中考数学专题题库∶相似的综合题及答案

，于是由已知条件可转化为
， ∠ ODB 是 公 共 角 ， 所 以 可 得
△ MDN∽ △ ODB，则∠ DMN=∠ DOB，根据平行线的判定可得 MN∥ AB。
2．如图①，已知直线 l1∥ l2 ， 线段 AB 在直线 l1 上，BC 垂直于 l1 交 l2 于点 C，且 AB＝ BC，P 是线段 BC 上异于两端点的一点，过点 P 的直线分别交 l2 ， l1 于点 D，E(点 A，E 位 于点 B 的两侧，满足 BP＝BE，连接 AP，CE．
∴ = =2，∠ POC=∠ BOM， 当点 P 在第一象限时，如图 3，过 M 作 MG⊥y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥x 轴于点 H，
∵ ∠ COA=∠ BOG=45°， ∴ ∠ MOG=∠ POH，且∠ PHO=∠ MGO， ∴ △ MOG∽ △ POH，∴ = = =2， ∵ M（﹣ ， ）， ∴ MG= ，OG= ， ∴ PH= MG= ，OH= OG= ， ∴ P（ ， ）； 当点 P 在第三象限时，如图 4，过 M 作 MG⊥y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥y 轴于点 H，
∴ t＝2，
∴ BF＝
＝3(cm)．
又∵ BN＝4cm，
∴ FN＝
＝5(cm)．
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出 AD＝AB，∠ DAN＝∠ FBA＝90°.再根据同角的
余角相等得出∠ NAH＝∠ NDA，进而证出△ ABF≌ △ MAN 即可解答，
（ 2 ） 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 两 角 相 等 证 出 △ EBF∽ △ EDA ， 得 出 BD 的 长 度 ， 利 用
，=,
即 是
பைடு நூலகம்
的切线
（2）解：猜想：MN∥ AB． 证明：连结 CB．
∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E， ∴ =,=, ∴ ∵
∴ ∴ ∵ ∴
∵
∵ ∴ ∴ ∴ MN∥ AB． 【解析】【分析】（1）要证 DF 是⊙O 的切线，由切线的判定知，只须证∠ ODF= 即
可。由垂径定理可得 AB⊥CD，则∠ BOD+∠ ODE= ，而∠ ODF=∠ CDF+∠ ODE，由已知易 得∠ BOD=∠ CDF，则结论可得证； （ 2 ） 猜 想 ： MN∥ AB ． 理 由 ： 连 结 CB ， 由 已 知 易 证 △ CBN∽ △ AOM ， 可 得 比 例 式
（1）求证：△ ABP≌ △ CBE． （2）连接 AD、BD，BD 与 AP 相交于点 F，如图②．
①当
时，求证：AP⊥BD；
②当
(n＞1)时，设△ PAD 的面积为 S1 ， △ PCE 的面积为 S2 ， 求
【答案】（1）证明：BC⊥直线 l1 ，
∴ ∠ ABP＝∠ CBE．
在△ ABP 和△ CBE 中，
同理可求得 PH= MG= ，OH= OG= ， ∴ P（﹣ ， ）； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ ， ）或（﹣ ， ） 【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线 y=x 交于点 B（2，t），可求 出点 B 的坐标，再将点 A、B 的坐标分别代入 y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出 a、b
=2,则点 P 为 BC 的中点，所以易证得 BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形可得四边形 BDCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得 CE∥ BD，再根据平行线 的性质即可求得 AP⊥BD； ②方法与①类似，由已知条件易证得△ CPD∽ △ BPE，则可得对应线段的比相等，然后可 将△ PAD 的面积和△ PCE 的面积用三角形 BPE 的面积表示出来，则这两个三角形的比值即 可求解。
∴＝
，
∴ y＝
.
②∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠ MAN＝∠ FBA＝90°.
∵ MN⊥AF，
∴ ∠ NAH＋∠ ANH＝90°.
∵ ∠ NMA＋∠ ANH＝90°，
∴ ∠ NAH＝∠ NMA.
∴ △ ABF∽ △ MAN，
∴ ＝. ∵ BN＝2AN，AB＝6cm， ∴ AN＝2cm.
∴
＝
，
，
当 0°≤α＜360°时， ∵ ∠ ECD=∠ ACB， ∴ ∠ ECA=∠ DCB，
的大小没有变化，
又∵
，
∴ △ ECA∽ △ DCB，
∴
（3）解：①如图 3，
∵ AC=4
， ，CD=4，CD⊥AD，
∴ AD= ∵ AD=BC，AB=DC，∠ B=90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ BD=AC= ． ②如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，
（1）问题发现
①当 α=0°时， =________；②当 α=180°时， =________． （2）拓展探究
试判断：当 0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明． （3）问题解决 当△ EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．
【答案】（1） ； （2）解：如图 2，
△ EBF∽ △ EDA 得出比例式，得出 y 和 t 之间的函数解析式，
据正方形的性质得出两角相等证出△ ABF∽ △ MAN，得出比例式，进而解答.
