高中数学(人教版)微积分基本公式课件
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积分 中值定理
b a
a f ( x) dx F (b) F (a)
导 数 F ( )(b a)
微分 中值定理
b
牛顿 - 莱布尼茨公式
f ( x ) dx 定积分
牛—莱公式
不定积分 F (b ) F (a )
牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续，则函数
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
物理事实
变速直线运动的路程
s(T1 )
T1
T2 T1
s(T2 ) s(T1 )
s(T2 )
s s( t )
v v(t )
T2
T1
v ( t )dt
Ψ ( x ) f (t ) dt
~ Ψ ( x) Ι ( x)
x b
h( x )
b
f (t ) dt
g( x )
例 求 sin t d t 0 0 例 求 Ψ ( x ) f ( x ) x e 2tdt ~ 0 2 Ψ ( x ) f ( h( x ))h( x ) 例 求 costx dt
a x
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续，则 ( x ) f ( x )
推论 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续，g ( x ), h( x ) 可导
g( x ) ~ Φ( x ) f ( t ) d t a
~ Φ( x ) f ( g ( x )) g ( x )
x2
Ι ( x ) f ( g ( x )) g ( x ) f ( h( x ))h( x )
h( x )
f (t ) dt
例 求 sin x cos( t 2 )dt
cowk.baidu.com x
应用 只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目
只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数 例8 求 lim
T2
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 )
s ( t ) v ( t )
推广
一般情况下
F ( x ) f ( x )
b
a
? f ( x )dx F (b) F (a )
积分上限的函数 定义 设 f ( x ) C[a, b] ( x ) f ( t ) d t (a x b)
积分 中值定理
b a
f ( x ) dx 积分学F (b) F (a )
牛—莱公式
例2 计算 例4
例3 计算
1
2
dx . x
1 x 0 x f ( x) sin x 1 0 x 1
求 f ( x)dx.
1
1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上 与x轴围成的平面图形的面积.
a x
称为积分上限的函数.
性质
定理1 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续,那么积分上限的函数
( x ) f ( t ) d t 在[a , b]上可导，并且它的导数 a d x ( x ) f ( t ) d t f ( x ) ( a x b ) y f ( x) a dx y x 例1 求 ( x) a 1 t 2 dt
x
o a
x
b x
x x
牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续,那么函数
( x ) f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
a
x
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么 注
函 数 f ( )(b a)
y
y sin x
例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速 停车, 设汽车以等加速度 问从开始刹车到停车走了多少距离? 刹车,
o
x
例7
求极限
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
积分上限的函数 定义 设 f ( x ) C[a, b] ( x ) f ( t ) d t (a x b)
x 0
1 cos x
e dt . 2 x
t2
例9 f ( x ) C[0,),
f ( x) 0 证明
在 [0,) 内单调增加.
tf (t )dt F ( x) f (t )dt
0 x 0
x
( x ) f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
a
x
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
则 注
a f ( x) dx F (b) F (a)
牛顿 - 莱布尼茨公式
微分 中值定理
b
f ( )(b a ) 微分学 F ( )(b a )
b a
a f ( x) dx F (b) F (a)
导 数 F ( )(b a)
微分 中值定理
b
牛顿 - 莱布尼茨公式
f ( x ) dx 定积分
牛—莱公式
不定积分 F (b ) F (a )
牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续，则函数
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
物理事实
变速直线运动的路程
s(T1 )
T1
T2 T1
s(T2 ) s(T1 )
s(T2 )
s s( t )
v v(t )
T2
T1
v ( t )dt
Ψ ( x ) f (t ) dt
~ Ψ ( x) Ι ( x)
x b
h( x )
b
f (t ) dt
g( x )
例 求 sin t d t 0 0 例 求 Ψ ( x ) f ( x ) x e 2tdt ~ 0 2 Ψ ( x ) f ( h( x ))h( x ) 例 求 costx dt
a x
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续，则 ( x ) f ( x )
推论 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续，g ( x ), h( x ) 可导
g( x ) ~ Φ( x ) f ( t ) d t a
~ Φ( x ) f ( g ( x )) g ( x )
x2
Ι ( x ) f ( g ( x )) g ( x ) f ( h( x ))h( x )
h( x )
f (t ) dt
例 求 sin x cos( t 2 )dt
cowk.baidu.com x
应用 只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目
只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数 例8 求 lim
T2
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 )
s ( t ) v ( t )
推广
一般情况下
F ( x ) f ( x )
b
a
? f ( x )dx F (b) F (a )
积分上限的函数 定义 设 f ( x ) C[a, b] ( x ) f ( t ) d t (a x b)
积分 中值定理
b a
f ( x ) dx 积分学F (b) F (a )
牛—莱公式
例2 计算 例4
例3 计算
1
2
dx . x
1 x 0 x f ( x) sin x 1 0 x 1
求 f ( x)dx.
1
1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上 与x轴围成的平面图形的面积.
a x
称为积分上限的函数.
性质
定理1 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续,那么积分上限的函数
( x ) f ( t ) d t 在[a , b]上可导，并且它的导数 a d x ( x ) f ( t ) d t f ( x ) ( a x b ) y f ( x) a dx y x 例1 求 ( x) a 1 t 2 dt
x
o a
x
b x
x x
牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续,那么函数
( x ) f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
a
x
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么 注
函 数 f ( )(b a)
y
y sin x
例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速 停车, 设汽车以等加速度 问从开始刹车到停车走了多少距离? 刹车,
o
x
例7
求极限
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用
积分上限的函数 定义 设 f ( x ) C[a, b] ( x ) f ( t ) d t (a x b)
x 0
1 cos x
e dt . 2 x
t2
例9 f ( x ) C[0,),
f ( x) 0 证明
在 [0,) 内单调增加.
tf (t )dt F ( x) f (t )dt
0 x 0
x
( x ) f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
a
x
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
则 注
a f ( x) dx F (b) F (a)
牛顿 - 莱布尼茨公式
微分 中值定理
b
f ( )(b a ) 微分学 F ( )(b a )