电磁场镜像法

§18 镜像法

一、镜像法

1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问

题很容易地得到解决。该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2.应用镜像法应主意得问题

应主意适用得区域,不要弄错。在所求电场区域内:

①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研

究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;

⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3.镜像法得求解范围

应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题

一般就是边界为平面与球面得情况

1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解

其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有

以无限远处为参考点

在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有

对于大场不存在

推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115、P54

求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解

P点:

,

感应电荷密度, (大地)

点电荷

例1-16P55

解:用镜像法,如图所示,边界条件

2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法

求解区域如图b,如图c

设中电位为,中电位为

满足条件:在中除所在点外,有,在中

在两种媒质分界面上应有,

由有

与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷

若q为得线电荷则有:

3.点电荷对金属面得镜像问题

点电荷与接地金属球得问题

①与得电场中,求电位为零得等位面。

令则有

余弦定理

等位面为球面(等位线为圆),所以电位与无关,即与无关,必有

这说明只要满足上式,必有一个半径为R得球面就是零电位得等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题

解:除点外,,没撤除金属球,整个空间充满,在离球心为b处,,用一个负电荷取代。对于(金属球外)得电场可用与两点来计算。边界条件, 未变,

②对于金属球不接地,原来又不带电荷,则必须同时考虑正负两部分电荷得作用,此时用镜像

法,在球外区域计算电场,应就是三部分电荷共同作用:、(,距球心b处)与(,在球心)

③若求带电,则应就是4部分电荷作用。

§19 部分电容

一、电容

1.定义:由两个导体组成电容器,即由两个导体组成得独立系统电容C。

单位法拉。

由它得电极得几何形状、尺寸相互位置及导体间得介质有关,与带电情况无关。其实际表明得就是两导体间介质得性质。公式与就是相互对应得。

2.几种常用电容器电容得计算

①孤立导体得电容, 实质上就是该导体与无限远处另一导体得电容。

②无限长同轴导体圆柱面电容

,a、b分别为内外圆柱导体得半径。

③同心球面导体间得电容

孤立导体球得电容

④二线传输线每单位长度电容

3. 部分电容

实际工作中,常遇到三个或更多导体组成得系统。在多个导体中一个导体在其她导体得影

响下,与另一导体构成得电容只能引入部分电容得概念得描述。

① 定义:在由三个及三个以上带电导体组成得系统,任意两个导体之间得电压不仅要受到它

得自身电荷还要受到其余导体上电荷得影响,这时系统中导体间得电压与导体电荷关系

一般不能仅用一个电容来表示,要用部分电容来描述。

静止独立系统:一个系统,其中电场得分布只与系统内各带电体得形状、尺寸、相对位置

及电介质分布有关,而与系统外得带电体无关,并且所有电通量密度全部从系统内带电体

发出,也全部终止于系统内得带电体上。

例对于个导体构成静电独立系统,令导体从顺序编号,则

若系统中电介质就是线性得,设0号导体为参考导体,则其余导体与0号导体之间得电压

为:

:① ② ③ ④只与导体得几何形状、大小、尺寸、相互位置及电介质有关。

,也只与导体形状、尺寸等有关。

:① ② ③

()()()()()101020200000120k k k k kk k k kn k n k k kk kn k U U U U U U U U U ββββββββ=-------++-++++++()1122120k k k k k k kk kn k kn kn U U U U βββββββ=--+++++++--

令,,,,

——自有部分电容,即各导体与0号导体之间得电容

——互有部分电容,相应两导体之间得部分电容。

都就是正得,

共有 个部分电容

例118、 P65、

解:用镜像法

;构成两队电轴,由电轴法求空间p 点电位。

设电轴与几何轴重合,

则:

§110 静电能量与力

一、定义

引入:从所学得机械能,我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。

因此在研究带电体系统得力学关系时,通过能量来分析就是有利得。

对于一种电荷分布,存在着与之相关联得力系统,也就有与之相关联得能量储存在系统