5．如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90°，BC=2AB=8，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接
DE，将△ EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α．
的值，即可求得答案。 （2）过 C 作 CD∥ y 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作 BF⊥CD 于点 F，可知点 C、 D、E、F 的横坐标相等，因此设设 C（t，2t2﹣3t），则 E（t，0），D（t，t），F（t，2）, 再表示出 OE、BF、CD 的长，然后根据 S△ OBC=S△ CDO+S△ CDB=2，建立关于 t 的方程，求出 t 的值，即可得出点 C 的坐标。 （3）根据已知条件易证△ AOB≌ △ NOB，就可求出 ON 的长，得出点 N 的坐标，再根据点 B、N 的坐标求出直线 BN 的函数解析式，再将二次函数和直线 BN 联立方程组，求出点 M
，
∵ AC= ，CD=4，CD⊥AD，
∴ AD=
，
∵ 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，
∴ DE= ∴ AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得
=2，
，
∴ BD=
．
综上所述，BD 的长为 或
．
【解析】【解答】（1）①当 α=0°时，
∵ Rt△ ABC 中，∠ B=90°，
∴ AC=
标，即可得出答案。
4．正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E，M 分别是线段 BD，AD 上的动点，连接 AE 并延 长，交边 BC 于 F，过 M 作 MN⊥AF，垂足为 H，交边 AB 于点 N.
（1）如图①，若点 M 与点 D 重合，求证：AF＝MN； （2）如图②，若点 M 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度沿 DA 向点 A 运动，同时点 E 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿 BD 向点 D 运动，运动时间为 ts. ①设 BF＝ycm，求 y 关于 t 的函数表达式； ②当 BN＝2AN 时，连接 FN，求 FN 的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AD＝AB，∠ DAN＝∠ FBA＝90°. ∵ MN⊥AF， ∴ ∠ NAH＋∠ ANH＝90°. ∵ ∠ NDA＋∠ ANH＝90°， ∴ ∠ NAH＝∠ NDA， ∴ △ ABF≌ △ MAN， ∴ AF＝MN. （2）解：①∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AD∥ BF， ∴ ∠ ADE＝∠ FBE.
∵
，
∴ S1＝(n＋1)(n－1)S，
∴
．
【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ ABP≌ △ CBE；
（2）①、延长 AP 交 CE 于点 H，由（1）知△ ABP≌ △ CBE，所以可得∠ PAB＝∠ ECB，而
∠ ∠ ECB+∠ BEC= ，所以可得∠ PAB+∠ BEC= ，即∠ AHE= ，所以 AP⊥CE；已知
∵ ∠ AED＝∠ BEF， ∴ △ EBF∽ △ EDA，
∴ ＝. ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AD＝DC＝CB＝6cm， ∴ BD＝6 cm. ∵ 点 E 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿 BD 向点 D 运动，运动时间为 ts， ∴ BE＝ tcm，DE＝(6 － t)cm，
∴ △ AOB≌ △ NOB（ASA）， ∴ ON=OA= ， ∴ N（0， ）， ∴ 可设直线 BN 解析式为 y=kx+ ，把 B 点坐标代入可得 2=2k+ ，解得 k= ，
∴ 直线 BN 的解析式为 y= x+ ，联立直线 BN 和抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴ M（﹣ ， ）， ∵ C（1，﹣1），∴ ∠ COA=∠ AOB=45°，且 B（2，2）， ∴ OB=2 ，OC= ， ∵ △ POC∽ △ MOB，
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上，AM 的延长线交⊙O 于
点 G，交过 D 的直线于 F，且∠ BDF=∠ CDB，BD 与 CG 交于点 N．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连结 MN，猜想 MN 与 AB 的位置有关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，
的值．
（2）①证明：如图，延长 AP 交 CE 于点 H．
∵ △ ABP≌ △ CBE， ∴ ∠ PAB＝∠ ECB， ∴ ∠ PAB＋∠ AEH＝∠ ECB＋∠ AEH＝90°， ∴ ∠ AHE＝90°， ∴ AP⊥CE．
∵
，即 P 为 BC 的中点，直线 l1∥ 直线 l2 ，
∴ △ CPD∽ △ BPE，
【答案】（1）解：∵ B（2，t）在直线 y=x 上， ∴ t=2，∴ B（2，2），
把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 ∴ 抛物线解析式为 y=2x2﹣3x
，解得
，
（2）解：如图 1，过 C 作 CD∥ y 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作 BF⊥CD 于点 F，
∵ 点 C 是抛物线上第四象限的点， ∴ 可设 C（t，2t2﹣3t），则 E（t，0），D（t，t）， ∴ OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴ S△ OBC=S△ CDO+S△ CDB= CD•OE+ ∵ △ OBC 的面积为 2， ∴ ﹣2t2+4t=2，解得 t1=t2=1， ∴ C（1，﹣1）
CD•BF=
（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
（3）解：存在．设 MB 交 y 轴于点 N，如图 2，
∵ B（2，2），∴ ∠ AOB=∠ NOB=45°， 在△ AOB 和△ NOB 中
3．如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a≠0）与 x 轴交于另一点 A（ ，0），在第一 象限内与直线 y=x 交于点 B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求 点 C 的坐标； （3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且∠ MBO=∠ ABO，在（2）的条件下，是否存在点 P，使得△ POC∽ △ MOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
∴
，
∴ DP＝EP．
∴ 四边形 BDCE 是平行四边形，∴ CE∥ BD．
∵ AP⊥CE，∴ AP⊥BD．
②解：∵
，∴ BC＝nBP，
∴ CP＝(n－1)BP．
∵ CD∥ BE，
∴ △ CPD∽ △ BPE，
∴
．
令 S△ BPE＝S，则 S2＝(n－1)S，
S△ PAB＝S△ BCE＝nS，S△ PAE＝(n＋1)S．
的坐标，求出 OB、OC 的长，再根据△ POC∽ △ MOB，得出
， ∠ POC=∠ BOM，然
后分情况讨论：当点 P 在第一象限时，如图 3，过 M 作 MG⊥y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥x
轴于点 H，证△ MOG∽ △ POH，得出对应边成比例，即可求出点 P 的坐标；当点 P 在第三
象限时，如图 4，过 M 作 MG⊥y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥y 轴于点 H，同理可得出点 P 的坐