中山大学固体物理作业

当 q0
时， max
2
m
min 0
当
q
2a
时，
min
max
1 m
1 m
1
2
1
2
2
m
2
m
当 时，
2
1 m
2
2 2 2 2 cos 2qa
1 2
1
m
2
2
cos qa
2
m
(1 cosqa)
2
cos qa
m2
2
边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各 块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第 j
个原子和第tN j个原子的运动情况一样，其中t ＝
1，2，3…。
• 引入周期性边界条件的原因：（1）我们一直把晶 格看作无穷大，即晶格具有平移对称性，但是，
平移对称性在实际晶体的边界受到破坏；（2）在 具有平移对称性的晶格中，格波具有行波的性质。
• 因此对石英晶体，随着温度的增加，热导率先增 加然后下降。中子辐照后，石英晶体中出现缺陷， 对声子散射，声子平均自由程减小，热导率降低。
• 对玻璃态石英，原子排列呈连续无规网络形式， 不存在长程有序。此时，平均自由程可看成是常 数，其值近似于几个晶格间距，故玻璃的热导率 由热容与温度的关系决定。低温下随温度升高而 增大，高温为常数。但对透明材料，光子导热， 所以在整个温度区间，导热系数随温度增加而增 加。（为何会有光子导热？）
• 解：波矢限定在第一布里渊区。
•
[100]方向最大波矢
q100
2 a
，则最小波长 min
2
q100
5Å
•
[111]方向最大波矢 q111
3 a
，则最小波长 min
2 q111
2a 3
Å
• 思考题
• 设一维晶格由ABCABC。。。三种不同原子排列组 成，A-B、B-C、C-A间键强均不等，如何选取基元？
两种原子的质量为m，第2n个原子的位移为 x2n ，
则原子运动方程可写为：
2n 2 2n 1 2n 2n 1 2n 2
mmxx22nn1
x2n1 x2n2
x2n
x2n1
x2
n
x2
x2n1 n1
x2
n
1
设试探解具有以下形式：
x2n x2n
Aeit2nqa Beit2n1qa
而周期性边界条件可以保持晶格的平移对称性，
得到行波解。
• 在求解第一布里渊区内晶格振动模式数以及在求 解关于q的态密度时用到周期性边界条件。
• 应用周期性边界条件的结果是导致描写晶格振动 状态的波矢q只能取分立的值。
• 当组成晶格的原子中足够多时，边界效应可以忽 略不计，但当原子数少时，大部分的原子不再具 有平移对称性，边界效应变得显著，晶体性质发 生改变，周期性边界条件不再适用。所以，周期 性边界条件只是一种近似，且在边界效应和尺寸 效应不重要时是一种很好的近似。
2 eiqa eiqa eiqa eiqa 2
0
5
解得：
2
2 2 2cos 2qa
1 2
1 m
2 2 2 cos 2qa
1 2
色散关系曲线如图所示
a
2a
0
2a
q
a
可见 有两支，令 对应括号内取“+”号，称为光
学支， 对应括号内取“-”，称为声学支。
6 6 3 4 3
晶体维数
3 3 3 2 1
声学波支数
3 3 3 2 1
光学波支数
3 3 0 2 2
对m维复式晶格，由于m维时有m个互相正交的振动方向，所以原子有m个自 由度，若晶格的原胞数为N，每个原胞含P个不等价原子，则晶格振动波矢数 为N，格波支数为mP（m支声学波，m（P-1）支光学波），晶格振动模式数 为mPN。
0
2a
q
a
• 由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里
渊区边界，即
q
2a
处，声学波的频率开始增大，
而光学波的频率则开始减小，而当m=M时，则声
学波的频率和光学波的频率在
q
2a处相等，都等
于 2 。第一布里渊区扩展到 q 。
M
a
a
• 格波色散关系
2
cos qa
m2
2
sin qa
3. 从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近 M和m=M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色 散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系 比较，并对结果进行讨论。
• 解：一维双原子晶格的色散关系为
2
( M
) m
( )2 4 sin 2 qa M m Mm
• 色散关系曲线如图
a
2a
m
3.对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，
并讨论低温极限。
解：设 L Na 为一维简单格子长度。其中 a 为晶格
常数，N为原子数目。则在 dq 间隔内的振动模式
数目为
L 2
dq
，d
频率间隔内的振动模式数目为
dn
2
L
2
dq
则振动模式密度为
g
dn
d
L
2
dq
d
德拜模型中，振动模看成是各项同性介质中的弹性波
0
x2e2 (e x 1)2
dx
2
3
Cv (T )
LkB2T
v
2
3
LkB2T
3v
4. 写出你对周期性边界条件的理解.（提示: 什么是 周期性边界条件? 为什么要引入周期性边界条件? 在哪里用过周期性边界条件? 应用周期性边界条 件后有什么重要结果? 周期性边界条件是否总是 对的?）
答：周期性边界条件：设想在一长为 Na 的有限晶体
m2
q
a
a
， 2
M
q m
表明对于声学波，其频率正比于波数，即长声学
波看成连续介质的弹性波。而光学波，在长波极
限下，不同离子的相对振动产生一定的电偶极矩，
从而可以与电磁波发生相互作用 。
• 思考题
1. 设正格子晶胞的立方棱a=5Å，问面心结构中沿 [100]方向行进的波的最小波长是多少? 沿[111]方 向又如何?
