6-1定积分的元素法59508

2020/6/15
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3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在区
间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx，即为所求
量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
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则U相应地分成许多部分量，而U等于所有
部分量之和；
（ 3 ） 部 分 量 U i的 近 似 值 可 表 示 为 f(i) x i；
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间[a, b]分成 n个小区间，取其中任一 小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的 部分量U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a,b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与 dx 的 乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ， 即 dU f ( x)dx；
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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a,b]分成n个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，i第
n
个小窄曲边梯形的面积为Ai，则AAi .
i1
（ 2 ） 计 算 A i 的 近 似 值
A if(i) x i i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f(i)xi.
i1
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（4） 求极限，得A的精确值
n
Al i0m i1f(i)xi
b
f(x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
yf(x)
于是 A f ( x)dx
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第六章
定积分的应用
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第一节
第六章
定积分的元素法
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回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线 x a、 x b所围成。
y
yf(x)
oa
bx
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b
Aa f(x)dx
o a xxdbxx
b
A li m f(x)dxa f(x)dx.
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当 所 求 量 U 符 合 下 列 条 件 ：
（ 1 ） U 是 与 一 个 变 量 x的 变 化 区 间 a ,b 有 关
的 量 ；
（2）U对于区间a,b具有可加性，就是 说，如果把区间a,b分成许多部分区间，