任意凸多边形的重心求解
识别多边形中心点的方法

识别多边形中心点的方法全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:多边形是一个平面图形,由若干个线段组成,每个线段都相邻接且不相交,而且首尾相连,形成一个封闭图形。
多边形的中心点是指多边形的质心,也是多边形的重心。
识别多边形中心点是在计算机视觉和图像处理中一个重要的问题,可以帮助我们进行图像分析、目标定位等相关任务。
本文将介绍几种常用的方法来识别多边形的中心点。
方法一:几何中心法在数学几何中,多边形中心点通常是指多边形的“几何中心”,也称几何质心。
几何中心法是最简单直观的方法,通过计算多边形的顶点坐标的平均值来得到多边形的中心点。
具体步骤如下:1. 对多边形的所有顶点坐标进行求和,并除以顶点的个数,得到一个平均坐标作为中心点的坐标。
2. 将得到的中心点坐标绘制在多边形的内部,即可得到多边形的中心点。
这种方法简单易行,适用于正规的凸多边形。
但对于不规则的凸多边形或凹多边形,可能会得到与我们期望不同的结果。
重心法也是一种常用的计算多边形中心点的方法。
重心是一个物理学和工程学概念,是指一个图形的“平均质量点”。
在数学上,一个多边形的重心定义为其所有小面积的中点的平均。
计算多边形的重心的方法是将多边形分解成多个三角形,计算每个三角形的重心,最后取所有三角形重心的平均值作为多边形的重心。
具体步骤如下:1. 将多边形分解成若干个三角形,可以采用三角剖分算法进行分解。
2. 计算每个三角形的重心,即三个顶点坐标的平均值。
通过重心法计算多边形中心点,可以更准确地反映多边形的形状和结构。
但对于复杂的多边形,计算过程可能比较复杂。
方法三:最小外接矩形法最小外接矩形法是另一种计算多边形中心点的方法。
这种方法不需要对多边形进行三角剖分,而是根据多边形的外包矩形来确定多边形的中心点。
计算多边形的最小外接矩形的步骤如下:1. 找到多边形的外包矩形,即包含多边形的最小矩阵。
最小外接矩形法适用于不规则多边形的中心点计算,并且计算效率高,较为简单。
计算几何-多边形重心公式

计算⼏何-多边形重⼼公式计算⼏何-多边形的重⼼1. 1 累加和求重⼼设平⾯上有N 个离散数据点( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) , 其多边形重⼼G( . x1, . y1) 为:这是求多边形最简单直观的⽅法。
可以直接利⽤离散数据点的x, y坐标就能求图形重⼼。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。
1. 2算法⼀:在讲该算法时,先要明⽩下⾯⼏个定理。
定理1已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
它的重⼼坐标为: xg = (x1+x2+x3) / 3 ;yg = (y1+y2+y3) / 3 ;定理2已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
该三⾓形的⾯积为: S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 -y1) ) / 2 ;△A1A2A3 边界构成逆时针回路时取+ , 顺时针时取-。
另外在求解的过程中,不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针,相除后就抵消了。
原理:将多边形划分成n个⼩区域, 每个⼩区域⾯积为σi ,重⼼为Gi ( xi , yi ) ,利⽤求平⾯薄板重⼼公式把积分变成累加和:由前⾯所提出的原理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的⼀般重⼼公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点的任意N 边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2个三⾓形(如图1) 。
每个三⾓形的重⼼为Gi (xi , . yi ) ,⾯积为σi。
那么多边形的重⼼坐标G( x2, .y2) 为:图1 多边形分解例题:HDU 1115 Lifting the Stone代码:如下。
1 #include2 #include3 #include4struct centre5 {6double x , y ;7 };8int cas , n ;9double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 )10 {11double area = 0 ;12 area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y;13return area / 2 ; // 另外在求解的过程中,不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针,相除后就抵消了。
任意凸多边形的重心求解

