天。

答:师傅的工作效率是(7/10－3×1/6）÷（5-3)＝1/10
徒弟的工作效率是１/６-1/10=１／1５
所以师傅单独作需要1÷1/１0＝１０天
徒弟单独做需要1÷1/1５=１５天。

3一项工程,甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天,余下工作由乙去做,乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？
答：甲单独做３天完成３/１2=１/4,余下工程的1-1／４=3/4
得乙的工效是(３/4）／６=1/８
若甲单独做6天,则完成1/2，余下工程的１/２
则乙要做(1/２）/（1/8)=4天
4一条水渠,甲乙两队合挖30天完工．现在合挖1２天后,剩下的由乙队挖，又用２4天挖完.这条水渠由乙单独挖,需要多少天?
答:由题意可知,甲乙两队的工效是1/3０,合挖12天，完成2/5,
剩下3/5，乙队用24天完成,得乙队工效是（3/5）/２4=1/40,
则乙队单独挖需要40天ﻫ
5客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车
比货车多行9.6千米。

已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？
解:当两车相遇时，客车已超过中点9.６÷２=４.8千米,客车行半程要用
４．5÷2＝2.25时,
相遇时间比到中点时间多了2．4－２.2５=0．1５小时，得客车速度为
4.8÷0.15=32千米
由客车比货车２.4小时多行９.6千米，得客车速度比货车快９.6÷2．4=4千米,
即货车速度为32-4=28千米。

ﻫ
6一项工程，甲乙两队合作6天完成5／６。

已知单独做,甲完成1/３与乙完成1/2的时间相等。

问单独做，甲乙各需要多少天？
解:由甲完成１/3与乙完成1/2的时间相等，可知当甲完成2份时,乙完成了３份,
由甲乙两队合作6天完成５/6，得甲乙两队合作一天完成5/36,
则甲完成2/36=１／18，甲单独做需要18天；
7一件工作甲先做６小时,乙接着则乙完成3/36＝1/12,乙单独做需要１２天。

ﻫﻫ
做12小时可以完成．甲先做８小时,乙接着做６小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做,还需要多少小时完成？ﻫ解:若由乙单独做共需几小时：
6×３＋12＝30（小时）．
甲做3小时后乙接着做还需几小时:ﻫ3０－3×3＝2１(小时)
另解:若由甲单独做需几小时：
8+6÷3=１0（小时）.
甲先做３小时后乙接着做还需几小时:
(１0－3)×3=２1(小时）.
答:乙还需21小时完成.
8筑路队预计30天修一条公路．先由１8人修12天只完成全部工程的1/3,如果想提前6天完工，还需增加多少人？
分析：由１8人修12天完成了全部工程的1/3,可通过18×1２求出用一天完成1/3工作量共需要的总人数,也可以通过18×１2求出用1人完成１/３工作量需要的总天数。

所以由1/3÷（1８×１２)求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工作效率）。

解：①一人一天完成全部工程的几分之几(即一人的工作效率）:ﻫ1/３÷(18×１２)＝１／64８
②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人:
(1-1/3)÷［1/648×（30－１２-6）]
＝2/3÷1２／648
=36(人)ﻫ③需要增加几人：
9一件工作,甲5小时先完成了1/4,乙6小时又完成了剩下任36-１8=１8(人）ﻫﻫ
务的一半,最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成?
分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题.解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”(总工作量)的几分之几?
解：甲工作效率：1／4÷5＝1／２０
乙工作效率:(1－1/４)×1/2÷６=1/1６
余下的任务:（1－１/4)×（1－1/2）＝3/8
需要的时间：3/8÷(1/２0+1／16）＝10/3小时。

ﻫ10有一项工程,甲、乙两队合作6天能完成5/6，已知单独做，甲完成1/3与乙完成1/２所需要的时间相等。

问单独做甲、乙各需多少天?ﻫ答: 根据“甲完成１／3与乙完成１/２所需要的时间相等”可以得出，甲、乙的工效比为：
１／３:１/２=2：３
因此,两队合作６天时，甲队完成了:(５／6)＊2/5＝１／3,乙队完成1／２;
甲队每天完成：(1/3)／6＝1/18,完成全部工程需要18天；
乙队每天完成:(1/2）/6=1/1２，完成全部工程需要１2天。

