菱形的判定 公开课获奖教案
菱形的判定教学设计一等奖

菱形的判定教学设计一等奖教学目标:通过本教学设计,学生将能够了解菱形的定义,并能够准确地判定一个图形是否为菱形。
教学重点:菱形的定义、菱形的判定方法教学难点:菱形的判定方法的理解与应用教学准备:1. 教师准备:黑板、彩色粉笔、菱形模型、菱形图片2. 学生准备:课本、笔、纸教学步骤:Step 1:导入新知识(5分钟)教师可以从生活中引入菱形的实例,如菱形的标志、菱形的日常用品等,激发学生的学习兴趣,并导入本节课的主题。
Step 2:引入菱形的定义(10分钟)通过黑板上画菱形、展示菱形模型或者菱形图片等方式向学生展示菱形的形状,并帮助学生发现菱形的特点:四条边都相等,两对相邻边互相平行。
教师可以与学生进行互动问答,引导学生主动发现并给出菱形的定义。
Step 3:讨论菱形的判定方法(10分钟)教师与学生一起探讨如何判定一个图形是否为菱形。
引导学生提出判断菱形的条件:四条边都相等且两对相邻边互相平行,以及其他可能的判定方法。
并与学生一起讨论什么样的图形不是菱形。
Step 4:例题练习(15分钟)教师给学生出示一系列图形,学生根据判断条件判断每个图形是否为菱形。
教师可以逐个点名学生回答,也可以让学生分组进行讨论,并对他们的回答进行评价和纠正。
Step 5:巩固与拓展(10分钟)教师给学生出示一些复杂一点的图形,引导学生运用判定条件判断这些图形是否为菱形,并解释答案的原因。
教师也可以引导学生发现一些与菱形相关的性质或特点,并与学生一起讨论和总结。
Step 6:小结与作业布置(5分钟)教师对本节课的内容进行小结,并强调菱形的判定方法。
布置作业:要求学生在回家后找一些菱形的实例,并回答以下问题:这些实例为什么是菱形?你还能找到其他的菱形吗?教学反思:通过本节课的教学设计,学生能够了解菱形的定义,并能够准确地判定一个图形是否为菱形。
教师通过引入实例、互动问答和练习等多种形式,激发学生的学习兴趣,提高学生的参与度。
菱形的判定(公开课教案)

菱形的判定授课教师: 黄石 授课班级: 初二(10)班 一、教学目标: 经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法.二、教学重点: 菱形判定方法的探究.三、教学难点: 菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程:活动 1、引入新课, 激发兴趣1、复习(1)菱形的定义: 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)菱形的性质 1 菱形的两组对边分别平行, 四条边都相等;性质 2 菱形的两组对角分别相等, 邻角互补;性质 3 菱形的两条对角线互相平分, 菱形的两条对角线互相垂直, 且每一条对角线平分一组对角。
2、导入 (1)如果一个四边形是一个平行四边形, 则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形? 依据是什么?根据菱形的定义可知: 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形, 除根据定义判定外, 还有其它的判定方法吗? 活动 2.探究与归纳菱形的第二个判定方法【问题牵引】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子, 做成一个可转动 的十字架, 四周围上一根橡皮筋, 做成一个四边形。
问: 任意转动木条, 这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗? 继续转动木条, 观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形?你能证明你的 猜想吗?B 学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
教师提问: 这个命题的前提是什么?结论是什么?学生用几何语言表示命题如下: A COD□已知:在 ABCD 中, 对角线 AC⊥BD,□于点 O, 且 AB=5, AO=4, BO=3, 求证: ABCD 是菱形。
活动 4.探究与归纳菱形的第三个判定方法(1)对角线互相垂直的四边形是菱形; (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直, 且有一组邻边相等的四边形是菱形;(4)两条邻边相等, 且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 练习 2: 填空。
幼儿园菱形教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案

幼儿园菱形教案一、教案背景在幼儿园教学中,灵活运用各种形状的教具和材料,对幼儿进行形状认知的训练是非常重要的。
菱形作为几何图形中的一种特殊形状,具有独特的特点和美丽的外形,可以引发幼儿的兴趣和好奇心。
因此,本教案将重点围绕菱形展开,通过一系列的活动,帮助幼儿认识、掌握菱形的形态和属性。
二、教学目标1. 认识并正确读出菱形;2. 学会用不同的方式绘制菱形;3. 在日常生活中观察、找寻并描述出现菱形的事物;4. 提高幼儿对图形的观察力和形状认知能力。
三、教学准备1. 学生所需教具材料:A4纸、彩色笔、印有菱形的卡片、包括菱形的各种玩具或图片。
2. 教师准备教具材料:记号笔、黑板、菱形模板、课堂展示板。
四、教学过程1. 导入环节(1)教师出示一张印有菱形的卡片,询问幼儿:“这是什么形状?”引导幼儿回答“菱形”。
(2)教师出示包括菱形的各种玩具或图片,让幼儿观察并说出名称,再帮助他们理解菱形的特点。
例如:四条边相等,相邻两边互相垂直。
(3)教师可结合互动游戏,让幼儿观察环境中的景物,寻找菱形,并一起欣赏和分享发现的乐趣。
2. 学习活动(1)教师利用菱形模板在黑板上画出一个标准的菱形,让幼儿观察和模仿。
(2)教师发给每个幼儿一张A4纸和彩色笔,引导幼儿按照标准的菱形模板,练习绘制菱形。
(3)教师布置小组活动,每个小组用A4纸和彩色笔制作菱形作品。
要求幼儿可以在菱形内画出一个小动物、一个水果等等,并用彩色笔进行涂饰。
(4)教师组织幼儿展示菱形作品,鼓励幼儿相互欣赏和交流。
3. 拓展活动(1)教师引导幼儿观察周围环境中的事物,并询问:“你们看到了哪些菱形?”鼓励幼儿主动发言,描述菱形的特点和位置。
(2)教师带领幼儿出外实地观察,寻找菱形。
例如,寻找公园内的菱形花坛、电线杆上的菱形警示标志等。
(3)教师为幼儿讲述一个有关菱形的故事,并鼓励幼儿互相分享自己对菱形的认识和观察。
五、教学总结通过本节菱形教案的学习,幼儿能够正确认识、读出菱形,并能用不同的方式绘制菱形。
菱形的判定优质课教学设计一等奖及点评

