小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大
（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时
1
发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来
3
的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之
比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之
比；
如图S i :S2 a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；
反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
【例1
】你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴
3个面积相等的三角形；
⑵
4
个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。

【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从 A 点向BC
边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是：三角形ABD的面积12高2 6高
三角形ABC的面积（12 4）高2 8高
三角形ADC的面积4高2 2高
4
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的-倍；
3
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。

【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。

A^vvi B
WN F D C
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。

【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是________ 平方厘米。

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也
等于平行四
边形面积的一半，为50 2 25平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12,则它内部阴影部分的面积是_______________ 。

【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为-20 12 120。

2
【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形
ABCD
边上的中点，
H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

连接BH、CH。

••• AE EB ,
--S X AEH S X BEH •
3个边就都被分成了相等的三段。

把H和这些分点以及正
9个形状各不相同的三角形。

这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。

阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

【巩固】
同理,
二S阴影
BFH S x CFH
知形
ABCD
,S VCGH =S VDGH ,
1
-56 28（平方厘米）
•
图中的
分的面积是
E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了
B
E
C
O
的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3
个阴影三角形的面积分别是ABH、
BCH和
CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。

正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

可
得:
:S EHB — S
AHB、
2
S FHB—S CHB、S DHG
2
1s
S DHC
，
2
而S ABCD S AHB S CHB S CHD36
即S EHB S BHF S DHG1
(S,AHB S CHB S CHD )
1
-36
18 ；
22
而S
EHB S BHF S DHG S阴影S EBF
，S EBF BE BF 1 1
(■
AB) i1(BC)136 4.5
2 2 228
所以阴影部分的面积是：S阴影18 S EBF 18 4.5 13.5
解法
「
二：特殊点法。

找H的特殊点，把H点与D点重
合，
O 【例5】G为各边中点, H为AD边上任意一点，问阴影部分面积【解析】BH、HC，如下图:
【例6】
这样阴影部分的面积就是DEF的面积,
S阴影S AB CD S AED S BEF S CFD36
根据鸟头定理,
1 1 1
36 -
2 2 2
则有:
1 丄
2 2
36 36 13.5。

长方形ABCD的面积为36，E、
多少？
G为各边中点, H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是长方形ABCD的面积为36 cm2，E、F、是
多少？
解法一：寻找可利用的条件，连接
那么图形就可变成右图:
【解析】（法1 ）特殊点法。

由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P 点与A 点重合，则阴
1 1
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 -和-，所以阴影部 4 6
2 1 1
分的面积为6 （- -）15平方厘米。

4 6 （法2）连接PA 、PC 。

由于 PAD 与PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积 1
之和等于正方形 ABCD 面积的丄，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD 面
4
1 2 1 1
积的-，所以阴影部分的面积为 6 （- -）15平方厘米。

6 4 6
【例7】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？
【解析】 那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD
1 1 面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 3 ，为36 3 -13.5。

8 4
8 4
8
8
（法2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图。

1 可得：S EHB S AHB 、
S FHB S CHB 、 S DHG S DHC ， 而 S
ABCD S AHB
S CHB
S CHD
36
，
2 2
2
即 S EHB S BHF S DHG 1 (S AHB S CHB
1 S CHD ) 36 18 ；
2
2
1 1 (
2 2
1
BC)
36 4.5。

8
而 S EHB S BHF S
DHG
S 阴影 S EBF ,S 1 EBF — BE BF 2
1 AB)(-
2
所以阴影部分的面积是： S 阴影18 S
EBF 18 4.5 13.5 。