vq
，
g
L
v
大于德拜频率D 的波不能在晶格中传播
D 0
g ( )d
L
v
D d N
0
D
N v
L
晶格热容
Cv (T ) kB
D 0
( )2 kBT [exp(
exp( / kBT) / kBT ) 1]2
g()d
LkB2T v
0
D
/ kB
T x2ex (e x 1) 2
dx
其中 x D / kBT 低温下， D / kBT
2.一维原子链, 原子间距都是a, 原子质量都相同, 设 为m；但力常数是与'交错, 并设>', 求: 1)格波 色散关系；2)声学波与光学波的最大, 最小频率； 3)验证当='时回原到单原子键情形。
• 解：如图所示，设第2n个原子与第2n+1个原子间
力常数为 ，与第2n-1个原子间的力常数为 ，
6. 声子的概念是什么？声学支和光学支的物理意义 是什么？为什么长声学支为弹性波，长光学波为
极化波？
答：声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子。声
学支表示在长波极限下原胞中两种原子的运动是
完全一致，振幅和位相都没有差别。光学支表示
在长波极限下原胞中的两种原子振动有完全相反
的位相，振动中质心不变。
•
声学波在长波极限下，做展开，可得 a
1.对于ZnS、单晶硅、金属钠、二维蜂房晶格、三原 子一维复式晶格，分别写出：1)原胞内原子数；2) 原胞内自由度数；3)格波支数；4)晶体维数；5)声 学波支数；6)光学波支数。
ZnS 单晶硅 金属钠 二维蜂房晶格 三原子一维复式晶格
原胞内
原子数
2 2 1 2 3
原胞内自
由度数
6 6 3 4 3
格波支数
sin qa
m2
Leabharlann Baidu
q
a
a
为一维单原子链色散关系， 与 仅相差一个相 位因子 2a
q ,
2a
2 m
两者相交。最大频率
max 2
m
出现在 q , a
第一里渊区扩展到
q。
a
a
实际上从格波解（2）可以看出 ，将格波解代入
方程组（1）有 (m 2 2 ) A (eiaq eiaq ) A 0 解得： 2 2 (1 cos aq) 为单原子链的色散关系。
（1）声子之间的碰撞。声子遇到晶体中的另一个声子时，
由于非简谐效应而彼此散射，高温时声子—声子碰撞变得
特别重要。高温时
nq
e
q
1
kBT
1
kBT q
T
则相应的平均自由程与温度成反比 l 1
T
低温时 nq
e
q
1
kBT
1
e q kBT
相应的平均自由程 l eB/T
（2）声子和晶体中的缺陷碰撞。晶体的不完整性，杂质和缺陷 对声子产生散射。杂质密度越大，散射越强，平均自由程越短。 （3）声子和晶体的外部边界发生碰撞。在很低温度下，仅有少 数声子存在，声子与声子之间的碰撞概率很低，也即声子平均 自由程很长，而且低温下所激发的声子是长波长声子，这些声 子将主要被大小比波长小得多的物体的边界有效地散射，因此 此时声子的平均自由程约为物体的特征尺寸 l L 。
1
2
代入运动方程得：
m2 A Beiqa eiqa A m2B Aeiqa eiqa B
3
令
m
,
m
上式整理为：
2 A eiqa eiqa B 0
eiqa
eiqa
A 2 B 0
4
要使A、B有不全为零的解，其系数行列式必须为零，即
5. 请就图 1所给出的石英（SiO2晶体）在中子辐照前 后以及玻璃（非晶SiO2）的热导率随温度的变化 关系给予解释。
解： 材料的热导率可以近似写成
1 3
Cvvl
在极低温，声子数目很少，声子之间的碰撞可以忽 略，声子的平均自由程随温度变化不大，因此热导 率随温度的行为由热容随温度的变化决定；
在一定温度下，非简谐效应开始起作用，声子之间 的散射开始变强，此时热导率随温度的行为取决于 声子的平均自由程随温度的变化关系。而声子平均 自由程的由三种过程决定：声子之间的碰撞、固体 中缺陷对声子的散射以及晶体边界对声子的散射。