2、推理论证
获得定理
探究一:用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知:在 ABCD中,AC⊥BD
五、教学环境及资源准备
教学环境:多媒体教室,多媒体资源
学生准备:预习《菱形的判定》、菱形的教具、课本、练习本、剪刀和长方形的纸片
教师准备:制作希沃白板课件、教材、彩色粉笔
教学资源:利用教室的多媒体课件、教材
六、教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
1、回顾反思
类比猜想
1.复习
(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)菱形的性质
边:菱形的对边平行;菱形的四条边都相等;
角:菱形的对角相等;菱形的邻补角互补;
对角线:菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
2.导入:
(1)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(2个条件:一平行四边形,二有一组邻边相等)
板书(菱形的判定1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
+有一组邻边相等=菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线互相垂直=菱形
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+ =菱形
3、课堂练习
巩固新知
1、 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
问题1:菱形的定义和性质
教师画出菱形图形,由图形想定义和性质
问题2:(1)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
《菱形的判定》教案

《菱形的判定》教案一、教学目标:1. 让学生掌握菱形的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 通过对菱形的判定方法的学习,提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容:1. 菱形的定义:四条边相等的四边形。
2. 菱形的性质:对角线互相垂直平分,对角相等,邻边垂直。
3. 菱形的判定方法:(1)四条边相等的四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(3)一组邻边相等且垂直的四边形是菱形。
三、教学重点与难点:重点:菱形的定义、性质和判定方法。
难点:菱形判定方法的灵活运用。
四、教学过程:1. 导入:通过展示实物或图片,引导学生观察并思考:这些图形是否为菱形?从而引出本节课的主题。
2. 新课讲解:(1)介绍菱形的定义,让学生理解菱形的概念。
(2)讲解菱形的性质,引导学生通过画图或举例验证。
(3)讲解菱形的判定方法,引导学生通过实例进行分析。
3. 课堂练习:4. 总结与拓展:对本节课的内容进行总结,强调菱形的判定方法。
提出拓展问题,引导学生思考:还有其他判定菱形的方法吗?五、课后作业:1. 复习本节课的内容,整理笔记。
2. 完成课后练习题,巩固所学知识。
3. 探索其他判定菱形的方法,并与同学交流分享。
六、教学评价:1. 通过课堂讲解、练习和课后作业,评估学生对菱形定义、性质和判定方法的掌握程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程,评价其逻辑思维能力和运用几何知识分析问题的能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论,评估其合作交流能力。
七、教学策略:1. 采用直观演示法,通过实物、图片和几何画板等工具,帮助学生形象地理解菱形的定义和性质。
2. 运用案例分析法,让学生通过分析具体实例,掌握菱形的判定方法。
3. 设计课后作业和练习题,让学生在实践中巩固所学知识。
八、教学资源:1. 实物或图片:用于导入和直观展示菱形。
2. 几何画板:用于演示菱形的性质和判定方法。
3. 练习题和作业:用于巩固所学知识。
菱形的判定教学设计(获奖)

附件1:“优秀教学设计”作品登记表菱形的判定教学设计临朐县龙泉中学王思峰刘文芹二0一一年四月二十五日附件2:教学设计文案教学过程一、创设情境,引入课题1、课件展示课题与学习目标,知识回顾;2、自主学习课本相关内容回答以下问题。
想一想:矩形与菱形分别比平行四边形多了哪些特殊的性质,矩形有哪些判定方法?矩形菱形性质1.四个角都是直角2.对角线相等1.四边相等2.对角线相互垂直,每一条对角线平分一组对角判定1.定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形2.三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形是矩形老师:看看上表,同学们准能猜出,这节课我们将研究如何判断一个四边形是菱形的问题。
二、合作交流,探索新知课件展示:感受生活(生活中的菱形)提问:图案是由什么样的四边形构成?谁还记得菱形的定义是什么?引入菱形的判定方法一定义:(学生回答)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
展示课件老师规范用定义判定菱形的符号语言:∵ ABCD中,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形。
课件展示:(学生练习)如图:AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F。
求证:四边形AEDF是菱形学生完成后,让一个学生投影自己的证明过程并作说明。
有什么猜想生甲:矩形的对角线相等,于是有对角线相等平行四边形是矩形。
菱形的对角线互相垂直,是不是可以猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
生乙:矩形定义是平行四边形基础上限制角的,于是有“三个角是直角的四边形是矩形。
菱形定义是平行四边形基础上限制边的,是不是可以得到“四条边都相等的四边形是菱形”呢?老师:猜的有理。
现在大家做做看!看有什么新发现!探究活动:(操作要求)用一长一短两根细木条,在它们中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形,转动木条。
形请仔细观察当木条转动到什么位置时,这个四边形变成一个菱形。
课件展示:学生操作、观察、思考、讨论后得到结论:两根木条互相垂直时,这个四边形变成菱形。
初中数学 教学设计:菱形的判定 省赛一等奖

