九年级数学一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学一元二次方程（培优篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% （2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率x ，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．
（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y ，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．
【详解】
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ．
根据题意，得75（1+x ）2=108，则1+x=±1.2
解得x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为
（108×90%+y ）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y ）×90%+y]万辆． 根据题意得（108×90%+y ）×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
2．已知关于x 的一元二次方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．
【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15
m =-
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()2
2140m m ∴?=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.
（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m
=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m
--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.
【详解】
（1）因为方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根， ()221240m m ∴?=-->，解得14
m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．
m ∴的取值范围是14m <
且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，122
1x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m
=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，
2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215
m =-， 14m <
且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15
m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.
3．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；
②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；
【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9
【解析】
【分析】
①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；
②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.
解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，
解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，
∴a 的值是﹣2或﹣4；
②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3
∴a ＝﹣2舍去，
∴a ＝﹣4，
∴﹣4≤x ≤﹣3，
∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，
∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，
∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13
x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.
【点睛】
此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.
4．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=?，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．
问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积
问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．
【答案】（1）4；（2）
203
；（3）存在，最小值为16216 【解析】
【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA
可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据
S △ABE =1AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=
1AE BH 2
得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =
1BC AM=82 ∴82AM==44
? 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=?
∴∠BCD=∠D=90°=∠F
∴四边形BCDF 为矩形，
又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形，
∴DF=BF=BC=4，
又∵AD ∥BC
∴∠FAB=∠CBA
又∵∠EAB=∠CBA
∴∠FAB=∠EAB
∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE
∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和
Rt △BHE 中，
∵BE=BE ，BH=BC=4
∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）
∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）
∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a
由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2
2226+=-a a 解得8=3
a ∴AE=6-a=
103 S △ABE =111020AE BH=4=2233
?? （3）存在，
如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m
整理得8=4
+m a m ∴AE=AH+HE=2816444
+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=++m m m m ∴()()
24216+=+y m m 整理得：2
23240++-=m ym y
∵方程必有实数根
∴()2
=423240?-??-≥y y 整理得2322560+-≥y y
∴()()16160????---≥????
y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0
∴16≥y
即△ABE 的面积最小值为16．
【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加
1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x 千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，
整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，
（x ﹣75）（x+10）=0，
解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x ）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
6．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，
∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，
∵m 2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±
， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±
，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.
7．已知关于x 的一元二次方程()22
2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）134
k ≤
；（2）2k =-． 【解析】
【分析】
()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】
解：()1关于x 的一元二次方程()22
2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥，
解得134
k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，
221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
134
k ≤， 4k ∴=舍去，
2k ∴=-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
8．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．
(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？
(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？
(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴2cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB?B C=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP?CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-2
3
（舍去）；
③22
3
＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
1 2QP?CB=
1
2
（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）D（4，7）（2）y=39
44
x （3）详见解析
【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．
试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y=x﹣；
（3）存在．
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数
10．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．
（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；
（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；
（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．
【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝1
2 x．
【解析】
【分析】
先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．
（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．
（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．
（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．
【详解】
∵矩形AOBC中，C（6，4）
∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4
依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）
∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形
∴AP＝OQ
∴t＝6﹣2t
解得：t＝2
故答案为2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H
∴四边形APHO是矩形
∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°
∵PQ＝5
∴HQ
3 =
①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3
解得：t＝1
②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3
解得：t＝3
故答案为1或3．
（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M
∴四边形AMNO是矩形
∴MN＝OA＝4，ON＝AM
∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E
∴PQ垂直平分OE
∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE
∵∠POE＝45°
∴∠PEO＝∠POE＝45°
∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部
∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°
∴∠MPE＝∠AOP
在△MPE与△AOP中
PME OAP90 MPE AOP
PE0P ?
?∠=∠=
?
∠=∠
?
?=
?
∴△MPE≌△AOP（AAS）
∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t
∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t
∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2
∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4 3
∴AM＝4
3
+4＝
16
3
，EN＝4﹣
4
3
＝
8
3
∴点E坐标为（16
3
，
8
3
）
∴直线OE的函数表达式为y＝1
2 x．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．