26.3实践与探索

26.3实践与探索学习目标、重点、难点【学习目标】1、综合应用二次函数有关知识解决实际问题,理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一元二次方程、一元二次不等式的关系.2、通过应用问题的解决，培养学生分析、解决实际问题的能力和创造性思维能力并渗透数学建模的思想和化归思想.【重点难点】1、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.2、二次函数知识的综合运用. 知识概览图抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点是(0，c )抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是，0) 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的 交点由方程组2y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩，的解决定利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系实践与探抛物用图象法求一元二次方程的近似根新课导引【生活链接】如图所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图．位于地面O正上方53km的A处的直升机向目标C发射防空导弹，已知点C距地面2．25 km，与点O的水平距离为7 km，若导弹运行到距地面最大高度为3 km时，相应的水平距离为4 km(即图中点D)．如果导弹的运行轨迹为抛物线形，那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?【问题探究】解决此问题的关键是如何将日常生活中的问题转化为数学问题，如何建立数学模型，并且将所得的解代回到实际问题中，验证是否具有实际意义．【点拨】依题可知抛物线的顶点为(4，3)且过点A(0，53)，故设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋3，当x＝0时，y＝53，所以16a＋3＝53，可得a＝－112，从而知抛物线的解析式为y＝－112(x－4)2＋3，当x＝7时，y＝－112×(7－4)2＋3＝－112×9＋3＝94，即点C(7，2．25)在抛物线上，所以按轨迹运行的导弹能击中目标C教材精华知识点1 抛物线与直线的交点抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点是(0，c)．当b 2－4ac ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点．因为x 轴上的点的纵坐标都为0，所以令y ＝0，代入得ax 2＋bx ＋c ＝0，解这个一元二次方程得x＝，所以抛物线与x 轴交点的坐标是0⎫⎪⎪⎝⎭和0⎫⎪⎪⎝⎭． 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的交点，由方程组2y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩，的解的数目确定．拓展 当方程组有两组不同的解时⇔两函数的图象有两个交点，当方程组只有一组解时⇔两函数的图象只有一个交点，当方程组无解时⇔两函数的图象没有交点．总之，研究直线与抛物线的交点，最终是讨论方程(组)的解的问题． 例如：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则线段 AB 的长是多少?解：由于x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 故x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a，所以AB ＝|x 1－x 2|． 又如：已知y ＝12x 2＋2x ＋1，求抛物线与y 轴和x 轴的交点． 解：令x ＝0，则y ＝1，∴抛物线与y 轴交于(0，1)．令y ＝0，则12x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2x 2＝－2，∴抛物线与x 轴交于(－20)，(－20)． 知识点2 利用二次函数解决实际问题中的最值问题我们生活的世界是多姿多彩的，无时无刻不在运动变化之中，而万事万物的变化也并不是毫无关联的，而是存在着广泛联系的．二次函数是反映世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．利用抛物线解决实际问题，首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，并求出函数的解析式，通过解析式和图形去研究问题．拓展 (1)通过前面的学习，我们已经体会到了二次函数是一类最优化问题的数学模型．运用它来解决实际问题必须具备两个条件：其一，会从实际问题中建立数学模型；其二，会根据函数图象以及性质求出最大(最小)值． (2)解答实际问题时，需要注意实际问题的要求和意义． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点情况与对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式有关系．拓展 (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点情况有三种：有两个交点，有一个交点，没有交点．(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点情况和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况之间的联系：①当△＝b 2－4ac ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的交点．②当△＝b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有一个交点．③当△＝b 2－4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，抛物线．y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴无交点．(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点间的距离公式为|x 2－x 1|＝24b a a -==b 2－4ac ≥0)． 