DSP第五章课后答案

（b）用脉冲响应不变法， 所以
H ( z)
1 e ( a jb )Ts z 1 1 e ( a jb )Ts z 1 1 cos(bTs )e aTs z 1 1 2 cos(bTs )e aTs z 1 e 2 aTs z 2
1 2
butterworth 低通滤波器阶次 N:
lg 100.301 1 / 101.5 1 1.941 N 2 lg 2 / 4.828
所以选 N=2 滤波器的截止频率 c



2.000
10
0.301
1

1/ 4
2
再查表可求得模拟滤波器的系统函数为
所以有
对 S a ( s ) 进行部分分式展开，得
Sa ( s)
由
1 a a jb a jb 2 2 2 2 2 s a b 2(a b )( s a jb) 2(a b 2 )( s a jb)
1 1 得 Ts 1 1 e z s 1 a a jb 1 a jb 1 S ( z) ( a jb )Ts 1 ( a jb )Ts 1 1 2 2 2 2 2 2 1 z a b 2(a b ) 1 e z 2(a b ) 1 e z
Ap
H z
i 1
N
1 e siT z 1
5.6
试用双线性变换法（T＝1）设计一低通数字滤波器，并满足技术指标如下：
（1）通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且没有起伏 （2）频率在 0.5 处的衰减为－3.01db （3）频率在 0.75 处的衰减至少为 15db。 解： 根据题意，显然要先设计一个原型 butterworth 低通滤波器。 （1） 利用 T=1 对技术要求频率先进行反畸变： 因为 wp 0.5 ， ws 0.75 所以 p
N
ch 1 (
1

A2 1) st ) c
ch 1 (
取 N＝4，则可求得
ch 1 (22.1256) 3.7894 3.4493 ch 1 (1.6667) 1.0986

1


1
2
1 4.6619
a 1/ 2( 0.25 0.25 ) 0.3944 b 1/ 2( 0.25 0.25 ) 1.0750
H a (s)
sa ( s a)2 b2
（b）与脉冲响应不变法的设计结果进行比较。 解： （a）连续时间滤波器的脉冲响应是 ha (t ) ，阶跃响应是 sa (t ) ，则它们的 Laplace 变换关 系：
1 Sa ( s) H a ( s) s
Sa (s) 1 sa s ( s a)2 b2
第五章 IIR 数字滤波器设计
5.1
设有一模拟滤波器： H a ( s )=
1 ，抽样周期 T＝2，试用双线性变换法将它转 2s 3s 1
2
变为数字滤波器 H(z). 解： 由变换公式：
2 1 z 1 s T 1 z 1 代入得： H(z)=H a ( s ) = =
1 z 1 T 2 1 z 1
1
1 z 1
2 1 lc 2lc
1 z 2 2 z 1
1 2
2 lc
2 lc
1
2 lc
2lc z 2

w w 2 2 tan p 2 tan 0.25 2.000 ， s tan s 2 tan 0.375 4.828 2 2 T T
（2） 根据 s , p 处的技术要求设计模拟低通滤波器：
满足条件：
0 10 lg H a j 2 3.01db k1 20 lg H a j 4.828 15db k2
极点为
sk k jk c a sin(

2N
(2k 1)) jc b cos(

2N
(2k 1))
s1,4 0.1422 j 0.9361 s2,3 0.3434 j 0.3878
所以
N
H a (s) K
i 1
1 ( s si ) N 4, K 1.0623
模拟低通滤波器系统函数为
H la p
2 p 2 2lc p lc
模拟高通滤波器系统函数为
H a s H la p p 1
s
2 s 2lc 2 2 s 1 2lc s lc
数字高通滤波器为
H z H a s s 1 z
G ( k ) ()(1 2 N ) G (i ) () Fi () G () 2 N (2 N 1)…(2 N k 1) 2 N k 0
所以， 当 k 2 N 时，
G ( k ) ( )
0
0
G (2 N ) ()
最大平坦性成立。
c
由题意，有
c
T
0.3 ,
st
st
T
0.5
20 lg H (e j 0.3 ) 0.8 20 lg H (e j 0.5 ) 20
1 0.8dB 10 1 0.4497.
10
1
又根据
H (e j 0.5 )
2
1 , A2
lg A2 20 /10,
0
G () 0 (2 N )! (2 N )!
5.5
试用冲激响应不变法设计 Chebyshev I 型低通滤波器，设计指标为：在 0.3 通带频率
范围内，通带幅度波动小于 0.8db，在 0.5 阻带频率范围内，阻带衰减大于 20db，并 给出所得到的数字滤波器的系统函数。 （设采样周期为 T＝1） 解：根据题目所给条件，
1.7951
将高通滤波器指标变为模拟低通指标，
lp
p 10 10 1 ls N lg / lg s 10 10 1 lp
取 N=2， lc
100.3 1
2 lc
lp
1/ 4
0.3249
由于H (e j ) H ( z )
z e j

