第三章 离散小波变换与框架

Tf (t ) B f (t )
1 2
2 2
即： f (t ), j ,k (t ) B f (t )
2 j , kZ
2
(式3-7)
2
其次．由反变换是连续的，可得：
2 1 2 A f (t ) T Tf (t ) Tf (t ) 即： A j , kZ
f (t ),
jJ
若A=B=1,
f , A f 则 为 H 的正交基，则有：
2 2 jJ j
j jJ
f f , j j
jJ
(式3-10)也称为稳定性条件。
2 例3-1：设 H R , e1 (0,1), e2 ( 3 / 2,1 / 2), e3 ( 3 / 2,1 / 2) ，则对于H中 的任意向量 v (v1 , v2 ) ，有：
3 1 3 1 3 2 v, e j v2 v1 v2 v1 v2 [v12 2 ] 2 2 2 2 2 2 j 1
2
3
2
2
即：

j 1
3
v, e j
2

3 v 2
2
表明 {e1 , e2 , e3} 2空间的紧框架，但不是正交基，因为： 是R e1 e2 e3 (0,0) 线性相关。 e
F Ff f , j j
jJ
f ( F F ) 1 f , j j f , j ( F F ) 1 j
jJ jJ
~ f f , j j
同理：
(式3-21) (式3-22)
~ f f , j j
j ,k (t ) 2
(2 t k )
j
(式3-5) (式3-6)
c j ,k (W f )( 2 j , k 2 j ) f (t ), j ,k (t )
对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。
我们最为关切的问题： 1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)? 2.对于任意f(t) ∈L2(R)，是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组 合？ 上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用 离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述， Tf 就是能否这样定义线性变换：(t ) f (t ), j ,k (t ) j ,k (t ), j , kZ 使得其正反变换连续。 首先．正变换是连续的，表明线性变换有界：
B 1 I d ( F F ) 1 A1 I d
(式3-16)
( F F ) 1 ( F F ) I d
因为： ( F F ) 1 ( F F ) f f
按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算 子(F*F)-1也为自伴随算子.
F Fg, f Fg, Ff g , F Ff 证明：
F c, f c, Ff c j f , j
c j j , f c j j , f
jJ jJ
jJ
(式3-12) (式3-13)
F c c j j
jJ
由F的定义可得：
Ff
2
f , j Ff , Ff F Ff , f
若B充分接近A，则 r<<1 ，所以 ||R|| 充分接近于0。 (式3-25) 中可忽略 Rf 项，则有近似公式： 2 f (式3-28) f , j j A B jJ
当 r 不满足还远小于1的条件时，由于||R||<1l，仍可导出一 个具有指数收敛于 f 的重构算法。 由(式3-24)可得： 2 1 (F F ) ( I d R) 1 A B
jJ
jJ
以上两式就是 f 的重构公式，由<f, φj >重构 f 需要求出框架φj ~ 的对偶： ( F F ) 1
j , jJ j , jJ
需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是 线性相关的。这样重构 f 的公式将不惟一。但当A＝B＝1时， ~ j j ，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：
(式3-3)
其卷积型定义有：
c j ,k Wa j f (kb a ) ( f (t ) ha j (t ))( kb a )
0
j 0 0
0
j 0 0
即：
c j ,k
1 j a0

R
kb0 a0j t f (t )h( )dt j a0
j/2
(式3-4)
对于二进小波，令a0=2，b0=1．则有：
c j ,k (W f )( 2 j , k 2 j ) f (t ), 2 j ,k 2 j (t )
此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。 在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：
a a , b k b0 a , j Z , k Z
j 0 j 0
第三章 离散小波变换与框架
连续小波变换中，CWT中的参数a和b都是连 续变化的值。实际应用中，信号f(t)是离散序列， a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT。 离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。 讨论这个问题涉及框架理论。
一、离散小波变换 在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就 得到一个二维序列:
f , ( F F ) 1 F g
可得： F ( F F ) 1 F
~
(式3-20)
则定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得证。
由(式3-13)： F c c j j
jJ
令：c Ff , 即c j f , j , 则上式变为：
2 jJ
(式3-14)
(式3-10)可写成：
Af , f F Ff , f Bf , f
令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f，上式可写成：
AI d F F BI d
(式3-15)
F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为 (F*F)-1它必满足：
由于 (F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：
F ( F F ) f , F ( F F ) f
1 1

