常微分方程的边值问题

本科科研训练论文
常微分方程的边值问题
学生姓名：郭骏
学号：**********
专业：数学及其应用数学年级：08级
学院：理学院
【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。

在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。

最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。

边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。

【关键词】常微分方程边值问题研究
目录
第一章引言
1.1常微分方程的起源和发展
1.2常微分方程的内容
1.3常微分方程的应用
1.4 常微分方程的实例
第二章常微分方程边值问题的研究
2.1 边值问题的提出
2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性
2.3 特征值问题
参考文献
第一章引言
1.1 常微分方程的起源
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。

I.牛顿和G.W.
莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。

当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。

70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。

常微分方程在我国的发展
中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。

培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。

1.2 常微分方程的内容
定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。

定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

1.3 常微分方程的应用
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

1.4 常微分方程的实例
下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数)：
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
(3) mv (t) = mg - kv(t)；
第一章 常微分方程边值问题的研究
2.1 边值问题的提出
求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。

亦即，设常微分方程为
对区间I 上的点α1，α2，…,αk 及值y (αi )，y ┡(αi ),…,y (n-1)(α
i )(i=1,2,…,k ,k >1)，
给定了一些条件,求此方程在 I 上的满足这些条件的解的问题。

这些条件称为边界条件，诸αi 及y (αi )、y ┡(αi )、…、y (n-1)(αi ) 称为边值或边界值。

当k =2，α1、α2是区间I 的端点时,称为两点边值问题。

边值问
题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。

因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。

为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。

2.2 二阶线性微分方程边值问题的可解性
我们将重点研究试射法。

二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
),,()(y y x f x y '=''， b x a ≤≤ (2.1)
边值条件有如下三类：
第一类边值条件
α=)(a y ， β=)(b y (2.2)
第二类边值条件
α=')(a y ， β=')(b y (2.3)
第三类边值条件[19]
ααα='-)()(10a y a y ， βββ='+)()(10b y b y (2.4)
其中010≥αα， 010≥ββ， 010≠+αα， 010≠+ββ。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。

下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理 设方程(2.1)中的函数f 及y f ∂∂，y f '
∂∂在区域
},,|),,{(∞<'<-∞≤≤'=Ωy y b x a y y x
内连续，并且 (ⅰ),0),,(>∂'∂y
y y x f Ω∈'∀),,(y y x ； (ⅱ)
y y y x f '∂'∂),,(在Ω内有界，即存在常数M ，使得 M y y y x f ≤'∂'∂),,(， Ω∈'∀),,(y y x ， 则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。

（1）试射法
为了描述试射法的基本思想，先给出初值问题的概念。

由(2.5)中的二阶常微分方程以及初始条件
α=)(a y ， s a y =')( (2.6)
构成的定解问题
⎩⎨⎧='=≤≤=+'+''-s a y a y b x a x r y x q y x p y )(,)(,)()()(α (2.7)
称之为初值问题。

对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复调整初始时刻的斜率值s y ='，使得初值问题(2.7)的积分曲线)(x y y =能“命中”β=)(b y .
设能够提供s 的两个预测值1s ，2s ，我们按这两个斜率“试射”， 通过求解相应的初值问题(2.7)可以得到)(b y 的两个预测值分别为1β，2β。

若1β和2β都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正1s ，2s 得到新的斜率值
)(11
21213ββββ---+=s s s s (2.8) 然后再按斜率3s 试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果3)(β=b y .若ββ=3或εββ<-3，则可将3s 作为s 的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果)(b y 与β相当符合为止。

基于叠加原理的试射法
设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子L ：y x q y x p y Ly )()(:+'+''-=. (2.9)
我们考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：
⎩
⎨⎧==,)(),(αa u x r Lu 0)('=≤≤a u b x a (2.10) 和
⎩⎨⎧==,
0)(,0a v Lv 1)('=≤≤a v b x a (2.11) 设)(x u 和)(x v 分别为问题(2.10)和(2.11)的解，不难验证
)()()()()(x v b v b u x u x y -+
=β (2.12)
是问题(2.5)的解，其中0)(≠b v . 通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：
1. 根据边值问题(
2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)；2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解)(x u 和)(x v ；
3. 将)(x u 和)(x v 按(2.12)式做组合，所得的函数)(x y 就是边值问题(2.5)的解.
(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。

如令：
,
,
11v v u u == v v u u '
='=22 (2.13) 则(2.10)式可以写成 ⎪⎩⎪⎨⎧==-+='=',0)(,)(),()()(,21
12221a u a u x r u x q u x p u u u α (2.14) (2.11)式可以写成
⎪⎩⎪⎨⎧==+='=',1)(,0)(,)()(,21
12221a v a v v x q v x p v v v (2.15) 这样就可以利用Runge-Kutta 方法求解(2.14)和(2.15)。

