第七章答案

<0 故由李雅普诺夫稳定性理论可知，闭环系统 x = ( A − BR−1BT P)x 是渐近稳定的。因此，控制器
u = −R−1BT Px 是系统的一个稳定化状态反馈控制器。
7.3 对一个线性时不变系统，给出设计稳定化状态反馈控制器的三种方法。 答：对一个线性时不变系统，以下三种方法都可以用来设计稳定化的状态反馈控制器：
1⎤ 0⎥⎦
+
⎡0 ⎢⎣1
−1⎤ ⎡ P11 0 ⎥⎦ ⎢⎣P12
P12 P22
⎤ ⎥⎦
−
⎡ ⎢⎣
P11 P12
P12 P22
⎤ ⎥⎦
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⋅
1 r
⋅
[0
]1
⎡ P11 ⎢⎣ P12
P12 P22
⎤ ⎥⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
=
0
通过矩阵计算，得到：
⎡ − P12
⎢ ⎣
−
P22
P11 P12
r
1.5
1
0.5
Im 0
-0.5
-1
-1.5
λ2
-2
r
-2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Re
由图可以看出：随着参数 r 的增大，闭环极点越来越靠近虚轴，从而系统的响应速度变慢。事 实上，从性能指标也可以看出，参数 r 的增大表明控制能量约束的加权越来越大，希望用较小 的能量来实现系统的控制，显然由此导致的结果就是系统速度变慢。
⎢ ⎣
P12
P12 ⎤
P22
⎥ ⎦
−
⎡ ⎢ ⎣
P11 P12
P12 P22
⎤ ⎥ ⎦
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⋅1⋅
[0
]1
⎡ P11
⎢ ⎣
P12
P12 P22
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
0
通过矩阵计算，以上方程可简化为：
⎡0 ⎢⎣0
P11 P12
− −
P12 P22
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
P11
0 −
黎卡提矩阵方程，V (x) 关于时间的导数是
dV (x) = xT Px + xT Px dt = xT [P( A − BR−1BT P) + ( A − BR−1BT P)T P]x
= xT (PA + AT P − PBR−1BT P − PBR−1BT P)x
= xT (−Q − PBR−1BT P)x
P12
P12
0 −
P22
⎤ ⎥ ⎦
−
⎡ ⎢ ⎣
P122 P12 P22
P12 P22 P222
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
进一步得到以下三个代数方程：
P122 = 1
P11 − P12 = P12 P22
2P12 − 2P22 = P222 −1 将这 3 个方程联立，解出 P11 、 P12 、 P22 ，根据 P 的正定性要求，可得
1）极点配置方法； 2）线性二次型最优控制器设计方法； 3）基于李雅普诺夫稳定性理论的直接设计法。
7.4 对系统
x1 = x2 x 2 = − x1 + u
和性能指标
∫ J =
∞ 0
(
x12
+
ru2
)dt
试求使得性能指标 J 最小化的最优状态反馈控制器。当 r 变化时，画出闭环极点的轨迹。
答: 由系统模型和性能指标，可得：
P
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦
0⎤ 1⎥⎦
=
0
故最优状态反馈控制器为：
u = −R−1BT Px = −[0
1]
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦
x
=
−[1
1] x
7.2 证明线性二次型最优控制器是一个稳定化控制器。
答: 考虑控制系统的状态空间模型
⎧x = Ax + Bu
⎨ ⎩
y
=
Cx
和线性二次型性能指标
∫ J = ∞ (xT Qx + uT Ru)dt 0
设
P
=
⎡ P11
⎢ ⎣
P12
A
=
⎡0 ⎢⎣−1
1⎤ 0⎥⎦ ,
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
Q
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦ ,
R=r
P12 P22
⎤ ⎥ ⎦
，在黎卡提矩阵方程
PA + AT P − PBR−1BT P + Q = 0
中代入相应系数矩阵，可得：
⎡ P11 ⎢⎣ P12
P12 ⎤ ⎡ 0 P22 ⎥⎦ ⎢⎣−1
《现代控制理论》第 7 章习题解答
7.1 对由状态空间模型
x
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ −1⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u
描述的线性系统和性能指标 试设计最优状态反馈控制器。
∫ J = ∞ ( xT x + u2 )dt 0
答：由题中的模型和性能指标，可得：
A
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ −1⎥⎦ ,
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
0
据此，可解得： P12 = −r + r 2 + r （这里取正值，若取负值，则相应的矩阵 P 不是正定的），
P22 =
−2r2 + 2r
r 2 + r ， P11 =
−2r2 + 2r
r2 + r ⋅
r2 + r 。 r
使得性能指标 J 最小化的最优状态反馈控制器为：
⎛ u = −R−1BT Px = ⎜⎜⎝1−
,
Q
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦ ,
R =1
设
P
=
⎡ P11
⎢ ⎣
P12
P12 P22
⎤ ⎥ ⎦
，在黎卡提方程
PA + AT P − PBR−1BT P + Q = 0
中代入相关系数矩阵，可得
⎡ P11
⎢ ⎣
P12
P12 ⎤ ⎡0
P22
⎥ ⎦
⎢⎣0
1⎤ −1⎥⎦
+
⎡0 ⎢⎣1
0 ⎤ ⎡ P11
−1⎥⎦
r
−1
λ + P22
= λ 2 + P22 λ +1+ P12
r
r
r
可得最优闭环极点为
λ1,2 = − P22
r± j
( P22 r )2 − 4 (1+ P12
2
r) = −
−2 + 2 y ± 2
2+2y j 2
其中，
y = r2 + r r
由此可得闭环系统的极点轨迹，如下图所示。
2.5
2
λ1
线性二次型最优状态反馈控制器为：
u = −Kx = −R−1BT Px
由此控制器导出的最优闭环系统是
x = ( A − BR−1BT P)x
由于矩阵 P 是黎卡提矩阵方程 PA + AT P − PBR−1BT P + Q = 0
的对称正定解矩阵，故二次型函数V (x) = xT Px 是正定的。沿最优闭环系统的任意轨线，利用
相应的最优闭环矩阵是
A = A − BR−1BT P
r2 + r
r
⎞ ⎟⎟⎠
x1
−
−2r2 + 2r r2 + r
r
x2
=
⎡0 ⎢⎣−1
1⎤ 0⎥⎦
−
1 r
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
[0
]1
⎡ P11 ⎢⎣ P12
P12 P 22
⎤ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢−1 ⎣
0 −
P12 r
1⎤
−
P22
⎥ ⎥
r⎦
根据
λ λ I − A = 1+ P12
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
−P12 P11
− P22 P12
⎤ ⎥ ⎦
−
1 r
⎡ ⎢ ⎣
P122 P12 P22
P12 P22 P222
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
=
Fra Baidu bibliotek
0
进一步，可得下面三个代数方程：
−2P12
−
1 r
P122
+1
=
0
− P22
+
P11
−
1 r
P12 P22
=
0
2P12
−
1 r
P222