、BD互相垂直。
(平行四边形对角线相互平分).
的垂直平分线,
(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想3:(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
如果一个四边形的每条对角线平分一组对角,那么这个四边形是菱形。
例3、如图2-56,在平行四边形ABCD中,AC = 6,BD = 8,AD = 5. 求AB的长.
判定定理3每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
三、随堂练习
1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
2、下列说法中正确的是()
A、有两边相等的平行四边形是菱形;
B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形;
C、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形;
D、四个角相等的四边形是菱形
3、判断下列说法是否正确?为什么?
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;。
菱形的性质与判定教案市公开课一等奖省优质课获奖课件

思索:计算菱形面积除了上式方法外,利用 对角线能 计算菱形面积公式吗?
第7页
课堂小结
菱形是特殊平行四边形,所以平行四边形 面积公式一样适合用于菱形,即底×高即 可;要注意底与高必须是相互对应;另外 因为菱形特殊性,也有它自己面积求法, 即两条对角线乘积二分之一.
第8页
1.如图所表示,在菱形 ABCD中,两条对角线相交 于点O,△ABC面积为2,菱 形ABCD面积是 4 .
问题思索
将两张等宽长方形纸条交叉叠放,重合
部分是一个四边形ABCD,若AD=6
cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD面积
等于
.
你能解答这个问题吗?
第2页
例题讲解
学习新知
例3 如图所表示,四边形ABCD是边长为 13 cm菱形,其中对角线BD长10 cm.求: (1)对角线AC长度; (2)菱形ABCD面积.
第3页
解:⑴∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相
交于点E,∴∠AED=90°(菱形对角线相互
垂直),
DE
1 BD 2
1 10 5(cm) 2
(菱形对角线相互平分)
AE AD2 DE2 132 52 12(cm).
AC=2AE=2×12=24(cm)(菱形对角线 相互平分).
第4页
⑵菱形ABCD面积 =△ABD面积+△CBD面积
阴影部分和空白部分.当菱形两条对角线
长分别为6和8时,则阴影部分面积
为
.
第11页
解析:依据菱形面积等于其对角线长乘积 二分之一求出面积,再依据中心对称性质判断 出阴影部分面积等于菱形面积二分之一解
答.∵菱形两条对角线长分别为6和8,
菱形判定优秀教案

菱形判定优秀教案
教案标题:菱形判定优秀教案
一、教学目标
1. 知识目标:学生能够理解菱形的定义和性质,能够判断一个四边形是否为菱形。
2. 能力目标:学生能够运用菱形的性质解决相关问题,培养学生的逻辑推理和问题解决能力。
3. 情感目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的数学思维和创新意识。
二、教学重点与难点
1. 教学重点:菱形的定义和性质,菱形判定方法。
2. 教学难点:学生能够灵活运用菱形的性质解决问题。
三、教学准备
1. 教材:教科书相关知识点
2. 教具:黑板、彩色粉笔、菱形模型、练习题
四、教学过程
1. 导入:通过展示菱形模型引起学生对菱形的兴趣,引发学生思考:什么是菱形?菱形有哪些性质?
2. 讲解:通过黑板和彩色粉笔,讲解菱形的定义和性质,引导学生理解和掌握菱形的相关知识。
3. 操练:设计一些菱形判定的练习题,让学生在课堂上进行练习,巩固所学知识。
4. 拓展:引导学生运用菱形的性质解决一些实际问题,拓展学生的数学思维。
5. 总结:对菱形的定义和性质进行总结,强调菱形判定的方法,让学生掌握菱形的相关知识。
五、课堂作业
布置一些菱形判定的练习题,让学生在家中进行巩固和复习。
六、教学反思
对本节课的教学过程进行总结和反思,查漏补缺,为下节课的教学做好准备。
七、教学延伸
设计一些拓展性的菱形问题,让学生进行思考和探究,拓展学生的数学思维。
6.2菱形的判定 一等奖创新教学设计