模型的建立与求解一、计算凸多边形的重心对于任意凸多边形,我们以其重心为蛛网的中枢区中心,也即蜘蛛的等待猎物点,以此点出发,先发出放射丝,再织捕丝。
1。
计算任意凸多边形重心的理论基础1.四边形的重心作法:连接出四边形的一条对角线,这样四边形就变成两个三角形的组合体,分别作出两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段AB,同样,连接出四边形的另一条对角线,四边形就变成另外两个三角形的组合体,分别作出这两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段CD,则线段AB,CD的交点就是四边形的重心。
2。
五边形的重心作法:连接出五边形的任一条对角线,将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体,分别作出三角形的重心,和四边形的重心,并连成线段AB;连接五边形的另外一条对角形,将五边形分为另1个三角形与四边形的组合体,分别作出三角形与四边形的重心,并连接成线段CD;则AB、CD的交点就是五边形的重心。
3、用数学归纳法,对于六边形、七边形,N边形,都可以用上述方法,先连接出一条对角线,将N边形化为一个三角形与(N-1)边形,或四边形与(N—2)边形,然后分别作出重心,并连接成线段,然后再连接另外一条对象线,分别作出两个组合体的重心并连接成线段,两条线段的交点就是N边形的重心.2.重心计算的算法程序实现:有了以上理论基础,我们通过C++语言编写了一个计算任意凸多边形的程序,算法思想如下,算法程序见附录一。
错误!在平面上取一点(一般取原点)得到N个三角形OP[i]P[i+1](其中点的顺序为逆时针)○2分别求出这N个三角形的重心Ci和面积Ai(注意此处面积是有向面积, 就是用叉乘求面积时保留其正负号)错误!求出A = A1+A2+..。
+AN(同样保留正负号的代数相加)错误!重心C = sigma(Ai+Ci)/A;附录一:任意凸多边形重心C++算法#include <iostream>#include 〈cmath〉#include 〈iomanip〉using namespace std;struct point{double x;double y;};point gravity(point *p,int n){double area = 0;point center;center。
多边形的重心

台北市立敦化國民中學資源丙班
多邊形的重心
218吳昀昕 218吳昀昕 222許晉婕 222許晉婕 223游凱婷 223游凱婷 指導老師:桂雪萍老師、 指導老師:桂雪萍老師、蔡芸蘭老師
※方法二─三角形的重心 方法二─
做法〉任兩中線( 〈做法〉任兩中線(連三角形任一邊的中點至對 頂點的線段)的交點,即為此三角形之重心。 頂點的線段)的交點,即為此三角形之重心。 分析〉一中線可以平分此三角形的面積( 〈分析〉一中線可以平分此三角形的面積(等底 同高) 若此三角形是一張紙,厚度忽略不計, 同高),若此三角形是一張紙,厚度忽略不計, 則中線也可平分重量。因此, 則中線也可平分重量。因此,兩中線的交點便 是重量的平衡點─重心。 是重量的平衡點─重心。 課內教材, p.s 課內教材,不再多說
※方法三─正多邊形及圓形的重心 方法三─
做法〉 〈做法〉正多邊形─取兩條線對稱軸的交點(奇數 邊形之對稱軸為點與對邊中點的連線;偶數邊形 的對稱軸為點與對點的連線),即為重心。圓形─ 圓心即為重心。 〈分析〉正多邊形的線對稱軸便是面積平分線, 分析〉 也就是質量平分線;圓形亦同。(同上) →感覺上,似乎在平面圖形上找出兩條可平分面 積(質量)的線,在找出其交點即可找到重心。
A
所以,綜合上面的比例,我們不難了解:兩三角 形重心的連線─也就是整支槓桿─,必須以b: a(a:b的反比)的比例來分,配合上兩端質量a:b, 才可以符合槓桿原理:重量1X臂長1=重量2X臂長2。 ﹝例二﹞以圖二中之四邊形 例二﹞ ABCD:1.連AC得∆BAC、∆DAC G 2.作∆ACD、∆ABC之重心g1、g2 3.作DF⊥AC於F,BE⊥AC於E 4.在g1g2上運用「平行線裁等比 例線段」的性質(取g2D’=DF, 圖二 D’B’=BE,連g1B’再過D’做一直 線平行於g1B’交g1g2於G,則 g2G:Gg1=DF:BE),畫出G點 即為四邊形ABCD之重心
任意多边形中心点算法