ﻫ
1１甲乙两人植树,单独植完这批树甲比乙所需的时间多1／３，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵,这批树一共多少棵？
分析：求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差。

已知甲比乙所用的时间多1/３,可以求出甲与乙所用的时间比为4:3。

当工作总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为4／３：1=4:3,所以甲与乙的工效比是3:4。

这个间接条件一旦揭示出来,问题就得到解决了。

解：设乙所用时间为“１”,甲的时间是乙的1+1/3＝4/3倍,则甲与乙的时间比是４:3。

工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是３：4。

共植树多少棵：36÷（４/7－３/７）=２５２(棵)
答：这批树一共２52棵。

ﻫ12甲乙两人分别同时从Ａ、Ｂ两地相向而行,甲行到的时间比乙少用1/6，当甲到中点时,乙还差15千米。

求A、Ｂ两地相距多远。

答:由”甲行到的时间比乙少用1/6“,可得甲用时1－１/6=5/6,那么甲和乙的速度比是6∶5;
由“当甲到中点时，乙还差１５千米”,可得每一份是15千米,那么甲行了1５×6=9０千米，
ﻫ１３加工一批零件,甲、乙合作24天可以完成.现在由甲先做１6天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2／5没有完成。

已知甲每天比乙多加工3个零件,求这批零件共多少个？
分析:欲求这批零件共多少个,由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可,然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可.由条件知甲做16天,乙做12天共完成工程的3/5，也就是相当于甲乙二人合做１2天,另外加上甲又做4天共完成这批零件的3／5;又知道甲乙二人合做2４天可以完成,因此甲单独做所用天数可求出,那么乙单独做所用天数也就迎刃而解。

解：甲、乙合作１2天完成总工程的几分之几?1/24×12＝１/2
甲１天能完成全工程的几分之几？（3/5－1/2)÷（16－12)＝1/40。

ﻫ乙１天可完成总工程的几分之几?1/24-1/４0＝1/60
这批零件共多少个?3÷(1/40-１/60）＝3６0个
答：这批零件共3６0个。

则A、Ｂ两地相距９０×2＝180千米。

14一项工程,甲单独做要12小时完成,乙单独做要1８小时完成.若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时?
分析:要求共用多少小时?可以设想把这些小时重新分配:甲做１小时，乙做1小时，它们相当于合作１小时，也即是每２小时,相当于合做１小时.这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时,余下部分问题就好解决了．
解答:
①若甲、乙两人合作共需多少小时?
1÷（1/12＋1/1８)＝7.2(时)ﻫ②甲、乙两人各单独做７小时后,还剩多少?
1－7×(1/12＋1/18）=１/3６
③余下的1/36由甲单独做需要多少小时?
1/36÷１/1２=1/3(时）
④共用了多少小时？
7×2＋1／3＝1４又1／3(时)
15一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12答:共用了１4又1／3小时。

ﻫﻫ
小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？
答: 甲、丙合做5小时完成工作量:（1/20+1／１５）*5=７/12；
甲、乙合做的工作量：1-７／12=5/12
甲、乙合做的时间:(5／12）／（1/20＋1/12)=25／8天。

ﻫ1６挖土机挖土，５台每天工作8小时，,4天可挖长40米，宽２0米，深3米的一条水沟，６台每天挖5小时，要挖长100米宽1５米,深３米的一条水沟,需要多少天?
答:每台每小时工作量:
４０＊20*3／(5＊8＊4)＝1５立方米
要挖长1００米宽1５米深3米的水沟，需要:
１0０＊１5*3/（６*５)＝５０小时
5０/5＝10天
１７小李和小张同时开始制作同一种零件,每人每分钟能做一个零件，但小李每制作3个零件要休息１分钟，小张每制作4个零件要休息1．5分钟。