【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分, 分
别与P 点连接，求阴影部分面积。

（法1）特殊点法。

由
于
H 为AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图）
【解析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积BC 12 2 BC 6
三角形EBC的面积BC 3 2 BC 1.5
所以三角形ABC的面积是三角形
EBC的面积的4倍.
【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【解析】VAEC、VAFC、VABF .
【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
【解析】3 个，VAEC、VBED、VDEC .
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?
连接CE ,T AE 3AB ,••• BE 2AB , S VBCE 2S VACB
【例10】（2008年四中考题）如右图，AD DB , AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是_________ 平方厘米.
【解析】V ABD 与V ACD , VABC 与V DBC , VABO 与V DCO .
【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1，其中AE 的
面积是多少？
3AB , BD 2BC，三角形BDE
【解析】
又.BD 2BC，…S V BDE 2 S VBCE 4S VABC 4 .
C
1
i 连接CD •根据题意可知，
DEF 的面积为 DAC 面积的-,DAC 的面积为 ABC 面积的-，所
3
2
1
•而 DEF 的面积为5平方厘米，所以 ABC 的面积为
6
1 5 -
30 （平方厘米）.
6
【巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果 AB 24厘米，BC 8厘米，求 三角形
ZCY 的面积.
三角形ADE 又是三角形 ADC 面积的一半12 2 6 .
【解析】 以DEF 的面积为ABC 面积的£ 3 【巩固】 D 是BC 的中点, AD 的长是AE 长的 3倍，EF 的长是BF
【解析】
V ABD , VABC 等高，所以面积的比为底的比，有 S VABD
B/ABC
BD BC
所以S VABD =
S V ABC
1
-180 90 （平方厘米）•同理有S VABE
2
AE AD
S VABD
3
90 30（平方厘米），
S VAFE
BE
S/ABE
30 22.5 （平方厘米）.即三角形 AEF
的面积是22.5平方厘米.
【解析】V Y 是
BD 的中点，Z 是DY 的中点，••• ZY 1
1 又 V ABCD 是长方形，• S VZCY _ S VDCB — 4 4 1 1
1 DB , S VZCY — S VDCB ,
2 2 4
1
—S YABCD
24
（平方厘米）.
2
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 24, D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点.求三角形 DEF 的面积.
【解析】三角形
ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半24 2 12 ,
B
图中三角形 ABC 的面积是180平方厘米,
三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积6 2 3
•
【巩固】如图，在三角形ABC中，BC 8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?
【解析】•/ F是AC的中点
S/ABC 2S VA BF
同理S/ABF 2S/BEF
•- S/BEF S/ABC 4 8 6 2 4 6 (平方厘米)•
点E、F和G分别是它们所在边的中点•如果长方形的面积是个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【例11】如图ABCD是个长方形, 36
【解
析】
【巩
固】
【解
析】
【例
12】
S矩形DEFC 2S矩形ABCD
如右图分割后可得，S/EFG 4 36 4 9 （平方单位）.
（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1 ,
那么，阴影部分的面积是多少？
连接BM，因为M是中点所以
1
3 12
M是AD边的中点,
△ABM的面积为-又因为
4
2AN
N在AB边上，且2AN BN .
BN ,所以△BDC的面积为
1 1
—，又因为△BDC面积为1,所以阴影部分的面积为:
1
1 —
12
_5
12
如图，大长方形由面积是形
组合而成•求阴影部分的面积.
12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方I2cm2
48cm2
12
则
1,
【解析】如图，将大长方形的长的长度设为AB
1 1 1
所以MN - —一，阴影部分面积为
3 4 12
(12
1, CD
4
1
24 36 48)-
2
12 36
1
24 48 3 '
12
24
5(cm2).
【例13】如图，三角形ABC中，DC 2BD , CE 的面积是多少？
3AE ,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC
【解析】T CE 3AE，二AC 4AE , S VADC 4S VADE；
又•/ DC 2BD ,••• BC 1.5DC , S VABC 1.5S/ADC 6S VADE 120 (平方厘米)•
【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89, 28, 26 •那么三角形DBE的面积是 ____________ •