任意多边形中心点算法英文回答:To find the center point of an arbitrary polygon, one common algorithm is the centroid method. The centroid, also known as the geometric center or barycenter, is the average of all the points in the polygon. It can be calculated by finding the average of the x-coordinates and y-coordinates of all the vertices.Here's how the algorithm works:1. Calculate the sum of the x-coordinates and y-coordinates of all the vertices.2. Divide the sum of x-coordinates by the number of vertices to get the average x-coordinate.3. Divide the sum of y-coordinates by the number of vertices to get the average y-coordinate.4. The center point of the polygon is the point with the average x-coordinate and average y-coordinate.For example, let's consider a triangle with vertices at (1,1), (4,5), and (7,2).1. Sum of x-coordinates = 1 + 4 + 7 = 12。
多边形重心问题-计算几何

多边形重⼼问题-计算⼏何转重⼼和⾯积以及坐标的关系三⾓形的重⼼坐标是顶点坐标的平均值。
对于⼀般的多边形(包含⼀条线段的情形)⼀:⼀般适合凸多边形n边多边形可以分成n-2个三⾓形,将这些三⾓形看做质点(质点的位置是三⾓形的重⼼x1,x2,..,质量是⾯积s1,s2,..),那么多边形就由这些质点组成,质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重⼼坐标x。
x=(x1*s1+x2*s2+...)/(s1+s2+...)s=s1+s2+...算法⼆:任意多边形将算法⼀改进,n边多边形中每两个点(有顺序)加上原点可构成n个三⾓形,将这些三⾓形看做质点(质点的位置是三⾓形的重⼼x1,x2...,质量是⾯积(有正负)s1,s2,...),那么多边形就由这些质点组成,质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重⼼坐标x。
多边形的⾯积s是这n个三⾓形⾯积(有正负)的代数和的绝对值。
x=(x1*s1+x2*s2+...)/(s1+s2+...)s=|s1+s2+...|算法2代码1 #include<cstdio>2 #include<cmath>3 #include<iostream>4using namespace std;56double cross(double a[2],double b[2]){ //求向量a,b的叉积⼤⼩7return a[0]*b[1]-a[1]*b[0];8 }910int main(void){11int ncase;12 cin>>ncase;13while(ncase--){14int i,k;15double S,tS,a[10002][2],sx,sy;16 cin>>k;17for(i=1;i<=k;i++)18 cin>>a[i][0]>>a[i][1];19 S=0.;sx=0.;sy=0.; //S⾯积,xy横纵坐标和20for(i=1;i<=k;i++){21 tS=cross(a[i],a[i%k+1])/2.;22 S+=tS;23 sx+=tS*(a[i][0]+a[i%k+1][0])/3;24 sy+=tS*(a[i][1]+a[i%k+1][1])/3;25 }26if(fabs(S)<1e-7)27 puts("0.000 0.000");28else29 printf("%.3lf %.3lf\n",fabs(S),(sx+sy)/S);30 }31 system("pause");32return0;33 }。
多边形质心计算公式_c++_解释说明以及概述

多边形质心计算公式c++ 解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文主要介绍了多边形质心计算公式的C++实现,并对其进行了详细的解释说明。
在几何学中,多边形质心是指一个多边形内部所有点的平均值,也被称为重心或几何中心。
计算多边形质心具有广泛的应用领域,包括计算图形的属性、图像处理等。
本文将首先概述整篇文章的结构,然后介绍撰写本文的目的和意义。
1.2 文章结构本文按照如下结构进行组织:引言、多边形质心计算公式解释说明、C++实现多边形质心计算程序、结论与讨论。
在引言部分,我们将对本文进行简要介绍,并概述了各个章节内容。
随后,在第二部分中,我们将详细解释多边形质心的定义与意义,并推导出计算公式。
第三部分将介绍如何使用C++语言来实现这一计算过程,并提供具体代码实现步骤以及测试结果分析。
最后,在第四部分中,我们将总结本文所述内容,并对未来发展方向进行展望。
1.3 目的撰写此篇长文旨在通过对多边形质心计算公式的解释说明和C++实现方法的介绍,帮助读者更好地理解多边形质心的概念和计算过程,并能够利用C++编写程序来计算多边形的质心。
同时,通过对本文所述内容的总结和讨论,我们将进一步提升对该主题的理解,并展望未来在多边形质心计算方面的研究和应用前景。
2. 多边形质心计算公式解释说明:2.1 多边形质心定义与意义:多边形的质心,也称为重心或几何中心,是指位于多边形内部的一个点,其对于多边形各个顶点的欧氏距离之和最小。
质心在计算几何中具有广泛应用,可以用于确定多边形的位置、形状、曲率等特性。
2.2 多边形质心计算公式推导:假设有一个包围多边形的坐标系,并以该坐标系的原点作为参考点,那么可以通过以下步骤推导多边形质心计算公式:- 首先,将多边形分解成若干个三角形。
- 对于每个三角形,找到它的重心(三角形三个顶点坐标的平均值)。
- 对于每个三角形重心,根据其面积与坐标加权求和得出整个多边形质心。
综上所述,在平面上一个n边(n≥3)简单闭合多边形P(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn,yn),其中(xi, yi)表示多边形各顶点坐标。
费马点算法

