《函数的奇偶性》教学案例完美版(可编辑修改word版)

《函数的奇偶性》教学案例

尤溪一中姜志茂

一、教学目的

1、理解函数奇偶性的定义，能利用定义判断或验证给定函数的奇偶性，

2、初步运用奇偶性，如求函数值、求函数解析式、作函数图象等

3、体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想

二、教学重点、难点

重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定

难点：单调性的判定及应用

三、教学过程

（一）新课引入

我们知道，函数的单调性反应在图象上就是图形的上升与下降趋势；函数的最大值最小值在图象上看也就是它的最高点与最低点。那么函数的奇偶性又是什么呢？我们一起来观察

函数f (x) =x 2，f (x) =1

的图象。x

（二）新课——函数的奇偶性

1、对于f (x) =x 2的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于y 轴对称，是轴对

1

称图形。对于f (x) = 的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于原点对称，是点中x

心对称图形。

2、那么如何利用函数值描述这种对称性呢？求下表中的函数值并比较

对于f (x) =x 2，由于图形关于y 轴对称图形，故有f (-x) = f (x) ；

对于f (x) =

1 ，由于图形关于原点对称，故有f (-x) =-f (x) 。

x

3、事实上，我们取点P(x, f (x)) ，Q(-x, f (-x)) ，如图所示，

如果它们关于y 轴对称，则有f (-x) =

f (x) ，

如果它们关于原点对称，则有f (-x) =-f (x) ，

4、定义：一般地，对于函数f (x) 的定义域内的任一个x ，

如果都有f (-x) = f (x) ，则称函数f (x) 是偶函数；所以偶函数的图象关于y 轴对称。

如果都有f (-x) =-f (x) ，则称函数f (x) 是奇函数。奇函数的图象关于原点对称。

5、适时巩固

（课本，P39，思考）判断函数f (x) =x3+x 的奇偶性并补全图象

（课本，P40，练习）已知函数的奇偶性补全图象

（三）例题——判断函数的奇偶性

1、（课本，P39，例5）判断下列函数的奇偶性

（1）f (x) =x 4

（3）f (x) =x +

1

x

（2）f (x) =x5

（4）f (x) =

x 2

设计说明：巩固函数奇偶性的概念，培养学生的自学能力

分析：①先求定义域，再求f (-x) = ?，f (x) = ?，比较二者是否相等或相反，结论，②由学生阅读课本自学，③强调解题格式

解：（格式）（1） 函数的定义域为(-∞,+∞) ，

1

x 3 - 1 1 -

x 3 x 2 - 1 又 f (-x ) = (-x )4 = x 4 ， f (x ) = x 4 ，

∴ f (-x ) = f (x )

∴ f (x ) = x 4 是偶函数

2、（补充）判断下列函数的奇偶性

（1） f (x ) = + （2） f (x ) =

（3） f (x ) = 2x + 3

（4） f (x ) =

| x + 2 | -2

（5） f (x ) = +

设计说明：适当提高，让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法

分析：对于（1）（2），由于定义域关于原点不对称， f (-x ) 存在无意义的情形，对于（3）

可举特例 f (-1) = 1, f (1) = 5 ，得到非奇非偶的类型；对于（4）（5），先求定义域，适当化简

解析式后，比较 f (-x ), f (x ) 得出奇偶性，对于既是奇又是偶的函数，其解析式为 f (x ) = 0

，而由定义域不同可得不同函数解：（略）

3、（补充）已知 f (x ) = ax 2 + bx + 3a + b 是偶函数，且定义域为[a - 1,2a ] ，求 a , b 的值。

设计说明：让学生明确函数的奇偶性是对于整个定义域而言的，明确二次函数为偶函数的条件

分析：奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，理解 f (-x ) = f (x ) 对定义域内的任一个

x 恒成立，另外也可注意二次函数图象即抛物线的对称轴为 y 轴。

1

解： a = ， b = 0 3

（四）提高——奇偶性运用

（思考）已知 f (x ) 是奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = -x 2 + x ，求当 x < 0 时， f (x ) 的表

达式。

设计说明：奇偶性的具体运用，进一步理解 f (x ) = - f (-x ) ，理解当自变量 x 取一对相

反数时，函数值 f (x ) 的相等与相反

x - 1

x + 1

1 - x

2 1 - x 2

分析与提示：（1）先求f (1) = ? ，f (2) = ? ，f (3) = ?

（2）再求f (-1) = ? ，f (-2) = ? ，f (-3) = ?，发现什么？

（3）当x < 0 时，-x > 0 ， f (-x) = ?，据奇函数f (x) =-f (-x) = ?

解：当x < 0 时，-x > 0 ，f (x) =-f (-x) =-[-(-x)2+ (-x)] =x 2+x

（作图验证一下）

（五）小结——构建知识网络

（1）奇偶性的定义是什么？其图象有什么性质？

（2）判断奇偶性的前提与步骤是什么？

（3）奇偶性的运用，求值，作图，求解析式

（六）作业——巩固与反馈

1、课本，P43，习题 A 组，第 6 题

2、已知函数f (x) 对一切x, y 都有f (x +y) =f (x) +f ( y) ，①求证：f (x) 是奇函数，②若f (-3) =a ，试用a 表示f (24) 的值。

五、教学说明

“函数奇偶性”是一个重要的数学概念，其研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，整节课可让学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成，学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

教学中努力体现出学生的思维过程：（1）由学生观察图象的对称性，从直觉上认识奇函数与偶函数的概念。（2）通过表格中数据（函数值）的相等相反关系，得出对称性的本质是坐标的关系。（3）再以精确的数学语言来定义函数的奇偶性

教学要求是：让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法，理解定义域的要求，理解图象的对称性，了解奇偶性的四种类型，并初步运用奇偶性。

教学方法上，本节致力于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本节努力实现新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。

六、教学反馈

（略）