【解析】根据题意可知，S A DC S A D E S D CE 89 28 117 , 所以BD: AD S BDC： S ADC 26:117 2:9 ,
那么S DBE : S ADE BD: AD2 : 9 ,
皿 2 2 2 7
故S DBE89 —(90 1) 一20 —19 一•
9 9 9 9
【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米, 它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.
因为VABD和VACD等底等高，所以有S VABD
S VACD .
【解析】如右图，作AB的平行线DE . 三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差
10 5 4（分米），梯形面积是：15
（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形
4 2 30（平方分米）.
DEC的高）是: 【例16】图中VAOB的面积为
2
15cm，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形
ABCD的面积.
【解析】在VABD中，因为S VAOB
2
15cm，且OB 3OD，所以有S/AOD S VAOB 3 5cm2.
D
E
三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等,
【例19】O是长方形ABCD内一点，已知积
是多少？
OBC的面积是5cm2, OAB的面积是
2 _ ,
2cm，求OBD的面【解析】
【例20】
由于ABCD是长方形，所以S AOD
则S BOC S OAB S OBD , 所以S OBD
1
S BOC —S ABCD，而S ABD
2
S BOC S OAB
1
—S ABCD，所以
2
5 2 3cm2.
S AOD S BOC S ABD ,如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方
2 2 2
从而S VOCD 15cm，在VBCD 中，S VBOC 3S VOCD 45cm，所以梯形面积：15 5 15 45 80( cm ).
【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处，VA BD与
积相等，从而VA DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三
角形VA DC •问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB
的延长线交于
具体做法：⑴
【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成
4
个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形
面积占长方形面积的50% 15% 35% .
已知黄色三角形面积是
21cm2，所以长方形面积等于21 35%
VABD 面
A点.
连接BD ;
过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.
连接AD，则VACD与四边形ABCD等积.
2
60 ( cm ).
DPO 与 CPO 面积相等（同底等高），所以有：
S PDO S BPD
,
【例22】 在长方形
ABCD 内部有一点0,形成等腰 AOB 的面积为16，等腰 DOC 的
面积占长方形面积
的18%，那么阴影 AOC 的面积是多少？
分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米?
【解析】根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边
形BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差. 如右上图，连接CP 、AP ・ 由于 S BCP S ADP S
ABP S BDP
1 、
S
ADP
S AB CD ，所以 S
BCP 2
S ABP S
BDP
・
1
1
而S BCP
S
2
2
,所以 S
BCFE
S ABHG
2 S BCP S ABP 2S BDP 16
（平方分米）・
【例21】
如右图，正方形 ABCD 的面积是20,
【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ・如下图所示,
可得PO//DC ，所以
S BPO S CPO S BPO
、 1
因为S
S AB CD
4
DPO 与 CPO 面积相等（同底等高），所以有:
S PDO S BPD
,
1 -20 5，所以 S BPD 15 5
10 ・
4
【解析】
可得PO//DC ，所以
S BPO S CPO S BPO
、 1 因为S
S AB CD
4
3，所以S BPD 5 3 2・
求阴影 BPD 的面积.
【巩
并连接PO ・如右上图所示, 连接AC 交BD 于O 点, 5，求阴影 BPD 的面积.
【解析】如果可以求出 ABG 与 CDG 的面积之和与梯形 ABCD 面积的比，那么就可以知道
ADG 的面积占
梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形
ABCD 的面积.
如图，连接CE 、DE •则S AEG S DEG , S BEG S CEG ，于是 S ABG S CDG S CDE .
要求 CDE 与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形 ABCD 绕F 点旋转180，变成一个平行四边形.如 下图所示：
1
半.（也可以根据
2
1
-S ABCD 得来
）
2
17 3
1 一一一，所以梯形ABCD 的面积是
2 20 20
3 2
15
100cm .
20
小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半， 这是一个很有用的结论. 本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则CDE
【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去