6.2菱形的判定一等奖创新教学设计2.6.2 菱形的判定教学目标:(1)理解并掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”;(2)理解并掌握“四边都相等的四边形是菱形.”(3)会用判定方法进行有关的论证和计算;(4)在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力与逻辑思维能力.教学重点:菱形的两个判定方法.教学难点:判定方法的证明方法及综合运用.教学过程:引入知识回顾:(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形;(2)菱形的性质1 菱形的四条边都相等;性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;问题:我们可经根据菱形的定义判断是否为菱形,但除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?如图2-52,用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗?把上述问题抽象出来就是:四条边都相等的四边形是菱形吗?下面我们来证明这个结论.如图2-53,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.∵AD=BC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.由此得到菱形的判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.例题讲解:分析解题过程并板书.如图2-54,在四边形ABCD中,线段BD垂直平分AC,且相交于点O,∠1=∠2.求证:四边形ABCD 是菱形.证明:∵线段BD垂直平分AC,∴BA=BC,DA=DC,OA=OC.在△AOB和△COD中,∵∠1=∠2,∠AOB=∠COD,OA=OC,∴△AOB ≌△COD∴AB=CD.∴AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).动脑筋菱形的两条对角线既互相垂直,又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发,你能画出一个菱形吗?过点O画两条互相垂直的线段AC和BD,使得OA=OC,OB=OD. 连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是菱形,如图:你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗?如图2-55,由画法可知,四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分,因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直,上述问题抽象出来就是:对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?我们来进行证明.由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分,因此它是平行四边形.又由于DB是线段AC的垂直平分线,因此,DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.由此得到菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.例2 如图2-56,在平行四边形ABCD中,AC = 6,BD = 8,AD = 5. 求AB的长.解∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=AD=5 .又∵AD=5,满足___,∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA = 90°,即DB⊥AC.∴平行四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)∴AB=AD=5 .随堂训练画一个菱形,使它的两条对角线长度分别为4cm,3cm.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 作MN⊥BD,分别交AD,BC于点M,N.求证:四边形BNDM 是菱形.课堂小结判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.。
菱形的判定 公开课获奖教案

第2课时 菱形的判定1.掌握菱形的判定方法;(重点)2.探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.(难点)一、情境导入 我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.这是菱形的定义,我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗?菱形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质:1.两条对角线互相垂直平分; 2.四条边都相等;3.每条对角线平分一组对角. 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢?二、合作探究探究点一:菱形的判定【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,BE =2DE ,延长DE 到点F ,使得EF =BE ,连接CF .求证:四边形BCFE 是菱形. 解析:由题意易得,EF 与BC 平行且相等,∴四边形BCFE 是平行四边形.又∵EF =BE ,∴四边形BCFE 是菱形.证明:∵BE =2DE ,EF =BE ,∴EF =2DE .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点,∴BC =2DE 且DE ∥BC ,∴EF =BC .又∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形.又∵EF =BE ,∴四边形BCFE 是菱形.方法总结:菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,AE ∥BF ,AC 平分∠BAD ,且交BF 于点C ,BD 平分∠ABC ,且交AE 于点D ,连接CD .求证:(1)AC ⊥BD ;(2)四边形ABCD 是菱形.解析:(1)证得△BAC 是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC ⊥BD 即可;(2)首先证得四边形ABCD 是平行四边形,然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形.证明:(1)∵AE ∥BF ,∴∠BCA =∠CAD .∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC =∠CAD ,∴∠BCA =∠BAC ,∴△BAC 是等腰三角形.∵BD 平分∠ABC ,∴AC ⊥BD ;(2)∵△BAC 是等腰三角形,∴AB =CB .∵BD 平分∠ABC ,∴∠CBD =∠ABD .∵AE ∥BF ,∴∠CBD =∠BDA ,∴∠ABD =∠BDA ,∴AB =AD ,∴DA =CB .∵BC ∥DA ,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 是菱形.方法总结:用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形;对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.(1)求证:△AED≌△CFD;(2)求证:四边形AECF是菱形.解析:(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,从而得到AE=CE,AD=CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用“AAS”证得两三角形全等即可;(2)根据(1)中全等得到AE=CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线,得到EC=EA,FC=F A.从而得到EC=EA=FC=F A,利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形.证明:(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,AD=CD.∵CF∥AB,∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED.在△AED与△CFD中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC=∠FCA,∠AED=∠CFD,AD=CD,∴△AED≌△CFD(AAS);(2)∵△AED≌△CFD,∴AE=CF.∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC=EA,FC=F A,∴EC=EA=FC=F A,∴四边形AECF为菱形.方法总结:判定一个四边形是菱形把握以下两起点:(1)以四边形为起点进行判定;(2)以平行四边形为起点进行判定.探究点二:菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图,平行四边形ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”).解析:∵AD∥BC,∴∠F AD=∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠F AD,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF.同理ED=CD.∵AD=BC,AB=CD,∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,则添加的一个条件可以是AC⊥EF.方法总结:菱形的判定方法常用的是三种:(1)定义;(2)四边相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使得∠EFD=∠BCD,并说明理由.解析:(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC,可得∠BAC=∠DAC.再证明△ABF≌△ADF,可得∠AFD=∠AFB,进而得到∠AFD=∠CFE;(2)首先证明∠CAD=∠ACD,再根据“等角对等边”,可得AD=CD.再由条件AB=AD,CB=CD,可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD是菱形;(3)首先证明△BCF ≌△DCF ,可得∠CBF =∠CDF ,再根据BE ⊥CD 可得∠BEC =∠DEF =90°,进而得到∠EFD =∠BCD .(1)证明:在△ABC 和△ADC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,BC =DC ,AC =AC ,∴△ABC ≌△ADC (SSS),∴∠BAC =∠DAC .在△ABF 和△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,∠BAF =∠DAF ,AF =AF ,∴△ABF ≌△ADF (SAS),∴∠AFD =∠AFB .∵∠AFB =∠CFE ,∴∠AFD =∠CFE ;(2)证明:∵AB ∥CD ,∴∠BAC =∠ACD .又∵∠BAC =∠DAC ,∴∠CAD =∠ACD ,∴AD =CD .∵AB =AD ,CB =CD ,∴AB =CB =CD =AD ,∴四边形ABCD 是菱形;(3)解:当EB ⊥CD 于E 时,∠EFD =∠BCD .理由如下:∵四边形ABCD 为菱形,∴BC =CD ,∠BCF =∠DCF .在△BCF 和△DCF 中,⎩⎪⎨⎪⎧BC =CD ,∠BCF =∠DCF ,CF =CF ,∴△BCF ≌△DCF (SAS),∴∠CBF =∠CDF .∵BE ⊥CD ,∴∠BEC =∠DEF =90°,则∠BCD +∠CBF =∠EFD +∠CDF =90°,∴∠EFD =∠BCD .方法总结:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及菱形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.三、板书设计 1.菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四条边相等的四边形是菱形. 2.菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时,要遵循先易后难的原则,让学生先会运用判定解决简单的证明题,再由浅入深,学会灵活运用.通过做不同形式的练习题,让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.17.1 勾股定理第1课时 勾股定理1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;(重点) 2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;(重点) 3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.(难点) 一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一:勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:(1)AC的长;(2)S△ABC;(3)CD的长.解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=AB2-BC2=12cm;(2)S△ABC=12CB·AC=12×5×12=30(cm2);(3)∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB,∴CD=AC·BCAB=6013cm.方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明探索与研究:方法1:如图:对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗?解析:方法1:根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答;方法2:根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答.解:方法1:S正方形ACFD=S四边形ABFE=S△BAE+S△BFE,即b2=12c2+12(b+a)(b-a),整理得2b2=c2+b2-a2,∴a2+b2=c2;方法2:此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°,再向下平移得到.∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD,∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,即12b2+12ab=12c2+12a(b-a),整理得b2+ab=c2+a(b-a),b2+ab=c2+ab-a2,∴a2+b2=c2.方法总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.探究点二:勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是________.解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.故答案为10.方法总结:能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.三、板书设计1.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.3.勾股定理与图形的面积课堂教学中,要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中,提高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,设计一些拼图活动,并自制精巧的课件让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究突破本节课的难点.。
初中八年级数学教案-菱形的判定-国赛一等奖

