矩阵三角分解法
3.2矩阵三角分解,平方根
2014-12-29
北京信息科技大学
4
2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 例如A= 4 1 2 1 0 5 2 3 0 5 / 3
这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般， 若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D， 则
xn yn / unn xi ( yi i n 1,
k i 1
u
n
ik
xk ) / uii
, 2,1
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北京信息科技大学
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例 用杜利特尔分解法求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
， 则矩 , n 1 ）
U 为上三角阵。 其中 L 为单位下三角阵，
其中
A LU
1 l21 1 L l31 l32 l n1 ln 2
1 ln ,n 1
u11 u12 u22 ，U 1
u1n u2 n unn
矩阵三角分解法
矩阵直接三角分解法是高斯消去法的变形方法。 高斯消去法 有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系 数矩阵的化简。 分解原理 1．概述 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。当用矩阵描 述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘 积，即 LU 分解。因此，高斯消去法与矩阵的 LU 分解是一致的。
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紧凑格式
2 2 3 A 4 7 7 5 2 4 (2) 2 (4) 2 (-2) -1 (2) 2 (7) 3 (4) 2 (3) 3 (7) 1 (5) 6
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
数值计算_矩阵的三角分解算法
数值计算_矩阵的三角分解算法矩阵的三角分解是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法。
三角分解在数学和计算机科学中都有广泛的应用，特别是在线性代数、数值计算和优化问题中。
在本篇文章中，我们将介绍几种常见的矩阵三角分解算法。
一、LU分解LU分解是矩阵三角分解中最常见的一种方法。
它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得原始矩阵A可以表示为A=LU。
其中，L矩阵的主对角线元素全为1，而U矩阵的主对角线元素是A矩阵的主对角线元素。
实际上，LU分解可以看作是高斯消元法的矩阵形式。
在进行LU分解时，我们可以通过对原始矩阵A进行一系列的行变换来得到上三角矩阵U。
同时，我们可以记录每一次行变换的乘积以及主元元素的倒数，从而得到下三角矩阵L。
因此，LU分解可以通过高斯消元法来直接实现。
二、Cholesky分解Cholesky分解是一种仅适用于对称正定矩阵的三角分解方法。
它将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解非常有效率，尤其适用于解线性方程组和进行矩阵的逆运算。
由于分解结果是一个下三角矩阵，因此Cholesky分解可以减少计算量并提高计算速度。
三、QR分解QR分解是一种将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的方法，即A=QR。
其中，Q矩阵是正交矩阵，其列向量是正交的，而R矩阵是上三角矩阵。
QR分解可以看作是对矩阵A进行一系列的正交变换，使其变为上三角形式。
其中，每一次正交变换可以通过Givens旋转来实现，即通过矩阵的乘积来实现矩阵的旋转。
QR分解在多元线性回归分析、奇异值分解和特征值分解等领域有广泛的应用。
四、LUP分解LUP分解是LU分解的一个变种，并增加了行交换的步骤。
LUP分解将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L、一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
其中，L和U的构造方式与LU分解相同，而置换矩阵P是一个与单位矩阵相似的矩阵，用于记录行交换的信息。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法，是一种重要的矩阵分解方法之一。
它可以将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，这样的分解在许多数值计算和线性代数问题中都有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下矩阵的基本概念。
矩阵是由数个数按照矩阵的规则排列形成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性变换，用于解线性方程组，并在数据科学、图像处理等领域中有广泛应用。
矩阵由m行和n列组成，形式为m×n.。
在进行矩阵运算时，我们经常需要对矩阵进行分解，以便更好的进行计算和处理。
接下来，让我们具体了解一下矩阵的三角分解法。
矩阵的三角分解法，是一种将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
具体来说，对于一个n×n的矩阵A，可以找到一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，使得A=LU。
其中，U的主对角线元素全为1，而L的副对角线元素全为0。
这样的分解称为LU分解。
矩阵的三角分解法具有以下的重要性和指导意义。
首先，矩阵的三角分解法可以简化矩阵计算。
在进行矩阵乘法、求逆、解线性方程组等计算时，三角分解法能够将原始矩阵转化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式，从而简化了计算过程。