费马点算法
费马点算法(Fermat point algorithm)是一种在凸多边形上求解费
马点的算法。
费马点是一个图形的最优位置,它位于点的集合的重心的中
心点,对于任意两个点,费马点的距离都会相同。
费马点算法是以迭代的
方式来计算凸多边形的费马点,其原理是根据当前点到当前费马点的距离
来求出新的费马点,最后得到的新点距离都相等,即为费马点。
步骤:
1.首先,选择一个点作为费马点的候选点;
2.计算该点到各个点的距离;
3.取距离最长的点和最短的点,分别作为该点的最大距离点和最小距离点;
4.利用最大距离点和最小距离点来计算中心点,作为新的费马点;
5.重复第2 ~ 4步,直到费马点不再变化,此时即为费马点。
平面几何证明 凸多边形内任意一点到多边形距离的最大值

平面几何证明凸多边形内任意一点到多边形距离的最大值
我们要证明在凸多边形内任意一点到多边形距离的最大值的相关性质。
首先,我们需要明确什么是凸多边形以及点到多边形的距离是如何定义的。
凸多边形定义:一个多边形,如果从它的一边到另一边的任何线段都完全位于该多边形内,则称该多边形为凸多边形。
点到多边形的距离:点到多边形上任意一点的距离的最小值,就是点到多边形的距离。
但是,这里有一个特殊情况,
就是当点位于多边形内部时,点到多边形的距离为0,因为点已经位于多边形内部了。
但考虑到题目的语境,我们可能更关心点到多边形边界的最大距离。
对于凸多边形内任意一点P,其到多边形各边的垂直距离中的最大值,即为点到多边形的距离的最大值。
为了找到这个最大值,我们可以分别计算点P到多边形每一条边的垂直距离,然后取其中的最大值。
然而,这里有一个更简单的直观理解:
凸多边形内任意一点到多边形距离的最大值一定出现在该点与多边形某个顶点的连线上。
因为对于凸多边形,任意一点到边的垂直距离都不会超过到该边两个端点的距离。
所以,为了找到这个最大值,我们只需计算点P到多边形每一个顶点的距离,然后取其中的最大值即可。
综上所述,凸多边形内任意一点到多边形距离的最大值可以通过计算该点到多边形每一个顶点的距离,然后取其中的最大值来得到。
注意:这里的结论是基于点到多边形边界的最大距离,而不是点到多边形内部的最小距离(这总是0,因为点已经在多边形内部了)。
凸多边形的性质与计算