矩形,那么菱形的定义可以作为判定菱形的方法吗用几何语言如何表示答:能.用几何语言表示如下:∵在▱ABCD中,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.范例:在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AD∥BC,请添加一个条件,使四边形ABCD是菱形,所添加的条件是AB=AD答案不唯一.知识模块2对角线互相垂直的平行四边形是菱形阅读教材P57上面一个“思考”,完成下面的问题:1已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD请用菱形的定义推理▱ABCD是否为菱形解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.平行四边形的对角线互相平分又∵AC⊥BD,∴DA=DC.线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等∴▱ABCD是菱形.有一组邻边相等的平行四边形是菱形归纳:菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.范例:如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F求证:四边形AFCE是菱形.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC,∴∠1=∠2∵EF平分AC,∴OA=OC又∵∠AOE=∠COF=90°,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思考并讨论:1对角线互相垂直的四边形是菱形吗不是.2对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗是.知识模块3四条边相等的四边形是菱形阅读教材P57下面一个“思考”~P58“练习”之前的内容,完成下面的问题:1.你能写出命题“菱形的四条边都相等”的逆命题吗答:四条边都相等的四边形是菱形.2.你能证明上述的命题吗已知:如图:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形又AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.有一组邻边相等的平行四边形是菱形归纳:菱形的另一个判定定理:四条边相等的四边形是菱形.范例:如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是四条边的中点,试问四边形EFGH是什么图形并说明理由.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠A=∠D=90°∵E、G、H分别是AB、CD、AD的中点,∴AH=DH,AE=错误!AB,DG=错误!CD,即AE=DG∴△AEH≌△DGH SAS.∴EH=HG同理可证EH=EF,EF=FG,FG=GH,即EH=HG=GF=EF∴四边形EFGH是菱形.四条边相等的四边形是菱形。
《菱形》的教案及一等奖说课稿