这极大地提高了计算的效率，并降低了计算的复杂性。
其次，矩阵的三角分解法对于解线性方程组非常有用。
对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将矩阵A进行三角分解为LU形式，然后通过前代和回代的方法，可以快速地求解出x的值。
这种方法称为三角分解解法，它在求解大型线性方程组时具有较高的效率和稳定性。
此外，矩阵的三角分解法在数学理论研究中也发挥着重要作用。
矩阵的三角分解法能够将一个矩阵A分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式，这种分解方式是独一无二的。
同时，矩阵的三角分解法还能够帮助我们理解和证明线性代数的一些基本定理，如矩阵的秩、可逆性等。
它为我们研究和深入理解矩阵及其性质提供了重要的工具和思路。
综上所述，矩阵的三角分解法是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式。
矩阵三角分解
矩阵三角分解1. 什么是矩阵三角分解矩阵三角分解是将矩阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的过程。
这种分解形式可以用于简化矩阵的乘法计算，并且对于求解线性方程组等问题也有很大的帮助。
2. 矩阵三角分解的应用矩阵三角分解在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。
其中包括求解线性方程组、矩阵求逆、矩阵特征值计算等。
在这些应用中，矩阵三角分解能够有效地简化计算，并且提高计算速度和精度。
3. 矩阵三角分解的实现方法矩阵三角分解的实现可以采用多种方法，例如高斯消元法、Crout分解法、Cholesky分解法等。
其中，高斯消元法是最常用的方法之一，其基本思想是通过初等行变换将矩阵转化为上三角矩阵。
而Crout分解法和Cholesky分解法则是把矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵。
4. 矩阵三角分解的优势相对于直接计算矩阵乘法的方法，矩阵三角分解具有一定的优势。
首先，矩阵三角分解能够避免矩阵乘法中的数值溢出问题，提高计算的稳定性和精度。
其次，矩阵三角分解的计算量通常比直接计算矩阵乘法要少，能够提高计算速度和效率。
5. 矩阵三角分解在深度学习中的应用矩阵三角分解在深度学习中也有广泛应用。
例如，在神经网络中，卷积层的计算可以通过矩阵相乘来实现。
因此，将卷积层中的卷积核分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，就能够简化卷积层的计算，并且减少计算量和存储空间。
这种方法被称为低秩近似技术，能够提高卷积层的计算速度和效率。
6. 总结矩阵三角分解是将矩阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的过程，其应用广泛且计算效率高。
在科学计算和工程应用中具有广泛的应用，同时在深度学习中也有着重要的作用。
矩阵的三角分解方法
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
矩阵三角分解法
a11 a11 a11 1
a21
a22
a2n
l21
1
an1
an2
ann
ln1
ln2
1
u11 u12 u1n
u22
u
2n
u
nn
由矩阵乘法规则 a1i u1i
ai1 li1u11
i 1,2,, n
i 2,3,, n
由此可得U的第1行元素和L的第1列元素
求解 Ux=y , 即计算：
xn
yn u nn
yi
n
uik xk
x
i
k i1
uii
(i n 1,,2,1)
显然, 当 ukk 0(k 1,2,, n) 时, 解 Ax=b直接三角分解法计算才能完成。设A 为非奇异矩阵, 当 ukk 0 时计算将中断或者
当 ukk 绝对值很小时，按分解公式计算可
det(A1 )
a (1) 11
0
det(Ai )
a (1) 11
a
(2) 22
ai(ii
)
0(i
2,3,, k)
其中
a11 a1i
A1
(a11 ), Ai
（A的主子阵）
ai1 aii
反之,可用归纳法证明,如果A的顺序主子式
det(Ai )
a (1) 11
a (2) 22
ai(ii )
下三角阵,只需将 mik改为 mik (i k 1, k 2,, n) ,
就得到 Lk1 。即
1
1
Lk1
1
mk 1,k
1
mnk
1
mi1= a(1) i1/ a(1) 11
矩阵论4-1.三角分解
~ 思 L 和 U 的计算公式。 的计算公式。 路 通过比较法直接导出
a11 a12 a a 21 22 A= M M an1 an2
L a1n 1 u11 u12 L a2n l21 1 u22 = O M M M O L ann ln1 L L 1
其中, 其中
D为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 分解 定理 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为 矩阵 可唯一的分解为: 正定的
A = LL
H
其中, 为正线下三角,即对角线的元素均为正的 其中 L 为正线下三角 即对角线的元素均为正的
Department of Mathematics
∃L∈C
n×n
U ∈C
n× n
可以作三角分解 LU 称 A可以作三角分解
u11 u12 L u1n l11 u22 L u2n l21 l22 U= L= O M M M O L unn ln1 ln2 L lnn
由此: 由此 l11 = 1, l 21 = 1, l 31 = 2, l 41 = 1
l11u12 = 0 ⇒ u12 = 0 , u13 = 2, u14 = 1 l 21 u12 + l 22 = 2 ⇒ l 22 = 2 − l 21u12 = 2
4 − u13 l 21 u23 = =1 l 22
1 u12 1 ~ U=
L u1n L u2n O M L 1
Department of Mathematics
~ 则 A = L U 为 Crout 分解 ~ 而 A = L U 为 Doolittle 分解
列主元三角分解法分解三阶矩阵