1 1 e
0.9T
e j
故幅频特性 H (e j ) 近似为：
1 1 e 0.9T 1 1 e 0.9T
H (e j )
0


故数字滤波器为低通的。
5.4
证明： N 阶 Butterworth 滤波器的频率响应在 0 处是最平坦的， 在 0 处 H ( j )
设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率在 p 0.8 ，通带衰减不大于 3dB；
阻带截止频率在 s 0.5 ， 阻带衰减至少为 18dB； 采用 Butterworth 滤波器， 采样间隔 T=2B
s 0.5 ， s 18dB
方法二：
aT 1 a 1 z 1 a a cos(bTs ) b sin(bTs ) e s z a 2 b 2 a 2 b 2 1 2 cos(bTs )e aTs z 1 e 2 aTs z 2
1 1 sa 2 2 H a ( s) ( s a ) 2 b 2 s a jb s a jb
令 0 得， 第二次求导：
G '() 0 0
G "()(1 2 N ) G '()(4 N 2 N 1 ) G () 2 N (2 N 1) 2 N 2 0
令 0 得，
G "() 0 0
k 1 i 1
如果连续求导 k 次， k 2 N 1 ，则有
确定相应模拟高通滤波器技术指标。 应采用双线性变换法进行预畸变校正， 求得模拟高 通边界频率，
p
2 2 tan( p ) tan(0.4 ) 3.0777 ， s tan( s ) tan(0.25 ) 1 T T 2 2
1 1 1 0.3249 ， ls s p
h(n) ha (nT )
则H (z)= h(n) z n e 0.9 nT z n
n=- n=0
=
1 1-e
0.9T
z 1
0.9T
(2) 由于极点为 e
，不论周期 T 为何值，始终有 e
0.9T
1 ，极点在单位圆内
故收敛域始终包括单位圆，该数字滤波器是稳定的。 (3)
s
1 z 1 1 z 1
1 2s 3s 1
2
s
1 z 1 1 z 1
(1 z 1 ) 2 6-2z -1
5.2
在脉冲响应不变法中，数字滤波器的单位采样响应由对连续时间滤波器的脉冲响应采
样组成：
h(n) ha (nTs ) ，
另一种方法是用阶跃响应不变法， 数字滤波器的阶跃响应由对连续时间滤波器的阶跃响应采 样组成。 （a）用阶跃响应不变法设计一个数字滤波器。
aT 1 a 1 1 a a cos(bTs ) b sin(bTs ) e s z 2 a b 2 1 z 1 a 2 b 2 1 2 cos(bTs )e aTs z 1 e 2 aTs z 2
数字滤波器的系统函数为
H ( z ) (1 z 1 ) S ( z )
2
的前 2N－1 阶导数等于 0。 证明： N 阶 Butterworth 滤波器的频率响应幅度平方函数为
H ( j )
2
1 1 ( / c ) 2 N
不失一般性，我们假设 c 1 ，计算函数 G () 在 0 处的导数，
G ( )
等式两边都乘以 1
2N
1 2
由此可见， 两种设计方法设计的滤波器的极点相同， 但系统函数不同， 故两种方法并不等价。
5.3
设 ha (t ) 表示一个模拟滤波器的冲激响应
e 0.9t ha (t )＝ 0
t0 t< 0
设取样周期为 T，根据脉冲响应不变法，确定数字滤波器的系统函数 H(z),并把 T 作为 参数，证明无论 T 取何值，数字滤波器是稳定的，并说明此数字滤波器是低通还是高 通滤波器？ 解：(1)由冲激响应不变法：
直接利用讲义结论：
这里 N＝2，s1＝-（a+jb）, s2＝-（a-jb）,A1= A2=1/2,代入得
H ( z)
e ( a jb )T 1 e ( a jb )T 1 1/ 2 1/ 2 (a jb) z e ( a jb )T (a jb) z e ( a jb )T
Ha s
1 1 2s s 2

ss / 2
4 4 2 2s s 2
（3） 利用双线性变换公式
H z
Y z
X z
H a s s 21 z 1
1 z 1
1 2 z 1 z 2 3.414 0.586 z 2
5.7
1 1 2 N
，得
(1 2 N )G () 1 ，
等式两边对 求导，得
1 1 sa 2 2 H a ( s) 2 2 s a jb s a jb ( s a) b
G '()(1 2 N ) G () 2 N 2 N 1 0