导数及其应用PPT优秀课件

2 1x2
21x2
1 x2
y 1 1x2 2 x x
导数及其应用
◆导数 Derivative的概念
函数 自变量 函数
y f (x)
x0 D f
x0 x0 x x xx0
f(x0)f(x0x)
y f( x ) f( x 0 ) f( x 0 x ) f( x 0 )
导数 f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
解 dy [lncos(ex)] dx

1 cos(ex
)
[cos(ex)]
cos1(ex)(sinex)(ex)
cos1(ex)(sinex)ex
ex tan(ex)
由外及 里，环 环相扣
y ln u
ucosv
v ex
练一练
求下列函数的导数
(1)y 312x2
y 1 2lnx1
2 1ln2x
x
例9
y

x3 3x
,求
y
解 y(x3)3(x3x)x23(3x)

3x2
3x x3 3x (3x)2
ln3

3x2
x3 ln 3 3x
例10 yln(x 1x2),求 y
解 y
1
1
2x

x 1x2 2 1x2
1x2 (arccosx) 1
1x2
(arctanx) 11x2 (arccotx)11x2
◆函数的和差积商的求导法则
(uv)uv
(uv)uvuv 你记住了
吗？
(u)uvuv（v0）
v
v2
特别 (Cu)Cu
(1) v
来自百度文库
vv2（v0）
dx du dx u
sin x
代入
例7 设 y ex3 ,求 dy dx
解 y e x 3 可分解为 yeu, ux3.
所以 dy dy du dx du dx
也可以不写出中间变量
3x2ex3
dy dx

(e x3 )

e x3
( x 3 ) 3x2ex3
例8 设 ylncos(ex), 求dy dx
所以 y x2 4
如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果
lim y lim x x 2 x 2 lim 2 x x 2 x
x x 0 x 0 x
x 0
其结果表示是x的函数，称之为导函数。
◆基本导数公式
(c) ' 0
1
1x2 x
1
x 1x2 1x2
1 x2
练一练
求下列函数的导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
y1( 1 1x2x 2x )
2 1x2
21x2
1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
函数 y f (x)
一阶导数 f(x)yf(x)dy
(x) x1
记
(ax)ax lna
熟
、
(ex ) ex
记
牢
(loga
x)

1 xlna
、 记
(ln x) 1
准
x
(sinx)cosx
(cosx)sinx
(tanx)sec2 x
(cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx) cscxco tx (arcsinx) 1
其它形式
f(x0)lhi m 0f(x0hh)f(x0)
f(x0)xli m x0 f(xx) xf0(x0)
例题 设 y x 2，求 y x 2
解 y 2 x 2 2 2 4 x x 2
y 4 x x
y lim 4 x0 x
u (v),v (x)均 可 导 ,则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例6
设
y lnsinx,
求dy dx
解 因为 ylnsinx可 分 解 为 y ln u ,
u sinx
所以 dy dy du 1 c o s x 1 cos x cot x
dx
二阶导数
f(x)
yf(x)d2y dx2
三阶导数 f(x)yf(x)ddx3y3
n阶导数 f(n1)(x)y(n)f(n)(x)=d dx nn y
练一练
求下列函数的二阶导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
解 y1( 1 1x2x 2x )
例1 设 y2x35x23x7求 y
解
y(2x35x23x7)
(2x3)(5x2)(3 x)(7 )
23x252x30
6x210x3
例2 f(x)x34cosxsin ，求f(x) 及f()
2
2
解 f(x)3x24sinx f() 32 4
24

sin
是常数
2
例3 设 f(x)x3sinx 求 f (x)
解 f(x)(x3sinx) (x3)sinxx3(sinx) 3x2sinxx3cosx
练一练 求下列函数的导数
(1) y x2 ln xcos x
y2xlnxco sxxco sxx2lnxsinx
(2 ) y ln x x
y 1 ln x x2
◆复合函数的求导法则
如果函数ug(x)在x点可导,而y f (u)在 对应点ug(x)处可导, 则复合函数yf[g(x)] 在点x处可导，且其导数为
dydydu f(u)(x)
dx du dx
推广 对 于 复 合 函 数 yf{ [(x)]} ， 设 yf(u ),
1
y [(12x2)3]
1(12x2)23(4x)
3
sin 1
(2) y e x
sin 1
y (e x )
sin1
e x
cos
1x(x12
)
(3)y (arcsin x)2 2
(4)y 1ln2 x
y 2arcsin x 1 1 2 1(x)2 2 2