凸多边形的性质与计算一、凸多边形的定义与基本性质1.凸多边形:一个多边形如果它的所有角都是凸角,即多边形内部任意两点的连线段都完全包含在多边形内部,那么这个多边形就叫做凸多边形。
2.边:凸多边形相邻两个顶点之间的线段称为多边形的边。
3.顶点:凸多边形拐角的地方称为顶点。
4.内角:凸多边形中,顶点与相邻两边构成的角称为内角,内角的度数大于0度小于180度。
5.外角:凸多边形中,一个内角的非相邻角称为外角,外角的度数等于其所对的内角的补角,即外角为直角。
6.对边:凸多边形中,不相邻的两个顶点与它们之间的边称为对边。
7.对角线:凸多边形中,连接不相邻两个顶点的线段称为对角线。
8.边长:凸多边形的边长是指多边形边的长度。
9.面积:凸多边形的面积可以通过分割成三角形计算,也可以利用对角线分割成的三角形面积和计算。
二、凸多边形的计算1.边数:凸多边形的边数用n表示,n为正整数,且n≥3。
2.内角和:凸多边形的内角和为(n-2)×180度。
3.外角和:凸多边形的外角和为360度。
4.对角线数量:凸多边形的对角线数量为n(n-3)/2。
5.面积计算公式:–分割法:将凸多边形分割成n-2个三角形,每个三角形的面积为底乘以高除以2,凸多边形的面积为这些三角形面积之和。
–对角线法:凸多边形的面积等于其半周长与对角线乘积的一半。
其中半周长为(n-2)×180度/n,对角线乘积为所有对角线长度的乘积。
三、凸多边形的特殊性质1.正多边形:所有边长相等,所有内角相等的多边形称为正多边形。
2.圆:特殊的正多边形,当边数趋近于无穷大时,圆的形状越明显。
3.凸五边形:具有5条边和5个内角的凸多边形。
4.凸五边形的对角线数量为5(5-3)/2=5。
5.凸六边形:具有6条边和6个内角的凸多边形。
6.凸六边形的对角线数量为6(6-3)/2=9。
四、凸多边形的应用1.平面几何中的计算:在平面几何中,凸多边形的边长、面积、对角线等性质在计算和证明中起着重要作用。
20多边形的向量重心及其求作方法

甘 理 任 祝 明 田作 活 田翔 , : 二 不 犷 = 下 ̄ , 久 田丁
() 2 分别作出三角形 △肠场肠 、 △场民疏 的重 心F I、 凡; ( ) 连结 F 3 I凡 并取线段F I 凡 的中点, 则点 G即为十八边形 A 1 A ’二 2 A 」 8 的重心. 方法3 : ( ) 分别作出没有重复顶点的四边 1 形的重心, ( ) 作出这个重心多边形的重心, 2 循 环往复, 最后得到一个重心 G l ; ( ) 连结 场 与 3 最后的一个顶点或两个顶点连线的中点或三个 顶点所在三角形的重心( 若最后没有剩下多余 的顶点, 则G ; 即为所求) ; ( ) 利用杠杆原理确 4 定重心 G的位置. 如: 二十边形 A 1 A ’二 2 A Z 。 的重心可以如下 作 出: ’ l)分 别 作 出 四边 形 △A ( , A Z A 3 A ; 、 △A s A o A 7 A s 、 …、 △A1 7 Al s A I o A Z o的重心 G I 、 ・、 民, 2)作出三角形 △G ( l 碗场 的重心 F ; ; 3)连结 认 G ( 。 并取线段 认 认 的中点 F : ; ( ) 4 连结 F I凡 , 并在F , 凡 取一点G使得F I G: G F Z =2 : 3 , 则点G为二十边形A1 A ’ 2 二 A Z 。 的重心二 方法 4 : ( ) 交替作出没有重复顶点的三角 1 形、 四边形等的重心, 最后得到一个重心G l ; ( ) 2 连结 G , 与最后的一个顶点( 若最后没有剩下多 余的顶点, 则G 、 即为所求) ; 3)利用杠杆原理 ( 确定重心 G的位置. 如: 七边形 A 1 A ’ 2 二 A : :( 1)分 别 作 出
如何找任意多边形的重心

A EG F D
起硬纸板,记下铅垂线的“痕迹”;
(3)在另一颗小钉上重复(2)的活动,找到两 条铅垂线的交点(记为G); (4)在第三颗小钉上重复(2)的活动,看看第 三条铅垂线经过点G吗?三条铅垂线和对边的交
B
C
点D、E、F分别在对边什么位置?测量一下你能
得出什么结论?
发 现:
(1)三条铅垂线交于一点(G); (2)铅垂线经过对边的中点;
平行四边形
矩形
菱形
正方形
总 结:
线段的中点; 1.线段的重心是____________
2.平行四边形的重心是 它的两条对角线的交点 ___________________ .
活动Ⅲ: 探究三角形的重心
实验步骤: (1)如图,在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个 顶点处钉一个小钉作为悬挂点; (2)用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上,吊
步骤一:用细绳栓住一条均匀的木棒,找到木棒的平衡点; 步骤二:用刻度尺量出平衡点左右两边的距离,你发现 了什么?
问题一:
用同样的方法探究不均匀的木棒的平衡点
的位置,你又发现了什么?
问题二:
举例说明,上述结论在日常活动中有何应用?
活动Ⅱ 探究平行四边行的重心
一 、悬挂法找多边形的重心源自二、分组探究以下特殊平行四边形的重心:
2007年6月
授课人:谢根志
想一想:
*我们从刚才的节目表演中 看出,杂技演员用竹竿顶碗, 碗从竿上不掉下来,为什么?
*走钢丝绳为什么要拿一根 长长的木棒,短一点或不拿 行不行?为什么?
做一做:
请同学们用一个手指顶住教科书.
找一找使书本保持平衡的点?
猜一猜这个点大致在什么位置上?
多边形重心的作法

