高等数学(下册) 二重积分要点总结

2
f ( x, y )dy
典型题：
直角坐标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D

xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D



d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
0 2
0
2
1
二重积分要点总结
4、利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分 区域示意图 区域对称与函数奇偶 区域 D 关于 Y 轴对称， 被积函数关于 X 变量是 奇函数 结论
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
f ( x, y)dxdy =
D

x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
in ) d f ( cos , si
典型题：
极坐标注意 意事项： 一、何时用 用极坐标积分 分：区域边 边界含圆（圆 圆心在原，或 或与坐标轴 轴相切）；被 被积函数含 含 (x2 y2 ) 。 二、极坐标 标积分区域 域表述： 边界表 表示：如直角 角坐标系下 下的区域边界 界函数是 h( x, y ) 0 ，极坐标下 ， 下的区域边界 界函数就是 是 h( cos , sin ) 0 ，进一步 步解出 ( ) 形式。幅角范围:的确定从几 几何方式确 确定。 三、区域包 包含原点时的几种特殊 殊的表示（ 里边 0 ）