如果抛物线与x 轴有两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，在解题时可综合运用二次函数的知识与一元二次方程的知识． 我们可以借助二次函数的图象来求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解集；反之，我们也可以通过解不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0，达到不画图象求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中y ＞0或y ＜0时x 的取值范围的目的． 知识点4 用图象法求一元二次方程的近似根由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的关系，从理论上来讲，我们可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根，但必须明确，这种求根方法只能算作是一元二次方程的近似解法． 拓展 一元二次方程的图象解法体现了数形结合思想，我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系，一元二次方程是二次函数的特殊情况，即y＝0时的情况．一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根；另一方面，也可以借助求一元二次方程的根来判断图象的位置，使所画的抛物线比较准确．那么如何运用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根呢?下面提供三种方法：(1)直接作函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝－c，则直线y＝－c与抛物线的交点的横坐标就是方程的根；(3)先将方程变为ax2＝－bx－c，再分别作抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c，则两图象的交点的横坐标就是方程的根．课堂检测基础知识应用题1、已知三角形的两边之和为20 cm，这两边所夹的角为120°，如图27－62所示，求三角形的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少?2、已知抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，求△ABC 的面积．3、如图27－63所示，m在什么范围内取值时，二次函数y＝x2－2mx＋m2－1的图象与x轴的两个交点都在－2与4之间?4、若不等式ax2＋abx＋b＞0的解集为1＜x＜2，试确定a，b的值．5、将一根长为l cm的铁丝折成一个矩形，求矩形的面积S和矩形的一边长t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．6、在体育测试时，初三的一名高个子男同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图27－65所示，如果这个男同学的出手处，即A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球掷出去多远?(精确到0．01 m153．873)综合应用题7、如图27－66所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α，β，OA＝1 km，tan α＝928， tanβ＝38，位于O点正上方53km的D处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3 km时，相应的水平距离为4 km，即图中E点．(1)若导弹运行轨迹为一抛物线，求该抛物线的解析式；(2)按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C?8、如图27－67所示，某隧道设计为双向回车道，车道宽 22 m，要求通过车辆限高4．5 m，隧道全长2．5 km，隧道的顶部近似地看成是抛物线形状，若最大拱高为6 m，求隧道应设计的跨度是多少．9、已知二次函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2的图象与x轴有两个交点．(1)求m的取值范围；(2)当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，求m的值．10、有一种葡萄，如果从树上摘下后不保鲜，那么最多只能存放一周，如果放在冷藏室，那么可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期间的个体重量基本保持不变，现有一个个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克并放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克葡萄的价格每天可上涨0．2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．(1)设x天后每千克葡萄的市场价为P元，写出P与x的函数关系式；(2)若存放x天后将葡萄一次性出售，设葡萄的销售总金额为y元，写出y 关于x的函数关系式；(3)该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获最大利润W?最大利润W是多少?(本题不要求写自变量x的取值范围)探索与创新题11、已知抛物线开口向下，并且经过A(0，1)和M(2，－3)两点．(1)若抛物线的对称轴为直线x＝－1，求抛物线的解析式；(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；(3)如果抛物线与x轴交于B，C两点，且∠BAC＝90°，求此时a的值．)，则销售量增加Px成 (P 12、一商场的某种商品的价格下降x成(1成＝110为大于1的常数)．(1)当x在什么范围内取值时，售出的总金额有所增加?(2)当x为何值时，才能使售出的总金额达到最大值?体验中考1、某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利 25％，设每双鞋的成本价为a元．