〈分析〉正多边形的线对称轴便是面积平分线, 也就是质量平分线;圆形亦同。(同上)
→感觉上,似乎在平面图形上找出两条可平分面 积(质量)的线,在找出其交点即可找到重心。
〈分析〉不管是什么样的形状,这个方法都适用。 因为不管是通过A点或B点的铅垂线,当此木板在 悬吊并达到平衡(也就是不会晃动)时,铅垂线左 右的重量必相同,才可达到平衡。而由A、B两点 所做的两条铅垂线的交点,可使两组被铅垂线切 成两块的木板都达到平衡。因此交点G便是此木板 的重心─顶着它可以达到平衡的点。这是个较偏 向理化做法的方式。
分析二此方法大致上与五边形类似只是五边形的形变只是针对唯一一个四边形来做而六边形必须对两个由对角线切成的四边形各做一次形变才能利用两形变后的三角形的高之反比找出分重心线的比例而求出重心
台北市立敦化国民中学资源丙班
多边形的重心
218吴昀昕 222许晋婕 223游凯婷 指导老师:桂雪萍老师、蔡芸兰老师
研究动机
4.标尺作图法有两种─分割法及杠杆法。感觉上 杠杆法是比较有技巧的,因其有利用到以一长度 代替左右两图形的质量比,使题目简化;而分割 法则是一小块一小块的切,再去找许多重心线的 最后一个交点,有点「暴力法」的味道。不过, 分割法不管在哪种多边形上均可采用,只是边数 越多越困难;而杠杆法则要再继续讨论如何利用 形变找出两线段比再去分一重心线 5. n边形杠杆法的重心线公式:n-2-1→可切成n2个三角形,而重心线条数为三角形个数-1
《分割法》连一条对角线将其切成两个三角形, 分别找出重心,连两重心之线段(以下我们在本文 均统称为「重心线」);再连另外一条对角线,画 出两个不同于上一次的三角形,也分别找出两个 三角形的重心,连重心线。则此两条重心线会交 于一点,此点即为重心。
多边形重心的计算方法_李玉冰

n -1
x1 y1 1
∑ (x1 +xi +xi+1) xi
yi 1
i =2
x2 =
∑n-1
3
x1 xi
xi+1 yi+1 1 y1 1 yi 1
i =2
xi+1 yi+1 1
n -1
x1 y1 1
∑ (y1 +yi +yi+1) xi
yi 1
i =2
y2 =
n-1
x1
xi+1 yi+1 1 y1 1
39 2
计算机应用
20 05年
n
∑ y dσ
yi σi
yg = D S
= i=1 n ∑ σi
i =1
由前面所提出的 原理和数学定理可以得出求离散数据点
所围多边形的一般重心公式 :以 Ai(xi, yi)(i = 1, 2, … , n) 为 顶点的任意 N 边形 A1A2 … An, 将它划分成 N - 2个三 角形 (如 图 1)。每个三角形的重心为 Gi(–xi, y–i), 面积 为 σi。那么多边形 的重心坐标 G(x2, y2)为 [ 1] :
但在做 具体计算时 可以清楚 地认识到 :计 算的难度 完全 取决于图形 Ψ的形状 , 即使是像多边形这样的简单图形 , 只要 边数稍微增加 , 用积分计算的运算量就会成倍的增加 。并且用 公式 (1) 的局限性还在于必须知道 图形 Ψ的 表达式 , 此 外更 要求图形 Ψ是连续光滑曲线 (至少是分段连续 )。而工程 中只 能得到一系列的离散数 据点 , 所以 用上面 的公式 去计算 离散 数据点系所围图形重心 是难以 实现的 。因 此就必 须提出 一种 新的能够求离散数据 点系所围图形重心的计算公式 。
均值重心坐标的鲁棒算法及其几何性质

