材料力学—— 应力分析 强度理论

z
sz
zy
zx
yz
xz
sy y
sx xy yx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
2.任意a角斜截面上的应力
y
应力与应变分析
sy
t
n
sx
sx x
xy
ssxxxy
sα
a
a
dA
α
x
C
yx
sy
sy yx
n 0：sa dA (sxdc Aoa)scoa s(sydA sia n)sia n
(xd y A coas)sia n(yxdA sia n)coas 0
D(sx, xy) 2a
2a0 A A1
C
s' s
D' (sy, yx)
G2 "
3.应力圆的应用
①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的 应力；
②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转 过a;
③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向 相同；
④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点， 按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。
单元体ABCD：Me /Wn
2)s s'''02
022 2
tg2a00 a045o 3)s1s'， s20， s3s''
主单元体如右
4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴
线成±45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；
sx'sx 2sy 22 x'y' sx 2sy 22 x y2
②以s、为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、x’y‘为： 以) [s (xs y)/2,0]为圆[心 s (xs ， y)/2]2 以 2 xy 为半径的圆。
③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
思考：复杂应力状态下的强度校核？
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
应力与应变分析
sy
sx
sx
yx xy sy
sx
sx
xy yx sy
第七章
应力和应变分析 强度理论
前言
• 横截面应力分析 • 非横截面破坏
– 低碳钢拉伸 – 铸铁压缩 – 铸铁扭转
• 斜截面应力研究
第一节 应力状态的概念
应力与应变分析
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处所有斜截面上
的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
2.单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面的法线 方向，第二角标表示应力平行的轴。两角标相同时，只用一个角
标表示
9个应力分量 (二阶张量)
第三节 三向应力状态下的最大应力
一、三向应力状态下的应力圆
1.三向应力状态应力圆：
①平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； ②平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； ③平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； ④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 2.三向应力状态下的最大剪应力
②令
ds a da
0
得：
tan2a0
2xy sx sy
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
应力与应变分析
s s"' sx 2sysx 2sy2x 2y(s's")
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)
2.应力圆的绘制（利用已知点）：
①定坐标及比例尺；
②取x面，定出D( sx ,xy)点；取y面，定出D‘( sy ,yx)点；
③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y sy yx
xy sx
n
sa
a sx x a xy
yx sy
sa,aE
B1 B O s"
G1'
00140(30014)02(15)20
2
2
2201705309M 0 Pa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
④主应力方位：
tg2a0s2xxsyy3200115400185 2a062o a031o a0212o1
⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力=0，确
定过角D转度过为的2 a角*0 度，；转D至转s轴至负s轴向正B1向点A代1点表s代"表所s在‘所主在平主面平；面，其转
⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点 为’，纵轴坐标最小的G2点为，作用面确定方法同主应力。
思考
（2）切应力互等定理：9 -> 6
Hale Waihona Puke 应力与应变分析 y z z， y z x x， z x y yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
E1[s2(s3s1)] E1[s3(s1s2)]
③一般情况：
ex E1[sx(sysz)] ey E1[sy(szsx)] ez E1[sz(sxsy)] xyxy/G，yz yz/G，zx zx /G
s2
s2
s2
III
应力与应变分析
①令：
d a 0，可求出两个相差90o 的 da
tg2a1
sx sy 2xy
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力： " ' sx 2sy22 xys 2s" ③ tg2a0tg21a1 (极值切应力平面与主平面成45o)
⑤单元体内的最大剪应力：
ma s x1 2s339 2 50 017 M 0 Pa
最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o 或14o。
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
xy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
第四节 广义虎克定律
面和最大剪应力作用面位置。
解： ①给定应力状态中有一个主
应 力 是 已 知 的 ， 即 sz=90MPa 。 因此，可将该应力状态沿z方向 z
90
150
x
300
投影，得到平面应力状态，可直
接求主应力及其方位。
②sx=300MPa，sy=140MPa，xy=150MPa，因此：
s sm mianx3
e1e1'e1"e1"'E1[s1(s2s3)]
P
P
Me B
Me
A
s A sP/A
B Me/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
sC

s
P A
B C
sA
A
sA
B
B
C
sC
C
sC
三、应力状态主要概念及分类
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
一、广义虎克定律
1.有关概念：
①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示； ②正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；
2.广义虎克定律： ①推导方法：叠加原理
e1e1' e"1e1''' E1[s1(s2s3)]
②主应变与主应力关系：e2 e3
e'2e"2e'2'' e'3e"3e'3''
s1
ss1 1
s1 s1
I
II
s3
s3
ss22
s3
s1
s1方向上的应变： e
1 '
s1 E
s2方向上的应变： e
2
'


s1 E
s3方向上的应变： e
3
'


s1 E
s2
e
1
"



s2 E
e
2
"

s2 E
e
3
"



s2 E
s3
e
1
"
'


s3 E
e
2
"
'


s3 E
e
3
" '
s3 E
a30240sin 60o(20)co6s0o20.3MPa
2)ss'''30240 3024022023455..33M MPPaa
s1s'35.3MP， as20，s3s''45.3MPa
tg2a0302400 a014.9o，主单元体
xy 箭 头 指 向 第 几 象 限 (一、四)，则s'(较大主应力) 在第几象限，即先判断s'大 致方位，再判断其与算得的 a0相对应，还是与a0+90o相 对应。
⑥ s ' s " s x s y s a s a 9o0
ss"'
a0 *
xyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
符号规定（代入公式前确认）：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位（两种方法）
①由主平面定义，令
=0，得：
tan2a0
2xy sx sy
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
• 两种简单应力状态的应力圆
– 单向拉伸 – 纯剪切
例73 用应力圆法重解例71题。
求：1)a=30o斜截面上的应力； 40
2)主应力及其方位；
sa 20
a
30 x
3)极值剪应力。
a
40.3
单位：MPa
D'(-40,20)
C
-45.3
O
s 3o 0 2.8 M 9， P 3o 0 2 a .3 M 0 Pa
t 0：a dA (sxdc Aoa)ssia n(sydA sia n)coas
(xd y A coas)coas(yd x A sia n)sia n 0
得
saassxx 2 2ssyysisn2xa 2syxcycoo2s2asaxysin2a
s 1 3 .3 M 5， s 2 P 0 ， s a 3 4 .3 M 5 Pa
s 1 与 x 轴夹 a * 0 2角 .8 9 o/2 1 ： .9 4 o
"' 40.3MPa
-40.3
(29.8,20.3) s
60o 35.3 29.8o D(30,-20)
max13s1 2s3
max所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。
s2 s3
s2
s2
s3
s1
s1
s3
s1

O s3
23
13 12
C1 s2 C2 C3
s
s1
三个应力圆周上的点对应分别与主方向1，2，3平行的斜截面 上的应力
y
例74 试确定左图所示应力状态的
140
主应力和最大剪应力，并确定主平
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元 体；③极值切应力。
确定各个量正负-确定斜角
s" 40
40 20 30
sa 20 s'
a
143.90o
s'
a
解1： )sa239.082M 40P30a240co6s0o(20)sin 60o
单位：sM" Pa
3)'''s'2s''40.3MPa4)元 讨
论 体
并证 s's明 "s： asa90oC(同一 任意垂直 应平 力面 之上 和)正 为
例72 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me AD BC
s1
s3
s3 ABCD s1
Me
45o x
-45o
分析圆轴扭转时的应力状态
解：1)围绕圆轴外表面一点取
5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；
6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。
二、平面应力分析的图解法—应力圆
1.理论依据：
① s xx''y'ssxx22ssyyssixn 22asycxoyc2soa2saxysin 2a