现在他们要共同完成制作300个零件的任务,需要多少分钟?
解:由题意知,包括休息时间,小李每4分钟做３个，小张每5.５分钟做4个。

所以每4４分钟,小李做３3个，小张做32个。

二人共做33+32＝65个。

由３00÷65＝４……４0推知，经过４个4４分钟还剩下4０个零件未完成。

这４0个零件二人合做仍需要28分钟。

所以共需４４×4＋28=２0４分钟。

1８师徒两人共加工零件1６8个,师傅加工一个零件用5分钟,徒弟加工一个零件用9分钟,完成任务时，两人各加工零件多少个？
分析
师傅加工一个零件用5分钟,每分钟加工1／5个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟加工１/9个零件。

师徒两人工作效率的比是1/5：1/9，由于两人的工作时间一定,根据工作量/工作效率=工作时间（一定）,工作量与工作时间成正比例。

解答
解法1:ﻫ设师傅加工x个，徒弟加工(168-x）个。

x：(168－ｘ）＝１/5：1/9
ｘ：(168-ｘ)=９：5
5x=168×9－９ｘ，ﻫ14x=168×９,
x＝1０8.
1６8-x=１６8-１0８=60（个）．
答:师傅加工10８个,徒弟加工60个．
解法2：
由于师徒工作效率的比是1/5:1/9，那么他们工作量的比也是１/５：1/９，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9=9/5倍,徒弟的工作量是1。

徒弟加工的个数：
16８÷(１/5÷1/９＋１)ﻫ＝168÷14／5
=60个
师傅加工的个数：6０×（１/５÷1/９)＝10８个
解法3：
师傅每分钟加工1/５个，徒弟每分钟加工1/9个,用相遇问题思考方法可求出两人各用多少分钟,然后用师徒每分钟做的零件个数乘5４0就是各自加工的个数。

共用的时间：168÷（１/５+1/9）＝５4０(分)
师傅加工的个数：５４0×１／5＝108（个)
19洗衣机厂计划20天生产洗衣机１６徒弟加工的个数:54０×1／9=60（个）ﻫﻫ
00台，生产5天后由于改进技术,效率提高２5%,完成计划还要多少天?
分析ﻫ这是一道比例应用题,工效和工时是变量,不变量是计划生产５天后剩下的台数．从工效看,有原来的效率1６００÷２0=８0台/天,又有提高后的效率 8０×(1+25％)=100台／天．从时间看,有原来计划的天数,要求效率提高后还需要的天数．ﻫ根据工效和工时成反比例的关系,得:
提高后的效率×所需天数＝剩下的台数.
解法1：设完成计划还需x天．
1600÷20×(1＋25％)×x=160０-1600÷２０×5
８０×1.25×x＝１６00－４00ﻫ1０0x＝１２00
x＝1２.ﻫ答：完成计划还需12天.
解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25%=１．25倍,把原来效率看作单位“１”，实际和原来效率之比是５：4，因为工效和工时成反比例,所以实际与原来所需时间的比是4∶５,如果设实际还需要ｘ天,原来计划的天数是20－５＝15天,根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比,可以用正比例解答．设完成计划还需x天.
４/5＝ｘ/（20-5）
5ｘ＝60ﻫx＝12
解法3：（按工程问题解)设完成计划还需x天。

１/２0×(1＋２5％)×x＝1-1／20×5
1/16×x＝1-1/4
x=１2
ﻫ20小王从家到学校共3６０0米，平时要行7２分钟。

今天行了１8分钟后，速度提高了1/8，今天可以提前多少分钟到校?
解法一:3６00平时要行7２分钟，每分钟行50米；先行了１８分钟是900米，还剩下２700米,速度比原来提高了1/8是5６.2５米,剩下要2７00÷56．２5＝４８分钟，提前7２-18-48=６分钟。

解法二：先行了18分钟,按平时还剩下54分钟;速度提高了１／8，时间是原来的８/9,提前了54×１/9＝６分钟。