DOC 的面积（长方形面积的 18%），再减去 AOD 的面积，即
可求出 AOC 的面积.
1 1
根据模型可知 S COD S AOB —S AB CD ，所以 S AB CD 16 （— 18%）
2 2 又AOD 与BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半,
1
形面积的丄，
4 50 , 所以
AOD 的面积等于长方
1
所以 S AOC S ACD S AOD S COD —S ABCD 25%S ABCD 18%S ABCD
2
25 12.5 3.5.
【例23】
（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形
ABCD 中，E 、F
分别是其两腰 AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知 ADG 的面积为15cm 2，而 BCG 的
面积恰好是梯形 ABCD 面积的—，则梯形ABCD 的面积是
20
2
cm
1 1
1 S AED S AFD — S ADC , S BEC S AED — S ABC — S ADC
2 2 2
那么，根据题意可知 ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的
【例25】
如图，正方形 ABCD 的边长为6, AE 1.5, CF
2.长方形EFGH 的面积为
的面积占梯形面积的一半，那么
ADG 与 BCG 合起来占一半.
【例24】
如图所示，四边形 ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行
四边形面积的一半.
证明：连接BE •（我们通过△ ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起. ）
1
•••在平行四边形 ABCD 中，S A ABE - AB AB 边上的高，
2
1
ABE — S W ABCD -
2
1
同理，S A ABE -S YAEGF ,•平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等.
2
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
（长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接 AG •（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起
1
•••在正方形ABCD 中，
S
A
ABG
- AB AB 边上的高，
2
••（△ ABG 1 S W ABCD
（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
2
同理, S A ABG —S EFGB
•
•正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4(厘米).
F
又 S
^ ACF
S ^ ACE S ^ AEF
, & ABF
S ^ BEF S ^ AEF
,
-- S ^ ACE S ^ BEF
，即 S
^ BEF
S ^ ADE
1 .
【例27】 图中两个正方形的边长分别是 6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.
【例28】 如图，有三个正方形的顶点
厘米，求阴影部分的面积.
D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为10
【解析】连接DE , DF ,则长方形EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍.
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
DEF
6 6 1.5 6 2
2 6 2
4.5 4
2 16.5,所以长方形 EFGH 面积为 33.
【例26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ,如果VADE 的面积为4平方厘米.求三角形 CDF 的
面积.
--S VADE S
VACE
；
S
VCDF 又
V AC 与EF 平行，••• 二 S VADE S VCDF 4 （平方厘米）.
相等）和等量代换的思想•连接
AC .
v AB //CD ,• S
^ ADE
S ^ ACE
冋理 AD // BC ，— S
^ ACF
S ^ ABF
【解析】 连结AF 、CE . &ACF
；
S vACE S vACF .
【巩固】
如右图，在平行四边形 的面积.
ABCD 中，直线CF 交AB 于E , 交DA 延长线于F ，若S ^ADE 1，求A BEF
【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等
（或夹在一组平行线之间的三角形面积
【解
【巩固】
【解析】
别相等，所以
ABF 与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与
正方形ABCD 和正方形 方法一：三角形 BEF 的面积 BE EF 2 , ABH 的面积相等，为6平方厘米.
【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.
如右图所示，连接 FK 、GE 、BD ，则BD//GE//FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可
2
得S DGE S BGE ，S KGE S FGE ，所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为10 100平
方厘米.
【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连接
AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，
高都等于大正
方形的边长，所以面积相等•因为三角形
AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉
这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等.根 据等量代换，求三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于4 4 2 8.
【巩固】（2008年西城实验考题）
如图，
ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为
6平方厘米，图 中阴影部分的面积为 ____________ .
【巩固】
右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 【解析】如图，连接AF ,比较
ABF 与ADF ，由于AB AD , FG FE ，即 ABF 与ADF 的底与高分
D C D C
F
F
则图中阴影面积为多少平方厘米?
CEFG ,且正方形
梯形EFDC的面积（EF CD）CE 2 BE EF 2三角形BEF的面积，
而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，
进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积10 10 2 50（平方厘
米）•
方法二：连接CF，那么CF平行BD ,
所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积50（平方厘米）•
【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.
【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线（或者说一个等腰直角三角形的斜边），那么容易想到DF与
CI是平行的•所以可以连接CI、CF，如上图.
1 由于DF与CI平行，所以DFI的面积与DFC的面积相等•而DFC的面积为10 4 - 20，所
2 以DFI
的面积也为20.
【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H ,已知CH 等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.
【解析】连接AC、GF ,由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形.
1 由于HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的-，根据梯形蝴蝶
2
定理或相似三角形性质，可知FHG的面积为12平方厘米，AHF的面积为6平方厘米，AHC的面积为3平方厘米.
那么正方形CGEF的面积为 6 12 2 36平方厘米，所以其边长为6厘米.
又AFC的面积为6 3 9平方厘米，所以AD 9 2 6 3（厘米），即正方形ABCD的边长为3厘
2 1
米.那么，五边形ABGEF的面积为：36 9 3 - 49.5（平方厘米）.
2
【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF FC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的
面积.
【解析】方法一：连接对角线AE .
••• ADEF是长方形
DB S ADB3FC S ACF 1
DE S ADE8EF S AEF 2
BE DE DB 5 CE FE CF 1
DE DE8，EF EF 2
1 515
-S BEC16
2 822
-S ABC S XADEF S o°13
ADB S ACF S CBE —•2
方法二:连接BF，由图知S A ABF 16 2 8，所以S^ BEF168 35，又由S A ACF 4, 恰好是
△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此S
A BCE S
A BCF 5 2 2・5,所以
S A ABC
16 34 2.5 6.5
ABCD中，BE EC , CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.
【解析】方法一：因为BE EC , CF 2FD ，所以S^ABE — S^边形ABCD , S A ADF —乐边形ABCD •
4 6
因为AD 2BE，所以AG 2GE ,
1 1
所以S A BGE ABE S^边形ABCD ,
3 12
2 1
S A ABG ' ABCD .
3 6
【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC .所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE
1 与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形ADCE的面积的丄，所以
2 阴影部分的面积乙的面积2 •设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积
为5份，从而阴影部分的面积32 5 2 12.8（平方厘米）.
如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？
【例31】
C
--S ADE S AEF S xADEF
2
【例
32】
同理可得，
1 1
S^ ADH S^边形ABCD , S A DHF S四边形
ABCD
.
8 24
因为S^ BCD
1 111
四边形ABCD，所以空白部分的面积（丄丄丄
2 2 12 24
1
6
)S四边形ABCD
8
S^边形ABCD ,
3
1
所以阴影部分的面积是-S四边形ABCD •
3
1 2
-:21:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2 •
3 3
【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E 是AC边上的一点，且AE 3EC，O为DC与BE的交点.若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米•且b a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是________________平方厘米.