《菱形》的教案及一等奖说课稿《《菱形》的教案及一等奖说课稿》这是优秀的说课稿文章,希望可以对您的学习工作中带来帮助!1、《菱形》的教案及一等奖说课稿《菱形》的教案及说课稿一、教材分析:1、教材的地位和作用“菱形”一节是鲁教版《数学》七年级下册第二章“四边形性质探索”第三节第一课时。
它是学生在学习了平行四边形的性质和判定的基础上对平行四边形知识的延续和深入,同时它也为本章后面几节课的学习和探索做了铺垫。
所以,虽然本节内容所占章节不多,但是在整章中却有着承上启下的作用。
2、教材的重、难点重点:菱形的定义、性质及其应用。
难点:经历“观察—思考—归纳—总结”得到菱形的性质。
设计理念:基于学生抽象思维能力弱、动手能力差,不喜欢枯燥的文字说教,喜欢有声有色的教学和学生接受知识的特点。
二、教学目标根据新课程标准和本节内容在整个初中数学中的地位与作用,我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。
1、知识与能力目标:能理解菱形的定义及其性质并会初步运用菱形的性质进行简单的计算和推理论证。
2、过程与方法目标:在探索菱形性质的过程中,让学生经历“观察—思考—归纳—总结”的数学思想。
3、情感与价值观目标:通过学生自己动手操作,观察分析得出结论。
在欢快愉悦的环境中使知识点得以掌握,激发了学生的学习兴趣。
设计理念:根据新课标的要求,以学生的发展为本,根据学生已有的知识量和学习能力制定切实可行的教学目标,体现出教师、学生、课堂的“三维”课程目标的`和谐统一,另一方面也是根据学生的实际情况考虑的,为他们后面的学习打下好的基础。
三、教法与学法1、教法:启发式教学、直观教学法和讲练结合法。
以课件为载体,学生能说的教师不说,学生能做的教师不代劳,以助于学生更好的掌握知识。
在教学手段上,我将借助计算机多媒体这一手段来辅助教学。
课前,我将利用“超级画板”制作精巧、灵活的课件,并在课堂上适时的播放,化静为动,激发学生的求知欲望和兴趣,从而使教学目标得以直观完美的体现。
菱形的判定教学设计一等奖

菱形的判定教学设计一等奖近年来,随着教育改革的深入推进,教学设计成为了教师们必备的一项技能。
教学设计的目的是为了提高教学效果,激发学生的学习兴趣和能力。
而本文将以菱形的判定教学设计为例,来探讨如何有效地进行教学设计。
一、教学目标在进行教学设计之前,首先需要明确教学目标。
对于菱形的判定,我们的教学目标可以设定为:理解菱形的定义和性质,掌握菱形的判定条件,并能够应用到实际问题的解决中。
二、教学内容菱形的判定是几何学中的一个重要内容,它与平行四边形、矩形等有着密切的联系。
因此,在进行菱形的判定教学时,可以将其与其他几何概念进行对比和区分,以帮助学生更好地理解和掌握。
三、教学过程1. 导入:通过引入一个生活中的例子,比如让学生观察和描述菱形形状的路标或标志牌,引起学生的兴趣和好奇心。
2. 知识讲解:通过简洁明了的语言,向学生介绍菱形的定义和性质。
不过,为了避免数学公式的使用,可以通过比喻的方式来解释菱形的特点,比如将其比作一颗闪耀的钻石。
3. 实例展示:通过几个具体的实例,让学生观察和分析,找出菱形的判定条件。
例如,可以给出几个图形,让学生判断哪些是菱形,哪些不是,并总结出判定的规律。
4. 练习巩固:设计一些练习题,让学生运用所学知识进行判定。
可以采用个别操练或小组合作的方式,让学生互相交流和讨论,加深对菱形判定的理解。
5. 拓展应用:将学生的学习成果应用到实际问题中,比如让学生设计一个菱形的标志,或者找出周围环境中的菱形形状,让学生能够将所学知识与实际生活相结合。
四、评价与反思教学设计过程中,评价与反思是必不可少的环节。
教师可以通过观察学生的表现、听取学生的意见和建议,来评价教学效果。
同时,教师也要对自己的教学进行反思和总结,以不断改进和提高教学质量。
通过以上的教学设计,我们可以看到,菱形的判定教学不仅仅是一个简单的知识传授过程,更是一个启发学生思维、培养学生能力的过程。
通过引入生活例子、设计实例展示和拓展应用等环节,可以让学生在愉悦的氛围中学习,提高学习的积极性和主动性。
菱形的判定教学设计 -完整获奖版

菱形的判定教学设计平罗县陶乐中学张菊和2017年9月16日菱形的判定教学设计学情分析:本节课是基于学习了所有的平行四边形性质,并在探究了平行四边形的判定与矩形的判定之后,又一个特殊平行四边形判定方法的探索,它不仅是三角形、四边形知识的延伸,更为后面要学习的正方形的判定指明了方向,在图形的认识、图形的证明中占有比较重要的地位。
一、教学目标1.能说出菱形的判定定理,并会运用它们进行有关的论证和计算.2.经历探究菱形判定条件的过程,通过操作、观察、猜想、证明的过程,培养学生的科学探索精神.3.通过菱形与矩形的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.二、教学重点菱形的判定定理的掌握和灵活应用三、教学难点菱形的判定定理的灵活应用学情分析:本节课是基于平行四边形之后,特殊的平行四边形中的第二种图形,并且有了前面学习矩形的判定基础,通过知识的迁移,学生对菱形的判定的学习会比较容易一些。
四、教学方法自主探究类比启发五、教学手段:多媒体六、教学过程1、创设情境引入课题教师课件展示本节课的课题,回顾旧知:问题1 看到本节课的课题,同学们想到了什么?学生根据前面学习过的平行四边形性质、判定,矩形的性质、判定的经验回答问题。
教师课件展示(感受生活):生活中的菱形教师提问,图中的图形是不是特殊的平行四边形,特殊在哪儿?学生回顾菱形的定义、性质。
2、合作交流探究思考问题1 那么我们今天要学习的判定与菱形的定义和性质有什么关系呢?同学们再想想矩形的定义、性质和矩形的判定有什么联系呢?教师出示:问题2 同学们,能把你们发现的说出来吗?学生举手回答。
学生根据上表类比猜想菱形的判定。
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
BA A B课件展示:符号语言:是菱形性质:1、菱形的四条边都相等。
2、菱形的对角线互相垂直。
猜想1对角线互相垂直的平行四边形是菱形那我们知道,所有的猜想都必须要经过严密的逻辑推理证明才能成为定理,接下来,请同学们四人一小组用准备好的工具操作、观察、再用数学语言证明猜想。
《菱形的判定》教案

