参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化

【学习目标】了解参数方程化为普通方程的意义．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．

【学习重点】参数方程与普通方程的互化

【学习难点】参数方程与普通方程的等价性

一、自主学习

1、=+θθ22cos sin =θ2sin

=θ2c o s

= = =θ2s i n =θ2

c o s （降幂公式） =+θθc o s s i n

b a （辅助角公式） 3、试一试：将下列参数方程中的参数消去：

(1)⎩⎨⎧+=-=t y t x 221，（t 为参数） （2）⎩⎨⎧==θ

θsin cos y x ，(θ为参数)； 二、合作探究

例1、将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．

（1）⎩⎨⎧-=+=t y t x 211，(t 为参数)(2)⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x ，(θ为参数)；(3)为参数）t t t y t t x (,11⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=

变式训练：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．

(1)⎩⎨⎧=-=t y t x 431，(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧==为参数）ϕϕϕ(,sin 3cos 5y x （3)⎩⎨⎧+-=+=θ

θ2cos 1sin 22y x ，(θ为参数)；

例2、求方程1642

2=+y x 的参数方程：

(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；

(2)若令y ＝t(t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t(t 为参数)，如何求曲线的参数方程？

变式训练：根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方程：

（1）为参数；设t t y y x y ,1,012-==---

（2）ϕ4212121cos ,a x a y x ==+设，ϕ为参数。

例3、求直线⎪⎩

⎪⎨⎧--=+=t y t x 531541，（t 为参数）被曲线)4(cos 2πθρ+=所截的弦长。

变式训练：已知直线⎩⎨⎧-=+=,4231:1t

y t x l （t 为参数）与直线4)4cos(:2=+πθρl 相交于点B ，又点A （1，2），求AB .

三、课堂练习

1、将下列参数方程化为普通方程

（1）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x （3）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)1(3)1(222t t y t t x 2、与普通方程012=-+y x 等价的参数方程为(t 为参数) ( )．

A.⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin

B. ⎩⎨⎧==t y t x 2sin cos

C. ⎩⎨⎧=-=t y t x 1

D.⎩⎨⎧-==t

y t x 2tan 1tan 3、方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2

1y t t x 表示的曲线（ ）

A 、一条直线

B 、两条射线

C 、一条线段

D 、抛物线的一部分

4、求直线2=+y x 被圆⎩⎨⎧==α

αsin 3cos 3y x ，（α为参数）截得的弦长。

四、归纳小结

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数

（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

2、化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

五、学后反思