平方厘米.梯形ABCD的面积是__________ 平方厘米.
【解析】根据题意可知AD:BE: EC 8:6:9，则8, S ABE - S ABD
S ABE 6 4
而S ABD S ABE S AOD S BOE
1
10平方厘米，所以-S ABD 10,则S ABD 40平方厘米
4
又S BCD9 615
所以S
15
BCD40 75平方厘米.
S ABD88，8
所以S弟
形
7ABCD S ABD S BCD
40 75 115（平方厘米）.
【解析】—S ABC S BCD1
b S BCO , S ABC S BCE
、1
a S ,所以—S
1
-S ABC b a 2.5 (平方厘2424
米）.所以S ABC 2.5 4 10（平方厘米）.
【例
34】
2:3 ,且BOE的面积比AOD的面积小10如图，在梯形ABCD 中，AD:BE 4:3 , BE :EC
与BD相交于0点.已知三角形
梯形ABCD的面积.
【巩固】（第五届《小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE
2
BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC - BC .求
5
【解析】 连接AC •根据差不变原理可知三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大4平方米，而三角形 ABD 与三
【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母.
有 ABC 为直角，而 CED ABC ，所以 CED 也为直角•而CE CB 5 . VADE 与VCED 同高， 所以面积比为底的比，及
匹=AE = ^ = 8，设VADE
的面积为“
8” ,则VCED 的面积为 SV C ED EC 5 5
“ 5”.VCED 是由VCDB 折叠而成，所以有VCED 、VCDB 面积相等，VABC 是由VADE 、VCED 、VCDB
1 5
组成，所以SV ABC = “ 8” + “ 5” + “ 5” = “ 18”对应为-5 12 30 ,所以“ 1 ”份对应为-，那么
2 3
5 1 1
△\DE 的面积为8 5
= 13丄平方厘米•即阴影部分的面积为 131
平方厘米.
3 3 3
角形ACD 面积相等，因此也与三角形
平方米.
ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形ACE 的大4
2 2 2
但EC -BC ，所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的亠-，从而三角形
5 5 2 3 2 2
4 1 12 （平方米），梯形ABCD 的面积为：12 1 2 28（平方米）•
3 3
ABE 的面积是
【例35】
如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是
阴影部分的面积是多少？
13 , 35 , 49 •那么图中
【解析】三角形ABC 的面积 三角形CDE 的面积（13 35 49）长方形面积
1
形ABC 的面积 三角形CDE 的面积 1
长方形面积，所以可得：
2
阴影部分面积 13 35 49 97 •
阴影部分面积；又因为三角
【例36】
图中是一个各条边分别为 5厘米、
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分
12厘米、13厘米的直角三角形.
将它的短直角边对折到斜边
（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米?
【例37】
如图，长方形 多少平方厘米？
ABCD 的面积是2平方厘米, EC 2DE , F 是DG 的中点.阴影部分的面积是
C 5 B
1
y 平方厘米，那么 VDEF 的面积为？ y 平方厘米.
1 1
SV BCD 2x 2y 1, SV BDE =x+ y=l
3
3 1
-.所以有 3 x y 0.5 ①
3x y 1
②.比较②、①式，②式左边比①
式左边多 2x ，②式右边比①式右边大
0.5，有 2x
0.5，即 x 0.25, y 0.25 •而阴影部分面积为
2 5 5 十、—r y y 0.25 平万厘米.
3 3 12
【例38】 （2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF ,交叉处为D ,张大
伯常走这两条小路，他知道 DF DC ，且 AD 2DE .则两块地 ACF 和CFB 的面积比是 ________________ .
【解析】方法一：连接BD .
【解析】 如下图，连接FC , VDBF 、VBFG 的面积相等，设为
x 平方厘米；VFGC 、VDFC 的面积相等，设为
设A CED 的面积为1, 即△ BDF 的面积为x
△ BED 的面积x , 则根据题上说给出的条件,
由DF DC 得 S
^ BDC
S ^ BDF
,
1、 & ADC
S ^ ADF
;
又有AD 2DE , S ^ ADC S ^ ADF 2S A CDE
ABD
2S ^ BDE 2x , 而 S ^ABD
x 1 2 2x ;
得 x 3，所以 S
^ ACF : S ^CFB
(2
2):(1 3 4) 1:2 .
方法二：连接BD ，设S ^ CED 1（份），则ACD
S ^ ADF
2 ,设 BED
x BFD
x y 则有
1 y 2x y 2，
"，口 x
解得 y ，，所以 S ^ ACF : S ^CFB
(2
2) : (4 3 4
1) 1:
过F 点作FG //BC 交AE 于G 点，由相似得CD : DF ED :DG 1:1,又因为AD 2DE ，所 以AG:GE
AF: FB 1:2，所以两块田地 ACF 和CFB 的面积比 AF : FB 1:2
方法三: 【例39】
（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级
2试）如图，BC 45 , AC 21, ABC 被分
成9个面积相等的小三角形，那么 DI FK ___________ .
B
B
B。