《菱形的判定》教案一、教学目标知识与技能:1. 学生能够理解菱形的定义及其性质。
2. 学生能够运用菱形的判定方法判断一个四边形是否为菱形。
过程与方法:1. 学生通过观察、分析、归纳菱形的性质,培养观察和思维能力。
2. 学生通过练习,提高运用菱形判定方法解决问题的能力。
情感态度价值观:1. 学生培养对几何图形的兴趣,激发学习热情。
2. 学生在解决几何问题时,培养耐心和自信心。
二、教学重点与难点重点:1. 菱形的定义及其性质。
2. 菱形的判定方法。
难点:1. 理解并运用菱形的判定方法判断一个四边形是否为菱形。
三、教学准备教师准备:1. 教学PPT或黑板。
2. 菱形的相关图片或实物。
3. 练习题。
学生准备:1. 笔记本。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
四、教学过程1. 导入:教师展示一些菱形的图片或实物,引导学生观察,激发学生对菱形的兴趣。
提问:“你们认为菱形有哪些特点?”2. 讲解:教师讲解菱形的定义及其性质,引导学生通过观察、分析、归纳菱形的性质。
讲解菱形的判定方法,并用PPT或黑板展示判定过程。
3. 练习:教师给出一些练习题,让学生独立完成,检验学生对菱形判定方法的掌握程度。
4. 总结:教师引导学生总结本节课所学内容,加深对菱形定义、性质和判定方法的理解。
五、课后作业1. 请学生运用菱形的判定方法,判断一些给定的四边形是否为菱形,并说明理由。
2. 请学生绘制一个任意的菱形,并标注出其性质。
六、教学反馈与评价1. 课堂反馈:观察学生在练习中的表现,了解他们对菱形判定方法的掌握程度。
鼓励学生提出问题,解答他们的疑惑。
通过课堂提问,检查学生对菱形定义和性质的理解。
2. 课后作业评价:检查学生作业完成情况,关注他们的解题思路和计算准确性。
对学生的作业进行点评,给予肯定和指导。
七、教学拓展1. 菱形的应用:介绍菱形在几何图形中的应用,如在设计、建筑等领域。
展示一些实际的例子,让学生了解菱形的实际意义。
2. 菱形与其他多边形的联系:引导学生思考菱形与其他多边形(如矩形、正方形)的关系。
5.2.2 菱形一等奖 公开课教案教学设计课件