对于更一般的线性边值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥='+≥='-≤≤=+'+''-≡0,0,)()(,
0,)()(,)()()(001010
1010βαβββββαααααb y b y a y a y b x a x r y x q y x p y Ly (2.16) 用基于叠加原理的打靶法的步骤为：
1. 根据(
2.16)式，构造两个相应的初值问题：
⎩
⎨⎧-==,)(),(1αc a u x r Lu α0)(c a u b x a -='≤≤ (2.17) 和
⎩
⎨⎧==,)(,01αa v Lv 0)(α='≤≤a v b x a (2.18) 其中0c 和1c 是满足条件10110=-ααc c 的两个任意的常量.
2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为)(x u 和)(x v .
3. 将)(x u 和)(x v 做线性组合)()
()()]()([)()(1010x v b v b v b u b u x u x y '+'+-+=βββββ 由此计算得到的函数)(x y 就是(2.16)式的解。

（2）有限差分法
将区间[a,b]进行等分：h=(b-a)/(n+1), x i =a+ih,i=0,1,…,n+1,设在x=x i ,i=0,1,…,n+1处得数值解为y i 。

用中心差分近似微分，即
{y i ′
≈y i+1−y i−12ℎy i "≈y i+1−2y i +y i−1h 2
,i=0,1,…,n
则离散化成差分方程 y i+1−2y i +y i−1=h 2f(x i ,y i ,y i+1−y i−12h ),i=0,1,…,n
对应的边界条件也离散成ẏ(a)-α0y(a)=α1,ẏ(b)+β0y(b)=β1;
第一类边界问题:y 0=α,y n+1=β
第二类边界问题：y 1-y 0=h α,y n+1-y n−1=h β
第三类边界问题：y 1-(1+α0h)y 0=α1h,
(1+β0h )y n+1-y n =β1h
若f(x,y,y ’)是y ，y ’的线性函数时，f 可以写成
f(x,y,y ’)=p(x)y ’(x)+q(x)y(x)+r(x)
其中p(x),q(x),r(x)为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过变量替换总是可以消去方程中的y ’项，不妨假设变换后的方程为
y ”(x)-q(x)y(x)=r(x);y(a)=α,y (b )=β
则近似差分方程成离散差分方程为
y i+1−2y i +y i−1
h 2-q i y i =r i ;y 0=α,y n+1=β
其中q i=q(x i) ,r i=r(x i),i=0,1,…,n 将以上方程合并同类型整理得方程组
{y0=α
y i−1
y n+1=β
−(2+q i h2)y i+y i+1=r i h2
其中只要q i≫0，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵，方程组为三对角线方程组，可以用追赶法求解。

2.3 特征值问题
一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。

它是含有一个参数λ的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。

最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)
式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。

对于常型问题,存在可数无穷个特征值λ
0<λ
1
<λ
2
<…,对应于每一个λn,有
一个非零解y n(x)（特征函数）。

{y n(x)}组成(α，b)上的完备正交系。

对任意函数ƒ(x)，有特征展开式
(10)
式中ƒn是ƒ(x)的广义傅里叶系数, 等于ƒ(x)与y n(x)的乘积沿(α,b)的积分。

当ƒ(x)满足边界条件,且ƒ┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。

当ƒ(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。

C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)<G(x),则在y″+g(x)y=0的任一解的相邻两零点间,必有z″+G(x)z=0的任一解的一个零点。

由此证明SL问题的第n+1个特征函数y n(x)在(α,b)中恰有n个零点（振动定理）。

比较定理与解的振动性质的研究，近年已被推广到偏微分方程。

当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一个不是有界连续时，称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。

按照 H.外尔的理论，若对某复数λ，微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款；否则称b属于点款。

对前者，在b点要提线性边界条件，对于后者,只提平方可积条件就够了。

若α点为奇点,也有同样的分类。

当区间仅有一端（例如b）为奇点，特征展开式为
(11)
式中
(12)
φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。

当ρ(λ)
为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。

对于区间两端都为奇点的情形，展开式为
(13)
(14)
(λ)】称为谱矩阵；φ1，φ2则是方程的线性无关解组。

式中【ρ
ij
奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。

由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。

SL问题的研究已沿着不同方向推广。

在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。

对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。

即亏指数。

亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。

由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。

此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。

参考文献：
·二阶常微分方程边值问题数值方法- 山东师范大学数学科学学院，道客巴巴2011-03-15
·葛渭高/李翠哲/王宏洲，常微分方程与边值问题，科学出版社，2008-06-01 ·籍利平，边值问题长盛不衰，科学网，2007-9-3
·百度百科。