26.3实践与探索

26.3实践与探索

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、综合应用二次函数有关知识解决实际问题,理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一元二次方程、一元二次不等式的关系.

2、通过应用问题的解决，培养学生分析、解决实际问题的能力和创造性思维能力并渗透数学建模的思想和化归思想.

【重点难点】

1、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.

2、二次函数知识的综合运用. 知识概览图

抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点是(0，c )

抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴的交点是，0) 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a

≠0)的 交点由方程组2

y kx b y ax bx c

=+⎧⎨

=++⎩，

的解决定

利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系

实践与探

抛物

用图象法求一元二次方程的近似根

新课导引

【生活链接】如图所示的是某防空部队进行射击时在平面直

角坐标系中的示意图．位于地面O正上方5

3

km的A处的直升机向

目标C发射防空导弹，已知点C距地面2．25 km，与点O的水平距离为7 km，若导弹运行到距地面最大高度为3 km时，相应的水平距离为4 km(即图中点D)．如果导弹的运行轨迹为抛物线形，那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?

【问题探究】解决此问题的关键是如何将日常生活中的问题转化为数学问题，如何建立数学模型，并且将所得的解代回到实际问题中，验证是否具有实际意义．

【点拨】依题可知抛物线的顶点为(4，3)且过点A(0，5

3

)，故设抛物线的解

析式为y＝a(x－4)2＋3，当x＝0时，y＝5

3，所以16a＋3＝5

3

，可得a＝－1

12

，

从而知抛物线的解析式为y＝－1

12(x－4)2＋3，当x＝7时，y＝－1

12

×(7－4)2

＋3＝－1

12×9＋3＝9

4

，即点C(7，2．25)在抛物线上，所以按轨迹运行的导弹

能击中目标C

教材精华

知识点1 抛物线与直线的交点

抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点是(0，c)．

当b 2－4ac ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点．因为x 轴上的点的纵坐标都为0，所以令y ＝0，代入得ax 2＋bx ＋c ＝0，解这个一元二次方程得x

＝，所以抛物线与x 轴交点的坐标是

0⎫

⎪⎪⎝⎭

和

0⎫

⎪⎪⎝⎭

． 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象的交点，由方程组2

y kx b y ax bx c

=+⎧⎨

=++⎩，

的解的数目确定．

拓展 当方程组有两组不同的解时⇔两函数的图象有两个交点，当方程组只有一组解时⇔两函数的图象只有一个交点，当方程组无解时⇔两函数的图象没有交点．总之，研究直线与抛物线的交点，最终是讨论方程(组)的解的问题． 例如：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则线段 AB 的长是多少?

解：由于x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 故x 1＋x 2＝－b

a ，x 1x 2＝c a

，

所以AB ＝|x 1－x 2|

． 又如：已知y ＝12

x 2＋2x ＋1，求抛物线与y 轴和x 轴的交点． 解：令x ＝0，则y ＝1，∴抛物线与y 轴交于(0，1)．

令y ＝0，则1

2

x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2x 2＝－2，

∴抛物线与x 轴交于(－20)，(－20)． 知识点2 利用二次函数解决实际问题中的最值问题

我们生活的世界是多姿多彩的，无时无刻不在运动变化之中，而万事万物的变化也并不是毫无关联的，而是存在着广泛联系的．二次函数是反映世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．利用抛物线解决实际问题，首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，并求出函数的解析式，通过解析式和图形去研究问题．

拓展 (1)通过前面的学习，我们已经体会到了二次函数是一类最优化问题的数学模型．运用它来解决实际问题必须具备两个条件：其一，会从实际问题中建立数学模型；其二，会根据函数图象以及性质求出最大(最小)值． (2)解答实际问题时，需要注意实际问题的要求和意义． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的关系

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点情况与对应的一元二次方程

ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式有关系．

拓展 (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点情况有三种：有两个交点，有一个交点，没有交点．

(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点情况和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0

的根的情况之间的联系：①当△＝b 2－4ac ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的交点．②当△＝b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根，抛物线

y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有一个交点．③当△＝b 2－4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，抛物线．y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴无交点．

(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点间的距离公式为|x 2－x 1|＝

24b a a -==b 2－4ac ≥0)． 如果抛物线与x 轴有两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，在解题时可综合运用二次函数的知识与一元二次方程的知识． 我们可以借助二次函数的图象来求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解集；反之，我们也可以通过解不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0，达到不画图象求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中y ＞0或y ＜0时x 的取值范围的目的． 知识点4 用图象法求一元二次方程的近似根

由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的关系，从理论上来讲，我们可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根，但必须明确，这种求根方法只能算作是一元二次方程的近似解法． 拓展 一元二次方程的图象解法体现了数形结合思想，我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系，一元二次方程是二次函数的特殊情况，