均值重心坐标的鲁棒算法及其几何性质
冯结青;赵豫红
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2004(016)006
【摘要】均值重心坐标不仅适用于凸多边形,而且适用于星形多边形 .已有定义方法在多边形边界处具有奇异性,计算时容易产生数值不稳定问题,因而不适用于几何计算 .首先分析和比较了已有的各种重心坐标的定义方法,提出了一种鲁棒的均值重心坐标计算方法,并且从理论和实验两方面证明了均值重心坐标在多边形边界上的Lagrange性质和线性性质.
【总页数】5页(P772-776)
【作者】冯结青;赵豫红
【作者单位】浙江大学CAD& CG国家重点实验室,杭州,310027;浙江大学系统工程研究所,杭州,310027
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.鲁棒的基于几何均值分解的THP预编码算法 [J], 袁赛;朱瑛;王德辉;张胜磊;刘景泉
2.基于鲁棒学习模糊C均值聚类算法的变压器故障辨识方法 [J], 陶飞达;吴杰康;曾振达;覃炜梅;张丽平;邹志强
3.簇间可分的鲁棒模糊C均值聚类算法 [J], 高云龙;杨程宇;王志豪;罗斯哲;潘金艳
4.基于低频奇异值均值的强鲁棒零水印算法 [J], 齐向明; 张晶; 谭昕奇
5.基于自适应松弛的鲁棒模糊C均值聚类算法 [J], 高云龙;王志豪;潘金艳;罗斯哲;王德鑫
因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。
梅尼埃定理问题回答

梅尼埃定理梅尼埃定理梅尼埃定理是一种用于计算多边形重心的公式,它是由法国数学家梅尼埃(Pierre Varignon)在1731年发现的。
该定理可以通过计算多边形的顶点坐标和边长来求解重心坐标,是计算多边形质心的一种常用方法。
一、梅尼埃定理的定义梅尼埃定理指出:一个平面图形的重心坐标可以通过将其分成若干个三角形,并将每个三角形的重心加权平均得到。
二、梅尼埃定理的公式对于一个凸多边形,其重心坐标可以用以下公式表示:$G = \frac{1}{6A}\sum_{i=1}^{n}(x_i + x_{i+1})(y_i - y_{i+1})$其中,$n$为多边形的顶点数,$(x_i, y_i)$为第$i$个顶点的坐标,$A$为多边形面积。
需要注意的是,在上述公式中,所有下标都应该按照模$n$进行取余处理。
这样可以保证最后一个顶点和第一个顶点之间也会被考虑进去。
三、梅尼埃定理的证明首先,我们需要知道三角形的重心公式:$G = \frac{1}{3}(A + B + C)$其中,$A,B,C$分别为三角形的三个顶点。
接下来,我们将多边形分成若干个三角形,并将每个三角形的重心加权平均。
考虑到每个三角形面积相等,所以可以将公式简化为:$G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}G_i$其中,$G_i$为第$i$个三角形的重心。
对于任意一个三角形,其重心可以表示为:$G_i = \frac{1}{3}(A_i + B_i + C_i)$其中,$A_i,B_i,C_i$分别为该三角形的三个顶点。
将上述公式代入到原始公式中得到:$G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3}(A_i + B_i + C_i)$进一步展开得到:$G = \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^{n}(A_i + B_i + C_i)$这里需要注意的是,同样需要按照模$n$进行取余处理。
多边形中心角公式

