2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷

2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程211log 1log 2

x x ++

=的解是 ． 2. 已知函数11()13x

f x -=

，则1(4)f -= ．

3. 若实数,x y 满足1xy =，则2

24y x +的最小值为 ．

4. 设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ．

5. 已知,x R ∈

+的值为 ．

6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 ．

7. 在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，则过点A 、M 、N 的平面截正方体的截面面积为______． 8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1

2lim

(32)n

n n nS n S →+∞+=+ ．

9. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，

则等级为级需要的天数50__________．

10.若关于x 的方程sin 2cos 2x x k +=在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则k 的取值

范围为 . 11.已知直线:l ρ=

交极轴于A 点，过极点O 作的垂线，垂足为C ，现将

线段CA 绕极点O 旋转

2

π

，则在旋转过程中线段CA 所扫过的面积为________．

12.给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=

，则ABC ∆面积的

最大值为 ．

13. 对于非空实数集A ，定义{}

,A z x A z x *=∈≥对任意．设非空实数集

(],1C D ⊂⊆-∞≠．现给出以下命题：

（1）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有;D C **⊆ （2）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有C D *

≠∅ ； （3）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有C D *

=∅ ；

（4）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有

a b D *+∈．

以上命题正确的是 ． 14. 已知当12x <时，有21

124(2)12n x x x x

=-+-+-++ ，根据以上信息，若对任意1

2x <

,都有20123,(1)(12)

n n x a a x a x a x x x =+++++-+ 则10a = ． 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分． 15.集合{}20,()()01x A x

B x x a x b x ⎧-⎫

=<=--<⎨⎬+⎩⎭

，若“2a =-”是“A B ≠∅I ”

的充分条件，则b 的取值范围是（ ）

（A ）1b <- （B ）1b >- （C ）1b ≥- （D ）12b -<< 16.函数1211111

(),(),,(),,()()

n n f x f x f x x x f x x f x +=

==++ 则函数2014()f x 是（ ）

（A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 17.若,,22ππαβ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣

⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) （A ）αβ> （B ）0αβ+> （C ）αβ< （D ）2

2

αβ> 18.设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1

sin 2

ABC ∠=，则点A 的轨迹为（ ）

（A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能 三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19.(本题满分12分)

如图,设S ABCD -是一个高为3的四棱锥,底面ABCD 是边长为2的正方形,顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点．试求直线AK 与平面SBC 所成角的大小．

20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）

对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数2

()24(,)f x ax bx a a b R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．

21.（本题满分14分，第一小题满分4分，第二小题满分10分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布律和数学期望．

22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）

已知抛物线2

4y x =．

(1) 若圆心在抛物线2

4y x =上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线10x +=相切，求所有的圆都经过的定点坐标；

(2) 抛物线2

4y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若

4FM FN =-

,求直线MN 的斜率；

(3)若过x 正半轴上(,0)Q t 点的直线与该抛物线交于,M N 两点,P 为抛物线上异于

,M N 的任意一点,记,,PM QP PN 连线的斜率为,,,PM QP PN k k k 试求满足,,PM QP PN k k k 成等

差数列的充要条件．