列主元三角分解法分解三阶矩阵1.引言1.1 概述列主元三角分解法是一种经典的数值计算方法，用于将一个三阶矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
这种分解方法可以帮助我们解决线性方程组和求逆矩阵等数值计算问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解线性方程组的情况。
而列主元三角分解法的主要作用就是将线性方程组的求解转化为两个步骤：矩阵分解和回代求解。
通过将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式，我们可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。
列主元三角分解法的步骤包括：选取列主元、消元和回代。
其中，选取列主元的过程是为了减小计算误差，保证数值计算的稳定性。
消元过程则是通过逐行操作，将原始矩阵逐步转化为下三角和上三角矩阵的乘积形式。
回代过程是求解三角方程组，得到线性方程组的解。
在本篇文章中，我们将详细介绍列主元三角分解法的原理和步骤。
我们将首先讲解列主元三角分解法的原理，包括选取列主元的方法和消元过程的具体操作。
然后，我们将详细介绍回代过程，以及列主元三角分解法的优点和应用。
通过本文的学习，读者将能够了解到列主元三角分解法的基本原理和操作步骤，掌握如何应用列主元三角分解法求解线性方程组和求逆矩阵。
同时，读者还能够了解到列主元三角分解法在实际问题中的重要性和广泛应用，为进一步深入学习数值计算提供基础知识和思路。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行阐述列主元三角分解法分解三阶矩阵的原理、步骤以及应用。
第一部分，引言，将对列主元三角分解法进行概述。
首先介绍三阶矩阵的基本概念和性质，然后引出列主元三角分解法的出发点和主要思想。
通过对该方法的简要介绍，读者将能够掌握本文所要介绍的内容。
第二部分，正文，将详细介绍列主元三角分解法的原理和步骤。
首先，我们将解释列主元三角分解法的原理，包括如何选择主元元素和使用主元消去的思想。
接着，我们将逐步阐述列主元三角分解法的具体步骤，包括将矩阵转化为上三角矩阵和求解最终的解向量。
5.2 矩阵的三角分解法
ln 2
1 1
1
L2 A , b
( 2) / a22 (i 3,4,, n) ( 2) ( 2) (3) (3)
L2 L1 A(1) , b (1)
A A
,b
(3)
, b (3)
第k次消元相当于用初等矩阵：
l32 (a32 l31u12 ) / u22 (4 (1) 2) / 3 2 第3框 : u33 a33 (l31u13 l32u23 ) 5 ((1) 3 2 1) 6
所以：
1 A 2 1
0 1 2
0 2 0 0 0 1
2 3 0
3 1 6
根据式（ 5-13）的特点，矩阵的三角分解可按 三角分解的紧凑格式 以下格式及顺序进行。这种格式既便于记忆，又 便于计算，称为紧凑格式。见下表5-1：
表5-1 (a11)u11 (a21)l21 (a12)u12 (a22)u22 (a13)u13 (a23)u23 …… …… (a1n)u1n (a2n)u2n
骤见下屏：
对A进行LU分解的具体步骤
1. 计算U的第1行，L的第1列，亦称为计算 第1框； 2. 计算U的第r 行，L的第r 列（r =2,…,n）， 即第r 框 ：
u rj arj lir (air
l
k 1 r 1 k 1
r 1
rk u kj ( j
r , r 1,, n) (i r 1,, n)
…… ……
……
(a31)l31 …
(an1)ln1
(a32)l32
… (an2)ln2
矩阵三角分解法
矩阵三角分解法矩阵三角分解法是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解方法在数值计算、线性代数、统计学等领域都有广泛的应用。
矩阵三角分解法的基本思想是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解方法可以用来求解线性方程组、矩阵求逆、特征值和特征向量等问题。
在实际应用中，矩阵三角分解法通常比直接求解更加高效和稳定。
矩阵三角分解法的具体实现方法有很多种，其中最常用的是高斯消元法和LU分解法。
高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它通过消元和回代的过程将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵。
LU分解法是一种更加通用的矩阵三角分解方法，它可以将任意一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在高斯消元法中，我们首先将线性方程组的系数矩阵进行初等变换，使其变为一个上三角矩阵。
这个过程可以通过矩阵的初等行变换来实现，例如将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍等。
然后，我们可以通过回代的过程求解出线性方程组的解。
在LU分解法中，我们首先将矩阵A进行初等变换，使其变为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
这个过程可以通过矩阵的初等行变换来实现，例如将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍等。
然后，我们可以将线性方程组Ax=b转化为LUx=b，再通过回代的过程求解出线性方程组的解。
矩阵三角分解法的优点在于它可以将一个矩阵分解为两个三角矩阵的乘积，从而简化了计算过程。
这种分解方法可以大大提高计算效率和数值稳定性，特别是在求解大规模线性方程组时更加明显。
此外，矩阵三角分解法还可以用来求解矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的特征值和特征向量等问题。
矩阵三角分解法是一种非常重要的矩阵分解方法，它在数值计算、线性代数、统计学等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择不同的矩阵三角分解方法，以提高计算效率和数值稳定性。
矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法算法将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。
具体算法：○1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j对i=2,3,…,n 计算L i1=a i1/a 11○2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算U kj=a kj -∑LkqUqj k−1q=1b.对i=k+1，k+2，…，n 计算l ik =(a ik -)∑LiqUqk k−1q=1/u kk○3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k -∑LkqUq k−1q=1○4X n =y n /U nn ,对k=n -1，n -2，…2,1计算 X k =(y k -∑UkqXq n q=k+1/U kk注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A|b]=[ a11 a12…a1n a1,n +1a21 a22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1]施行算法○2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。
程序与实例求方程组Ax=bA=[1 2 −12 85 4 7 −2−3 7 9 56 −12 −8 3]，b=[2741149]程序#include<stdio.h>void main(){float x[4];int i;float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49};void DirectLU(float*,int,float[]);DirectLU(a[0],4,x);for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}void DirectLU(float *u,int n,float x[]){int i,r,k;for(r=0;r<=n-1;r++){for(i=r;i<=n;i++)for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i));for(i=r+1;i<=n-1;i++){for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r));*(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r);}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(r=n-1;r>=i+1;r--)*(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r];x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i));}}运行结果。
第6章3-4节矩阵三角分解法 与范数.
例5
用Doolittle三角分解法解
1 2 3 2 5 1 3 x1 14 2 x2 18 . 5 x3 20
r 1
解
u ri ari lrk u ki
r 1 k 1
(i r , r 1, , n);
有
ari lrk u ki lrk u ki u ri .
k 1 k 1 n r 1
故
3
u11 1
r 1 u12 u 1n u ri ari l (i r , r 1, , n), rk u ki u 22 u 21 n k . r 1 n u nn air lik u lik u kr lir u rr . kr k 1 k 1 r 1
②
u ri ari lrk u ki
k 1r 1(i r, r 1, , n);4
③
lir (air lik ukr ) / urr
k 1
r 1
(i r 1,, n;且r n);
求解 Ly b, Ux y的计算公式：
④
从而
1 A 2 3 0 1 5 0 1 0 0 0 1 2 1 0 3 4 LU . 24
因为
L y (14,18,20) T ,
得
y (14,10,72) T ,
求解
x (1,2,3) T . U x (14,10,72) T , 得 y1 b1 ; （4.4） i1 yi bi lik yk (i 2,3,, n);
高斯变换与矩阵三角分解
通过一系列行变换，将矩阵变为阶梯 形矩阵，再通过一系列列变换，将阶 梯形矩阵变为上三角矩阵。
高斯变换的性质
唯一性
给定一个矩阵，其高斯变换是唯一的。
可逆性
高斯变换具有可逆性，即可以通过一系列行变换和列变换，将上三角矩阵变回 原矩阵。
高斯变换的应用
线性方程组的求解
通过高斯变换，可以将一个线性方程组化为易于求解的形式 。
目的和意义
通过高斯变换和矩阵三角分解，可以解决许多实际问题，如信号处理、图像处理 、控制系统等领域中的问题。
高斯变换和矩阵三角分解在科学研究和工程实践中具有广泛的应用前景，对于推 动相关领域的发展具有重要意义。
02
高斯变换
高斯变换的定义
定义
高斯变换是指将一个矩阵通过一系列 行变换和列变换，化为上三角矩阵的 过程。
高斯变换与矩阵三角分解
• 引言 • 高斯变换 • 矩阵三角分解 • 高斯变换与矩阵三角分解的联系 • 实例分析 • 结论
01
引言
背景介绍
高斯变换是数学和工程领域中常用的 一种变换方法，它能够将一个复杂的 数学问题简化为更易于处理的形式。
矩阵三角分解是一种重要的线性代数 工具，它能够将一个复杂的矩阵分解 为一个简单的三角矩阵和若干个单位 矩阵的乘积，从而简化矩阵运算。
06
结论
研究成果总结
01
高斯变换在矩阵三角分解中具有高效性和稳定性，能够快速求解大规 模矩阵问题。
02
矩阵三角分解在高斯变换中的应用，为解决线性方程组、特征值问题 等提供了有效途径。
03
高斯变换与矩阵三角分解的结合，能够提高算法的收敛速度和精度， 减少计算复杂度。
04
高斯变换在矩阵三角分解中的实现，具有广泛的应用前景，可应用于 科学计算、工程技术和金融等领域。
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det( A) 0