A
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形?
D
F
当AB=BC时,围成的四边形是菱形.
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形?
B
E
C
当∠B=Rt∠时,围成的四边形是矩形.
(4)你还能发现其他什么结论吗?
□BEFD的面积是△ABC面积的一半. S△ADF=S△FEC.
小结
四边形
平行四边形
菱 形
概念 性质 判定 应用
5.2.1 菱形
复习回顾
菱形的定义与性质定理: 菱形:一组邻边相等的平行四边形 定理1:菱形的四条边都相等 逆命题:四条边都相等的四边形是菱形 定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一
组对角 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 弱化条件
合作探究1
逆命题:四条边都相等的四边形是菱形
练2:如图,顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,求证:四边
形EFGH是菱形.
A
E
D
F
H
B
G
C
如图,DF,EF是△ABC的两条中位线,我们探究的问题是:这两条中位
线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的形状有什么关系.
建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形? 必定是平行四边形
逆命题:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D
已知:在□ABCD中,AC⊥BD.
求证:□ABCD是菱形.
A
O
C
B
思1:已知ABCD是平行四边形的情况下,要证明它是菱形, 只需要证明什么?
思2:要证DA=DC,你有哪些方法?
思3:如果通过证明BD垂直平分来证明AD=CD,已知BD⊥AC,根据 什么说明AC与BD平分?
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第2课时 菱形的判定1.掌握菱形的判定方法;(重点)2.探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.(难点)一、情境导入 我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.这是菱形的定义,我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗?菱形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质:1.两条对角线互相垂直平分; 2.四条边都相等;3.每条对角线平分一组对角. 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢?二、合作探究探究点一:菱形的判定【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,BE =2DE ,延长DE 到点F ,使得EF =BE ,连接CF .求证:四边形BCFE 是菱形. 解析:由题意易得,EF 与BC 平行且相等,∴四边形BCFE 是平行四边形.又∵EF =BE ,∴四边形BCFE 是菱形.证明:∵BE =2DE ,EF =BE ,∴EF =2DE .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点,∴BC =2DE 且DE ∥BC ,∴EF =BC .又∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形.又∵EF =BE ,∴四边形BCFE 是菱形.方法总结:菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,AE ∥BF ,AC 平分∠BAD ,且交BF 于点C ,BD 平分∠ABC ,且交AE 于点D ,连接CD .求证:(1)AC ⊥BD ;(2)四边形ABCD 是菱形.解析:(1)证得△BAC 是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC ⊥BD 即可;(2)首先证得四边形ABCD 是平行四边形,然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形.证明:(1)∵AE ∥BF ,∴∠BCA =∠CAD .∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC =∠CAD ,∴∠BCA =∠BAC ,∴△BAC 是等腰三角形.∵BD 平分∠ABC ,∴AC ⊥BD ;(2)∵△BAC 是等腰三角形,∴AB =CB .∵BD 平分∠ABC ,∴∠CBD =∠ABD .∵AE ∥BF ,∴∠CBD =∠BDA ,∴∠ABD =∠BDA ,∴AB =AD ,∴DA =CB .∵BC ∥DA ,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 是菱形.方法总结:用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形;对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.(1)求证:△AED≌△CFD;(2)求证:四边形AECF是菱形.解析:(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,从而得到AE=CE,AD=CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用“AAS”证得两三角形全等即可;(2)根据(1)中全等得到AE=CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线,得到EC=EA,FC=F A.从而得到EC=EA=FC=F A,利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形.证明:(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,AD=CD.∵CF∥AB,∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED.在△AED与△CFD中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC=∠FCA,∠AED=∠CFD,AD=CD,∴△AED≌△CFD(AAS);(2)∵△AED≌△CFD,∴AE=CF.∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC=EA,FC=F A,∴EC=EA=FC=F A,∴四边形AECF为菱形.方法总结:判定一个四边形是菱形把握以下两起点:(1)以四边形为起点进行判定;(2)以平行四边形为起点进行判定.探究点二:菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图,平行四边形ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”).解析:∵AD∥BC,∴∠F AD=∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠F AD,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF.同理ED=CD.∵AD=BC,AB=CD,∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,则添加的一个条件可以是AC⊥EF.方法总结:菱形的判定方法常用的是三种:(1)定义;(2)四边相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使得∠EFD=∠BCD,并说明理由.解析:(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC,可得∠BAC=∠DAC.再证明△ABF≌△ADF,可得∠AFD=∠AFB,进而得到∠AFD=∠CFE;(2)首先证明∠CAD=∠ACD,再根据“等角对等边”,可得AD=CD.再由条件AB=AD,CB=CD,可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD是菱形;(3)首先证明△BCF ≌△DCF ,可得∠CBF =∠CDF ,再根据BE ⊥CD 可得∠BEC =∠DEF =90°,进而得到∠EFD =∠BCD .(1)证明:在△ABC 和△ADC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,BC =DC ,AC =AC ,∴△ABC ≌△ADC (SSS),∴∠BAC =∠DAC .在△ABF 和△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,∠BAF =∠DAF ,AF =AF ,∴△ABF ≌△ADF (SAS),∴∠AFD =∠AFB .∵∠AFB =∠CFE ,∴∠AFD =∠CFE ;(2)证明:∵AB ∥CD ,∴∠BAC =∠ACD .又∵∠BAC =∠DAC ,∴∠CAD =∠ACD ,∴AD =CD .∵AB =AD ,CB =CD ,∴AB =CB =CD =AD ,∴四边形ABCD 是菱形;(3)解:当EB ⊥CD 于E 时,∠EFD =∠BCD .理由如下:∵四边形ABCD 为菱形,∴BC =CD ,∠BCF =∠DCF .在△BCF 和△DCF 中,⎩⎪⎨⎪⎧BC =CD ,∠BCF =∠DCF ,CF =CF ,∴△BCF ≌△DCF (SAS),∴∠CBF =∠CDF .∵BE ⊥CD ,∴∠BEC =∠DEF =90°,则∠BCD +∠CBF =∠EFD +∠CDF =90°,∴∠EFD =∠BCD .方法总结:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及菱形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.三、板书设计 1.菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四条边相等的四边形是菱形. 2.菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时,要遵循先易后难的原则,让学生先会运用判定解决简单的证明题,再由浅入深,学会灵活运用.通过做不同形式的练习题,让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.17.1 勾股定理第1课时 勾股定理1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;(重点) 2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;(重点) 3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.(难点) 一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一:勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:(1)AC的长;(2)S△ABC;(3)CD的长.解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=AB2-BC2=12cm;(2)S△ABC=12CB·AC=12×5×12=30(cm2);(3)∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB,∴CD=AC·BCAB=6013cm.方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明探索与研究:方法1:如图:对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗?解析:方法1:根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答;方法2:根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答.解:方法1:S正方形ACFD=S四边形ABFE=S△BAE+S△BFE,即b2=12c2+12(b+a)(b-a),整理得2b2=c2+b2-a2,∴a2+b2=c2;方法2:此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°,再向下平移得到.∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD,∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,即12b2+12ab=12c2+12a(b-a),整理得b2+ab=c2+a(b-a),b2+ab=c2+ab-a2,∴a2+b2=c2.方法总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.探究点二:勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是________.解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.故答案为10.方法总结:能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.三、板书设计1.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.3.勾股定理与图形的面积课堂教学中,要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中,提高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,设计一些拼图活动,并自制精巧的课件让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究突破本节课的难点.。