晶体的宏观对称第四单形和聚形优秀课件

各种旋转反映轴的图解
四 对称要素的组合
在结晶多面体中，当几种对称要素 同时存在时，任意两种对称要素的组合 必定要导出第三种对称要素。其作用等 于前两种对称要素作用之和。但对称要 素的组合不是任意的, 必须符合对称要 素的组合规律。
定理1（ L2和Ln的组合,轴式组合） 如 果 一 个 L2 垂 直 于 Ln 时 ， 则 ① 必 有 n
3.32种对称型的推导
32种对称型可以分成A类（27种） 和B类（5种）。
L1无实际意义，高于2次的对称轴称为 高次Hale Waihona Puke Baidu（L3、L4、L6）
轴次（n）:旋转一周重复的次数； 基转角（α）:重复时所旋转的
最小角度。 n = 360°/α
对称轴的分布
通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2; 通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L4; 通过角顶的直线——L3
晶体的对称定律：晶体中只能出现轴 次为1、2、3、4、6的对称轴，而不 能出现5次或高于6次的对称轴。
三 晶体的宏观对称要素和对 称操作
对称操作: 对称操作（变换）就
指能够使对称物体中的各个相同部 分作有规律重复的变换动作。
如：旋转、反映、反伸、旋转反 伸等。
对称要素:
对称要素就是指在进行对称操作 时所凭借的几何要素。
所凭借的点、线和面被分别称为 对称中心（C）、对称轴（Ln）和对 称面（P）。
4. 旋转反伸轴(倒转轴、反轴、反 演轴)（Lin）
旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上 的一个定点 ，相对应的对称操作是围绕此 直线的旋转和对此直线上的一个定点（相 当于对称中心）反伸的复合操作 ，图形围 绕此直线旋转一定角度后，再对直线上的 一个定点进行反伸，可使相等部分重复 。
Li4 的四方四面体及赤平投影
个L2同时垂直此Ln; ②相邻两个L2的夹角 为Ln的基转角的一半。
Ln × L2（⊥）→ Ln n L2 例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2
逆定理：如果两个L2相交,在交点上并垂 直两个L2必产生一个Ln，其基转角是两个 L2夹角的2倍,并导出其他n个在垂直Ln平面 内的L2。
定理2 ( P、 Ln和C的组合,中心式组合) 如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln（n为偶
※其辅助的对称操作有2个※ 旋转+反伸
Li1=C Li2=P Li3=L3+C Li4 Li6=L3+P⊥
各种旋转反伸轴的图解
5.旋转反映轴(映转轴)（Lsn）
旋转反映轴为一假想的直线和垂直 此直线的一个平面 ，相对应的对称操 作是围绕此直线的旋转后对对垂直此直 线上的一个平面的反映的复合操作，操 作后可使图形相等的部分重复。
定理3（ P和Ln的组合,面式组合） 如果有一个对称面（P）包含一个对称
轴Ln，则①必有n个P同时包含此Ln；② 相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。
Ln × P(‖) → Ln n P 例：L22P、L33P、L44P、L66P 逆定理：如果有两个对称面相交，则 P的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻 两个P的夹角的2倍，并导出其他n个包含 Ln的P。
数），则在其交点存在对称中心C。 Ln × C = Ln ×P（⊥）→ LnPC （n为偶数） 例：L2PC、L4PC、L6PC 逆定理：如果有一个偶次对称轴L2n与对称中
心共存，则通过C且垂直该对称轴必有一对称面P。 或如果有一个对称面P与对称中心C共存，则过C 且垂直P必有一个L2（这个L2可能包含在其他偶次 轴中而不独立出现）。
定理4（ P和Lin的组合,倒转面式组合）
如果有1个L2垂直于n次旋转反伸轴Lin，或 有一个P包含n次旋转反伸轴Lin时，则当n为奇 数时，必有n个共点的L2垂直此Lin和n个P同时 包含此Lin；当n为偶数时，必有n/2个共点的 L2垂直此Lin和n/2个P同时包含此Lin。
Lin × P(‖) = Lin × L2（⊥）→ Linn L2 n P 或 Lin n / 2 L2 n / 2 P
当n为偶数时，例：Li42 L22P；L i63 L23P 当n为奇数时，例：L i33 L23P＝L33L2 3PC
定理4逆定理：如果有一个L2与一个 P斜交，则P的法线与L2的交角为δ，则 平行于P且垂直于L2的直线必为一Lin， n＝360°/ 2δ。
定理5(欧拉定理,对称轴之间的组合)
两个对称轴的适当组合将产生第三 个对称轴
五 32个对称型(点群)及其推导
1.对称型的概念
晶体形态中，全部对称要素的组 合称为该晶体的对称型。
由于全部对称要素都通过一点(几 何点)，进行对称操作时该点不移动， 因此对称型也称为点群。
2.32种对称型
由于晶体对称要素的有限性， 对称要素组合的有规律性，因此， 晶体中的对称型也是有限的。这种 有限性表现在实际晶体中只有32种 对称型（赫赛尔 Hessel，1830）。
晶体对称 的有限性 所决定
3.对称中心（C）
对称中心为一假想 的点，相对应的对称操 作是对于此点反向延 伸 ，通过此点，等距 离两端必能找到相对应 的点 。
在晶体中可以 没有对称中心，若 有则只能有1个， 出现在晶体的中心。
规律
若晶体具有对称中心，其相应 的晶面、晶棱、角顶都体现反向平 行。其晶面必然都是两两平行而且 相等的，这一点可以用来作为判别 晶体有无对称中心的依据。
1.对称面（P）
对称面为一假 想的面，相对应的 对称操作是对此平 面反映，它使图形 平分成两个镜像相 等的部分。
对称面的分布
垂直并平分晶面 垂直并平分晶棱 包含晶棱并穿过角顶
2.对称轴（Ln ）
对称轴为一假想的直线，相 对应的对称操作是围绕此直线的 旋转 ，旋转一定角度后可使相同 (等）部分有规律地重复 。
晶体的宏观对称第四单形和聚 形
一 对称的概念
对称就是物体（或图形）中，
其相同部分之间的有规律的重复.
例：蝴蝶、 花冠、建筑物、面容、雪花
各
各
种
种
各
各
样
样
的
的
对
对
称
称
二 晶体对称的特点
晶体的对称表现为晶 面、晶棱、角顶作有规 律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是 由晶体的格子构造所 决定的，研究晶体的 对称性对于认识晶体 的各项性质和晶体分 类具有重要意义。