线性代数 2-1 第2章1讲-矩阵概念及线性运算

a
0
0
0
a
9
三、几种特殊矩阵
1 0
0
（4）单位矩阵
0
1
0
0
0
1
（5）三角矩阵
上三角阵
a11 a12
a22
a1n
a2
n
，
ann
a11 a21 a22
an1
an 2
下三角阵
ann
10
三、几种特殊矩阵
（6）梯形阵 设A (aij )mn，若当i j时，恒有aij 0，且各行第一个非零元素前面零元素的 个数随行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵.
若当i j 时，恒有aij 0，且各行最后一个非零元素后面零元素的个数随行数增大 而减少，则称该矩阵为下梯形矩阵.
5 0 0
7 1 0
0 2 0
12 2 8
193，10
0 1
0 0
1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 4
1 9 1
0 6 2
0 0 3
0 0 0
0 0， 0
0 1
0 0
0 0
0 0
5
2 3 3 7
2 2 0 0
上梯形阵
行最简形矩阵
下梯形阵
11
三、几种特殊矩阵
（7） 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，称为A 的转置，记为AT 或A'.
a11 a12 a13
a21
a22
a23
A
a31
a32
a33
am1 am2 am3
a1n
a2n
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a3n
，AT
a13
a23
a33
amn
a1n a2n a3n
am1
am
2
am3
amn
12
三、几种特殊矩阵
（8） 设A为 n 阶方阵，如果满足AT A，即aij a ji (i, j 1, 2, , n) ，则A 为对称矩阵 特点 元素以主对角线为对称轴对应相等
（9）设A为n 阶方阵，如果满足AT A，即aij a ji (i j) ，aii 0 ，(i, j 1, 2, , n) ， 则A 为反对称矩阵. 特点 主对角线元素为0，其他元素以主对角线为对称轴互为相反数
（10） 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一个小块称为矩阵的子块(或子阵). 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵.
13
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第一讲 矩阵的基本概念
主讲教师 |
本章内容
01 引例 02 矩阵的定义 03 几种特殊的矩阵
一、 引例
线性变换与矩阵 设有关系式 y1 a11x1 a12 x2 a1n xn
y2
a21x1 a22 x2 a2n xn
①
ym am1x1 am2 x2 amn xn
行矩阵 当m 1时，A a11 a12
a1n 称为行矩阵；
列矩阵
a11
当n
1时，A
a21
称为列矩阵；
am1
行矩阵也称为行向量，列矩阵也称为列向量.
6
二、 矩阵的定义
例1 写出与下列变换对应的矩阵
y1 x1
(1)
y2
x2
；
yn xn
y1 1x1
(2)
y2
2 x2
其中aij为常数(i 1, 2, m, j 1, 2, n)，这种从变量x1 、x2 、 、xn 到
y1、y2、 、ym的变换称为线性变换.
a11 a12
a1n
把①中的系数写下来，得到了一个数表.
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
3
本讲内容
01 引例 02 矩阵的定义 03 几种特殊的矩阵
；
yn n xn
解
1 0
0
1 0
0
(1)
0
1
0
；
(2)
百度文库
0
2
0
0
0
1
0
0
n
7
本讲内容
01 引例 02 矩阵的定义 03 几种特殊的矩阵
三、几种特殊矩阵 几种特殊形式的矩阵
（1）零矩阵
0 0
0
0
0
0
0
0
0
（2）对角矩阵
1 0
0
0
2
0
0
0
n
（3）数量矩阵
a 0
0
0
二、 矩阵的定义
定义2.1 由m n个数aij (i 1, 2, m, j 1, 2, n)按一定顺序排成的m 行n 列的
a11 a12
矩形数表
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
，称为m n
矩阵，简称矩阵.
amn
方阵 当矩阵的行数与列数相等时，称矩阵为方阵，或n 阶方阵.
5
二、 矩阵的定义