多边形中心角公式多边形中心角公式是在探讨多边形各内角和的数学问题中,经自然演化而来的,它是指多边形的每个中心角的公式。
多边形是由若干个边相接而成的图形,是几何学中的重要研究对象。
多边形中心角公式可以帮助我们计算多边形内角和,从而更好地理解多边形的性质和特点。
在实际应用中,计算多边形内角和有助于我们解决各种几何问题,例如测量土地面积、建筑工程等等。
在以下几个方面将详细介绍多边形中心角公式。
1. 多边形的定义及性质首先,我们来介绍一下多边形的基本定义及一些性质。
多边形是由若干条边和相应的内角组成的。
多边形的边数和内角数取决于其形状和大小。
同时,多边形的边和内角之间存在着一定的关系,即多边形的内角和等于(n-2)×180度,其中n为多边形的边数。
2. 多边形中心角的定义接下来,我们来介绍一下多边形中心角的定义。
多边形的中心角是由多边形的任意一点向多边形的各个顶点连线所围成的角。
多边形的中心角是多边形的一种特殊角度,它通常被用来计算多边形的内角和。
3. 多边形中心角公式的推导多边形中心角公式是通过对多边形的每个中心角进行计算得到的。
当多边形的边数为n时,我们可以使用以下公式计算多边形的中心角:中心角度数 = (n-2)×180度÷n这个公式的推导过程可以通过将一个多边形分成n个三角形来理解。
在每个三角形中,多边形的中心角对应于三角形的顶角。
由于任何一个三角形的内角和都等于180度,因此我们可以使用以下公式计算单个三角形的中心角:中心角度数 = 180度 - (三角形底角的度数÷2)如果将多边形分成n个三角形,我们就可以计算出每个三角形的中心角度数。
由于多边形的中心角恰好是所有三角形的中心角加在一起,因此我们可以使用以下公式计算多边形的中心角:多边形的中心角度数= n ×(三角形的中心角度数)将前面的公式代入多边形的中心角公式中,就可以得到:中心角度数 = (n-2)×180度÷n通过这个公式,我们就可以方便地计算任意多边形的中心角了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
模型的建立与求解
一、计算凸多边形的重心
对于任意凸多边形,我们以其重心为蛛网的中枢区中心,也即蜘蛛的等待猎物点,以此点出发,先发出放射丝,再织捕丝。
1.计算任意凸多边形重心的理论基础
1.四边形的重心作法:连接岀四边形的一条对角线,这样四边形就变成两个三角形的组合体,分别作岀
两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段AB,同样,连接岀四边形的另一条对角线,四边形就
变成另外两个三角形的组合体,分别作岀这两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段CD,则线段AB, CD的交点就是四边形的重心。
2.五边形的重心作法:连接岀五边形的任一条对角线,将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体,分别作岀三角形的重心,和四边形的重心,并连成线段AB;连接五边形的另外一条对角形,将五边形分为另
1个三角形与四边形的组合体,分别作出三角形与四边形的重心,并连接成线段CD则AB CD的交点就是五边形的重心。
3、用数学归纳法,对于六边形、七边形,N边形,都可以用上述方
法,先连接出一条对角线,将N 边形化为一个三角形与(N-1)边形,或四边形与(N-2)边形,然后分别作出重心,并连接成线段,然后再连接另外一条对象线,分别作出两个组合体的重心并连接成线段,两条线段的交点就是N 边形的重心。
2.重心计算的算法程序实现:
有了以上理论基础,我们通过C++语言编写了一个计算任意凸多边形的程序,算法思想如下,算法程序见附录一。
③在平面上取一点(一般取原点)得到N个三角形0P[i]P[i+1](其中点的顺序为逆时针)
②分别求出这N个三角形的重心Ci和面积Ai(注意此处面积是有向面积, 就是用叉乘求面积时保留其正负号)
②3 求出 A = A1+A2+...+AN(同样保留正负号的代数相加)
②4 重心 C = sigma(Ai+Ci)/A;
附录一:任意凸多边形重心C++算法
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip> using namespace std;
struct point
{
double x;
double y;
};
point gravity(point *p, int n)
{
double area = 0;
point center;
center.x = 0;
center.y = 0;
for (int i = 0; i < n-1; i++)
{
area += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y)/2;
center.x += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y) * (p[i].x + p[i+1].x); center.y += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y) * (p[i].y + p[i+1].y);
}
area += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y)/2;
center.x += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y) * (p[n-1].x + p[0].x); center.y += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y) * (p[n-1].y + p[0].y); center.x /= 6*area;
center.y /= 6*area;
return center;
}。