数学三十六计续集21：公式法

数学三十六计搞定小升初续集之21：公式法
作者：马到成功老师
一个数学成绩优秀的学生不仅能记得大量的计算公式，还知道公式的来源，更重要的是能在解题实践过程中熟练运用公式，先给大家整理一些小学奥数学习中可能遇到的计算公式，再来举例试试如何熟练运用。

常用公式：
1.(1)
1232
n n n ⨯+++++=
；2.2222(1)(21)
1236n n n n ⨯+⨯+++++=
；
3.()
222
3
3
3
3
(1)1231234
n n n n ⨯+++++=++++=
；
4.()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++= ；
5.等比数列求和公式：0
11
1111(1)1
n n n a q S a q
a q a q
q --=++⋅⋅⋅+=
-(1q ≠)；
6.平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；
7.
完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．
【精典名题1】
22222222222
1245781011131416++++++++++【思路点拨】补充成连续平方数之和，再用公式。

原式22222222(1216)(3691215)
=+++-++++ 2222222221617335611
(1216)3(12345)966
14964951001
⨯⨯⨯⨯=+++-⨯++++=-⨯=-=
【精典名题2】
计算：23456
111111
1333333
++++++【思路点拨】方法一：利用等比数列求和公式。

原式71113113
⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
-7
1326411⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦方法二：错位相减法．设23456
1111111333333S =+++++
+
则2345
1111133133333
S =++++++，6
1333S S -=-
，整理可得3641729
S =．
【精典名题3】计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ．
【思路点拨】可以采用平方差公式处理，观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的。

原式()()()()()()
5049504950485048501501=-⨯++-⨯+++-⨯+ ()()()22222250495048501=-+-++- ()222250491249=⨯-+++ ()222250491249=⨯-+++ 21
5049495099
6=⨯-⨯⨯⨯25049492533=⨯-⨯⨯()492510033=⨯⨯-492567=⨯⨯82075
=此类题我在踢三角一文中采用另一种解题策略，可以对照学习，比较，一题多解能很好地开拓自己的视野。

【精典名题3】计算：
22222211111124⎛⎫⎛⎫
⨯+++-+++= ⎪ ⎪⨯⨯⨯++++⎝⎭⎝⎭
．
【思路点拨】
()()()()2221624==+++++++ ()()()11
122212122n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
，
所以，
222222
111
1121210+++++++ 111111122334455620212122⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
所以原式
1111
111112412234520212334455620212122⎛⎫⎛⎫=⨯+++-⨯--++- ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1
111111223344556
20212122⎛⎫=⨯++++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111
111223342122⎛⎫=⨯-+-++- ⎪
⎝⎭ 1112222⎛⎫
=⨯- ⎪⎝⎭
6611=-5511=【精典名题5】
________
2632126321-43214321-3213212121-113
3332
22233332222333222332232=++++++++++++++++++++++ 【思路点拨】这是人大附中的一道小升初招生考试题，考察对数学公式
的熟练程度。

先取一项来研究并化简，前面用公式，最后是裂项法：
111(32)1(1232)1(4
1)12)1(61
321321223
3332
2
2
2
++×=+×+×=+××++××=++++++++n n n n n n n （
81
52
271
-132 ]
271
261--41313121-2111[32 =
=+++++=（）（）（）（）（式原 【精典名题6】有两个两位数，它们的差是14，它们的平方数末两位数
字相同，求所有的这两个两位数。

【思路点拨】这是一道平方差公式在解数论题目中的应用。

找到突破口，
解决问题相当容易。

设这两个两位数分别为b a ,。

它们的平方数末两位数字相同，说明
它们的平方差能被100整除。

可得：
100k
b -22=a (k 是自然数。

)
k b a b a 100))(-=+（因为b a ,的差为14,代入:
k b a 100)14=+（k
b a 50)7=+（7与50互质，则)b a +（能被50整除，且小于198，)b a +（的和有三种可能：50，100，150，和与差都知道了，根据和差问题公式，可以得到三组解：（32，18），（57，43），（82，68）。

升学模拟21
1.计算：31431.462868.668.6686⨯+⨯+⨯＝。

2.
33332416_______248512
++++= 3.下面方阵中所有数的和是多少？
1901190219031904195019021903190419051951190319041905190619521948194919501951199719491950195119521998
4.计算：33333333
135********+++++++5.________
100
3211003213213212121113
333333333=+++++++++++++++++ 6.*有两个两位数，它们的差是28，它们的平方数末两位数字相同，求所有的这两个两位数。

参考答案：
1，这是一道杯赛原题，可运用乘法分配律分拆，如果会套用公式，解决也十分方便。

记原式为X ，则10X =314×314+628×686+686×686
=3142
+2×314×686+686
2
=(314+686)2
=1000000，所以，X =100000。

2，原式()333
3246162
4
8
512⎛⎫
=+++++++++
⎪⎝⎭
()11
121238324
5121509723174512512⎛⎫=⨯+++++⨯+++ ⎪
⎝⎭⎛
⎫=+⨯-= ⎪
⎝⎭
3,我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，通过观察，每一
列的相邻两个数都相差由于每一行都有50个数字，所以每行的和构成公
差为50的等差数列．
第一行的和我们可以求出，为：1901195050296275
+⨯÷=（）一共有194919011-+（）行，每行的和构成首项为96275，公差为50，项数为49的等差数列，那么最后一行的和为：962755049198675+⨯-=（），所以，方阵中所有数的总和为
96275986754924776275+⨯÷=（）．
4，原式()
333333333123414152414=++++++-+++ ()
()
2
23331515181274
⨯+=-⨯+++ 22
57600
2784=
-⨯⨯8128
=5，立方和公式与等差数列公式套用。

先把末项改成n ,用通项公式来化简。

)1(21
)1(21)1(41321321223
333+××=+××+××=++++++++n n n n n n n n ()
171700
505020110110061211003211003212110110043322121
2222=+××××=+++++++++×=×++×+×+××=）（）（原式 6*，设这两个两位数分别为b a ,。

它们的平方数末两位数字相同，说明
它们的平方差能被100整除。

可得：
100k
b -22=a (k 是自然数。

)
k b a b a 100))(-=+（因为b a ,的差为28,代入:
k b a 100)28=+（k
b a 25)7=+（7与50互质，则
)b a +（能被25整除，b a ,的差是偶数，和必为偶数，且小于198，
)b a +（的和有三种可能：50，100，150，和与差都知道了，根据和差问题公式，可以得到三组解：（39，11），（64，32），（89，61）
《数学三十六计搞定小升初》一书自出版发行以来，虽有些不足之处，但仍受到广大高年级学生，学生家长，奥数教师同行的喜爱，我希望下一阶段把我还有的一些实际教学中的想法与做法记录下来汇编成三十六计续集。

每一篇文章都希望得到大家的指导，以期博采众长，惠及学生。

在书最终成稿前，图片，数据，以及选编例题的难度与次序都要再加工，请多提宝贵意见。

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