1
jJ

1
(由伴随算子定义)
1
( F F ) f , F F ( F F ) f ( F F ) f , f
利用式3-16，有：
B 1 f , f , ( F F ) 1 f , f A1 f , f
将以上两式合并，有：
~ 上式表明，
j
~ 2 A1 f B f f , j
1 2 jJ
jJ
2
(式3-19)
是H空间的一个框架。
~ ~ 记 F 的伴随算子为： F ，则由： ~ Ff , g F ( F F ) 1 f , g ( F F ) 1 f , F g
(式3-1)
其中a0、b0为常数，则分析小波变为：
j ,k (t ) a0 j / 2 (a0 j t k b0 )
(式3-2)
这样，连续小波变换就变为离散小波变换：
c j ,k (W f )( a , kb a ) f (t ), j ,k (t )
j 0 j 0 0
2 则： f f , j j Rf A B jJ
(式3-25)
再由(式3-15)、(式3-15)可知：
B A B A Id R Id A B A B B A r B R 1, 其中r 1 A B 2 r A
(式3-26) (式3-27)
( Fq) j ( F ( F F ) f ) j q, j ( F F ) f , j
1 1
~ ( Ff ) j ( F ( F F ) 1 f ) j ~ 1 (式3-18a)得证。 F F (F F ) ~ 2 ~ ~ ~ 2 Ff , Ff 由内积定义： Ff f , j
j ,k
(t )
(式3-8)
以上两式表明，c j ,k j ,kZ 将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满 足： A f (t ) 2 f (t ), (t ) 2 B f (t ) 2 0 j ,k (式3-9)
j , kZ
由此便引出了L2(R) 空间的“框架”概念。
二、框架 1、框架定义 定义 3.1 设 j jJ H 0﹤A≤B﹤∞,使得：
,若对于一切
2
f H
2
，存在常数 (式3-10)
A f
2
则称函数序列 j jJ 为 H 空间的一个框架。B、A分别 称为此框架的上、下界．A＝B时称为紧框架。

f , j B f
3、对偶框架 (1)定义３.3:对于H空间中的一个框架 j jJ ，其算子为F，则 定义： ~ ( F F ) 1 , j J (式3-17)
j j
称 ~ j jJ 为 j jJ 的对偶框架(共扼框架)。
(2)对偶框架算子 定理3.1 设 j jJ 为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其 框架算子为F， ~ j jJ 为其对偶框架,则 ~ j jJ 也构成H空 ~ 间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子 F 满 足： ~ 1 (式3-18a) F F (F F )
(式3-29)中级数取N项，有：
fN

2 N k R (F F ) f A B k 0 2 2 R N 1 k (F F ) f R (F F ) f A B A B k 0 2 ( F F ) f Rf N 1 （将R表达式代入） A B 2 f N 1 ( F F )( f f N 1 ) A B
~ ~ F F F F Id ~ ~ FF FF
~ ~ F F ( F F ) 1
(式3-18b) (式3-18c) (式3-18d)
证明：令f H , q H , 且q ( F F )
*
1
f , 则有：
~ ~ f , ( F F ) 1 ( Ff ) j f , j j
f f , j j
jJ
(式3-23)
(3)对偶框架的计算 重构 f 需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1 ~ A1 , 的值。在A＝B的紧框架条件下，容易得到： j j 而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。 令： 2 R Id F F (式3-24) A B 2 2 Rf f F Ff f f , j j A B A B jJ
j
Id R
1
R k j
k 0

j 2 2 k ~ j (F F ) j R j A B I d R A B k 0
则： f
~ f , j j
jJ
(式3-29)
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2 2 k f , j R k j R (F F ) f A B jJ A B k 0 k 0
2、框架算子 为便于讨论框架，引入框架算子。 定义3.2：如果 j jJ 为H空间的一个框架，那么框架算子F定 义为H空间向 l 2 ( J ) 空间的映射，即：
Ff { f , j } jJ , f H , Ff l 2 ( J )
(式3-11)
因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义， 可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。 记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定 义： F : l 2 ( J ) H ， F c, f c, Ff , c l 2 , f H ，则有：