determinantal
det( A) |A|
行列式的记号
则方程组 Ax b 有唯一解
若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:
A ( A, b) ( A(1) , b(1) )
( A(2) , b(2) )
经过n-1次 ( A(n) , b(n) )
因此可按下列方法存储数据:
arj urj ( j r), r 1,2, , n air lir (i r 1), r 1,2, , n 1
同样,解三角形方程组 Ly b时,有如下特点： 求出y1后b1的存储位置即不再需要
求出yi后bi (i 2)的存储位置即不再需要 因此yi的存储可以使用 bi (i 1)空出的存储位置
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T 0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
解Ux y,得
x1 x2 x3 x4 T 1 2 3 4T
xn
yn unn
n
yr urj x j
xr
jr1
urr
a21 a31 a41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
b2
b3 b4
存储单元(位置)
u11 u12 u13 u14 y1
u11 u12 u13 u14 y1
r
1
l21 l31 l41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
上述方法称为直接三角形分解法
§2 Matrix Factorization – Doolittle
➢ 道立特分解法 /* Doolittle Factorization */： —— LU 分解的紧凑格式 /* compact form */
思路反复通计过算比,较法直接导出L 和 U 的计算公式。
b2 b3 b4
r
2
l21 l31 l41
u22 l32 l42
u23 a33 a43
u24 a34 a44
y2
b3 b4
u11 u12 u13 u14
r
3
l21 l31 l41
u22 l32 l42
u23 u33 l43
u24 u34 a44
y1 y2 y, i 1,2, , n
直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:
a11 a12 a13 a14 a15 a11 a12 a13 a14 b1
a21
a31 a41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
a25
a35 a45
Doolittle法在计算机上实现是比较容易的
但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:
A,b, x, L,U , y都需要单独的存储空间
而从lij , uij的计算过程 (1) ~ (4)式可知
求出U的第一行 u1 j后a1 j ( j 1)的存储位置即不再需要
求出L的第一列 li1后ai1(i 2)的存储位置即不再需要 求出U的第r行urj后arj ( j r)的存储位置即不再需要 求出L的第r列lir后air (i r 1)的存储位置即不再需要
3 2 1
4 2
12 3
13 4
5
2
2
2
14
9
13
7
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
0 u22 u23 0 1 l32 0 0 u33
u24 0 l42 T 0 u34 0
11 12 8.5
r 1
urj arj lrkukj k 1
1 3 /11 6 /11T
r 1
air likukr
0
3/11
lir
2 /11
b
上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法
例1. 用Doolittle法解方程组
2 3
1
4
10 4 2 14
0 12
3 9
3 13
4
13
x1 x2
x3 x4
10 5
2
7
解: 由Doolittle分解
u11 u12 u13 u14 2 10 0 3 1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T
固定 i :
i 1
对 j = i, i+1, …, n 有 aij lik ukj uij
k 1
i 1
uij aij lik ukj
a
k 1
lii = 1
固定 j ，对 i = j, j+1, …, n 有
j 1
lij (aij lik ukj ) / u jj k 1
j 1
aij lik ukj liju jj k 1
很浪a...1费1 哦...
...
an1 ...
…a1...…n
...
ann
1
l
21
ln...1
1 ... ...
u11 ...
...
1
u1n
...
...
unn
min( i , j )
ai j
li k uk j
k 1
§2 Matrix Factorization – Doolittle
目标：A(n)为上三角阵
则方程组 A(n)x b(n) 的解不难得到
即 Ax b
A(n) x b(n)
同解
以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法
如果将线性方程组 Ax b 的系数矩阵 A分解成
两个三角形矩阵 L和U ,即
都是三角
A LU
形方程组
则 Ax b
LUx b
Ly b Ux y
u11 l21 l31 l41
u12 u22 l32 l42
u13 u23 u33 l43
u14 u24 u34 u44
y1
y2
y3 y4
从上式最后一个矩阵中 可知L,U , y 然后解线性方程组 Ux y
紧凑格式的 Doolittle法
例2. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1)
解:
a11
A
a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a15 a25 a35 a45
2 3 1 4
10 4 2 14
0 12
3 9
3 13 4 13
10 5 2 7
2 10 0 3 10
r
1