垂径定理 (5)

《垂径定理（第一课时）》教案

教学目标：

1、知识与技能：经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；

2、过程与方法：在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；

3、情感态度与价值观：让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法 教学重点：垂径定理的掌握及运用. 教学难点：垂径定理的探索和证明 教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件 教学过程： 一、复习引入

1、什么叫弦？直径与弦的关系？

2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？

3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？

4、观察并回答：

（1）两条直径的位置关系？

（2）若把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？

二、新课

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）

如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M 。

求证：AE=BE 。

思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？

给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。

（二）分析垂径定理的条件和结论

1、引导学生说出定理的几何语言表达形式

① CD 是直径、AB 是弦

① AE=BE

②

② C D ⊥③

2、利用反例、变式图形进一步掌握定理 例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？

3、引申定理：定理中的垂

径可以是

直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：

① 经过圆心

得到 ① 平分弦

一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧

② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧

（三）例题

例2 如图，已知在⊙O 中，

AC=BC

AD=BD

（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径

（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离

（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长

在例2图形的基础上：

变式（1）例3 已知：如图，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点。

求证：AC ＝BD 。

（图1）

（图2）

变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，

OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。

变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，

OD ，设OC=OD ，

求证：AC ＝BD 。 （图3）（图4）

三、小结

1、这节课我们学习了哪些主要内容？ 2

、应用垂径定理要注意那些问题？

垂径定理的条件和结论：

① 经过圆心 得到 ① 平分弦

一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧

② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧

3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？

A

B

生活实际应用

例4（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

教学反思：

结合本节课的教学，我从以下几个方面进行了反思：

一、对教材的分析：

本节课是在学生学习了过三点的圆和圆的有关性质等内容之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习。垂径定理的推证是以圆是轴对称图形的性质为依据的，因此，垂径定理既是圆的性质---轴对称性质的重要体现，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据。本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明的一个重要工具。同时，更为下节课垂径定理推论的引出奠定了基础。

二、学情分析、教法确定和教学效果：

1、学情分析

我所任教的班级学生由于多次分班调整等原因，基础不一，两极分化较明显。作为执教老师，既要帮助知识体系较薄弱的学生打好扎实基础，更要为有能力的学生提供足够的思维空间，以促其发展。因此，除了通过观察实验等活动调动学生学习的积极性，还需强调论证的重要性，加大变式练习。

2、教法分析

根据初三学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。

对这节新授课的引入，我抓住了垂径定理条件中的一条过圆心的直线，先给出一条直径

和弦相交，让学生猜想补充出另一个条件：垂直位置，以得到使直径平分弦的结论。这让我深刻感受到新课引入环节的重要性，只有吃透教材，才能真正使教材为己所用，为整节课的教学开展起到很好的开头作用。

3、教学效果：

由于明确了教学目标，对初始教案进行了修改，我在修改教案中更多地把促进学生自主参与放在首位，因此在授课中，新知识的引入与使用过程显得更为流畅，学生也更加的投入。经过这节课的学习，学生基本掌握了垂径定理的本质：2个条件和2个结论，并能应用其进行简单的计算和证明，较好的达到了教学目标，完成了教学任务，教学效果良好。

三、对存在问题的思考：

本节课也存在着不足和需改进，甚至可以进一步完善之处：

（1）板书的设计。板书是无声的语言，是完成课堂教学任务的重要手段．板书也是教师的基本功之一。好的板书不仅有助于传授知识和方法，而且有助于启迪学生思维，有助于培养学生严肃认真的学习态度，养成良好的学习习惯；教师认真严谨、规范的板书是良好的示范，是言传身教的体现，不仅会起到让学生潜移默化的作用，而且还会给学生一种美的感受，增强学生的记忆效果、有利于学生的身心健康，陶冶学生的情操，培养严谨的治学精神。重视板书，研究板书，精心设计板书，对教师来讲是一项不可等闲视之的工作。在评课中我意识到为了进一步提高我的教学水平，我必须在板书的设计上下苦功，这也是我今后教学改进需努力的方向。对于新授课板书的设计上应精心布局，文字语言、符号语言、分析语言缺一不可，并且应该再配上基本图形以加深学生对定理的了解，除了突出要点，还需让学生感受到定理使用的规范性。这样不但能帮助学生了解和掌握教学的重点、难点，掌握知识的发展脉络和逻辑体系，更能调动学生多感官参加学习活动，使学生清晰地意识到实际的教学过程,启发学生的思维随着教学的进程而顺利发展。

（2）应适当地拔高学生对新课的理解体会。在新课引入部分证明直径平分弦这一结论时，不能只局限于学生得到添加半径作为辅助线这一结果上，而应利用这一机会帮助学生对之前所学的证明两条线段相等的几种方法进行回顾，以使证明方法系统化，不单纯为一节课服务。在垂径定理应用时，对于添加过圆心的垂线段的缘由也可以结合线段是轴对称图形，圆也是轴对称图形，而它们的公共对称轴即这条垂线段，帮助学生加深对轴对称图形添加辅助线的体会。

最后，本节课也让我发现了今后需要改进和进一步探索的方向：即要进一步培养自身操控教学进度的能力和精选例题的能力；不断地磨练自身的讲授课技能，在设问的指向上和时机上不断地积累经验，才能在教学上有进一步的提高。