2010年北京高考数学(理科)试题与答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}
（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）
视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C
（5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线
（6）若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上
存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞]
(8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，
1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零）
，则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II 卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数
21i i
-对应的点的坐标为 。

（10）在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a = 。

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。

（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；
CE ＝ 。

（13）已知双曲线22221x y a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆22
1259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴
所围区域的面积为 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

（Ⅰ）求()3
f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。

（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，C E ⊥AC,EF ∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概
率为45
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独
立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0 1 2 3
P b (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求p ，q 的值；
(Ⅲ)求数学期望E ξ。

(18)(本小题共13分)
已知函数2()ln(1)(0)2
k f x x x x k =+-+≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，(1)f )处的切线方程；
(Ⅱ)求f (x )的单调区间。

（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（20）（本小题共13分）
已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为
A 与
B 之间的距离为1(,)||n
i i
i d A B a b ==-∑ （Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;
（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P .
证明：()d P ≤2(1)
mn m -. 2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（-1,1） （10）1
（11）0.030 3 （12）5 27
（13）（4±，0） 30x y = （14）4 1π+
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I ）2239()2cos sin 4cos 1333344
f π
πππ=+-=-+=- （II ）22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--
=23cos 4cos 1x x --
=2273(cos )33x --
,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，
所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =
时，()f x 取最小值73- （16）（共14分）
证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。

因为EF//AG ，且EF=1，AG=12
AC=1. 所以四边形AGEF 为平行四边形.
所以AF//平面EG ，
因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，
所以AF//平面BDE.
（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面
相互垂直，且CE ⊥AC ，
所以CE ⊥平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-xyz .
则C （0，0，0），A （2，2，0），B （0，2，0）.
所以22(,,1)22CF =，(0,2,1)BE =-，
(2,0,1)DE =-.
所以0110CF BE =-+=,1010CF DE =-++=
所以CF BE ⊥,CF DE ⊥.
所以CF ⊥BDE. (III) 由（II ）知，22(,,1)22
CF =是平面BDE 的一个法向量. 设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA =，0n BE =.
即(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z =-=⎧⎨⎩
所以0,x =且2,z y =
令1,y =则2z =.
所以(0,1,2)n =.
从而3cos ,2
||||n CF n CF n CF 〈〉==。

因为二面角A BE D --为锐角，
所以二面角A BE D --的大小为
6π. （17）（共13分）
解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知
14()5
P A =，2()P A p =，3()P A q = （I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
61191(0)1125125
P ξ-==-
=， （II ）由题意知 整理得 6125
pq =
，1p q += 由p q >，可得35p =，25q =. （III ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++
=
411(1)(1)(1)(1)555
p q p q p q --+-+- =58125
=95 （18）（共13分） 解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x
=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2
f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
即 322l n 230
x y -+-=
（II ）(1)'()1x kx k f x x
+-=
+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-=
=+，得10x =，210k x k
-=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k
-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2
'()1x f x x
=+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-=
=+，得11(1,0)k x k
-=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k
-上， 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - （19）（共14分）
（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y
由题意得111113
y y x x -+=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±.
故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231
N y x y x -+=-. 于是PMN 得面积
又直线AB 的方程为0x y +=，||22AB =，
点P 到直线AB 的距离00||2x y d +=
. 于是PAB 的面积
当PAB PMN S S =时，得20000020||(3)|||1|
x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，
所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3x =。

因为220034x y +=，所以0339
y =± 故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5
33(,)39±
. 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y
则
11||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠. 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||
PA PN PM PB = 所以000|1||3||3||1|
x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=
因为220034x y +=，所以0339
y =± 故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5
33(,)39±
. （20）（共13分）
证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈
又1(,)||||||n
i i i i
i d A C B C a c b c =--=---∑ 由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =.
当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;
当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)n
i i
i d A C B C a b d A B =--=-=∑ (II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k
=，(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知
所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的
个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（III ）2,1
()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑,其中,(,)A B P
d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则
,(,)A B P d A B ∈∑=1()n
i i i t m t =-∑ 由于i t ()i m t -2
(1,2,...,)4
m i n ≤= 所以,(,)A B P
d A B ∈∑2
4nm ≤ 从而2
22,1()(,)42(1)A B P m m nm mn d P d A B C C m ∈=≤=-∑。