(1)试求a的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 与 x 之间的关系如图27－72所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式；②求年利润S (万元)与广告费x (万元)之间的函数关系式，并计算广告费x (万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S (万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S ＝年销售总额－成本费－广告费)2、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图27－73所示的矩形ABC D ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． (1)求S 与x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当x 为何值时，S 有最大值?并求出最大值． (参考公式：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x ＝－2ba时，y 最大(小)值＝244ac b a )3、某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天 180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x 的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查求实际问题中的二次函数的最值．已知三角形两边之和为20 cm，应设其中一边为x cm，并将这条边的高用含x的代数式表示，即可把该三角形的面积表示为x的函数．解：△ABC中，设BC边的长为x cm,则AB＝(20－x)cm．过A作BC边上的高AD，与CB的延长线交于点D，∵∠ABD＝180°－120°＝60°，∴AD＝AB·sin∠ABD(20－x)，∴△ABC的面积为y＝12x·(20－x)，即yx2＋a＜0，∴当x⎝⎭10时，y⎝⎭此时20－x＝10(cm)．即这个三角形的最大面积为2，三角形这两边的长均为10 cm．【解题策略】在解题时，注意把三角形的面积转化为二次函数以后，求最大值时要恰当选用方法．2、分析本题主要考查抛物线与坐标轴的交点坐标的求法．解：由关系式知，点C的坐标为(0，8)，将y ＝0代入关系式，得x 2－6x ＋8＝0， 解得x 1＝2，x 2＝4，即A ，B 两点的坐标为A (2，0)，B (4，0)． ∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·|y C |＝12×2×8＝8．3、分析 本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系．因为a ＝1＞0，所以抛物线开口向上，只有顶点在x 轴下方时，抛物线才能与x 轴有两个交点，解得－这时顶点的纵坐标应小于0，即224(1)(2)4m m ---＜0，1＜0，这说明m 取一切实数时，顶点恒在x 轴的下方． 解法1：∵两个交点都在－2和4之间， ∴当x ＝－2和x ＝4时，都有y ＞0成立．根据题意得2222(2)2(2)1042410m m m m ⎧---+->⎪⎨-⨯+->⎪⎩，， 解得3135m m m m <->-⎧⎨<>⎩或，①或.②∵抛物线的对称轴为直线x ＝m ，∴2＜m ＜4，③ ∴－1＜m ＜3．当－1＜m ＜3时，二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1的图象与x 轴的两个交点都在－2和4之间．解法2：令y ＝0，得x 2－2mx ＋m 2－1＝0，∵△＝(－2m )2－4(m 2－1)＝4＞0， ∴m 取一切实数时，方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0恒有两个不相等的实数根，解得x ＝m ±1．由题意得214214m m -<+<⎧⎨-<-<⎩，，解得－1＜m ＜3．【解题策略】 二次函数与一元二次方程互相转化，往往会给解题带来很大方便．4、分析 本题主要考查不等式与二次函数的联系． 解法1：设y ＝ax 2＋abx ＋b ，由题意可知a ＜0， 画函数图象，如图27－64所示．由根与系数的关系得1212aba b a⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，，解得323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，.解法2：从图中能够看出，1和2是图象与x 轴交点的横坐标，则x ＝1和x ＝2是方程ax 2＋abx ＋6＝0的两个根，所以0420a ab b a ab b ++=⎧⎨++=⎩，，解得323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，.5、分析 本题主要考查利用二次函数解决实际问题．解这类问题时注意自变量的取值范围．解：∵矩形的周长为l ，一边长为t ， ∴矩形的面积为S ＝(2l －t )·t ＝－t 2＋2l t ． ∵t ＞0，2l －t ＞0，∴0＜t ＜2l ，∴S 与t 的函数关系式为S ＝－t 2＋2lt ，且0＜t ＜2l ．6、解：(1)因为抛物线的顶点为(6，5)，且开口向下，所以其对称轴为直线x ＝6．根据抛物线的对称性可知，抛物线上的点A (0，2)关于直线x ＝6的对称点D (12，2)必在该抛物线上．设所求二次函数的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则有23665144122c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得11212a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，， 所以所求二次函数的解析式为y ＝－112x 2＋x ＋2． (2)设抛物线与x 轴正半轴的交点C 即为铅球的落地点． 此时y ＝0且x ＞0，即－112x 2＋x ＋2＝0， 解得x 1＝6＋13．75，x 2＝6－0(不合题意，舍去)． 所以该男生把铅球掷出去约13．75 m ．7、分析 本题主要考查借助已建立的平面直角坐标系中二次函数的图象，将抛物线上的点的坐标和问题中的各数量关系联系在一起，转化为用方程(组)解决实际问题，此题是二次函数与锐角三角函数的综合应用． 解：(1)设导弹运行轨迹的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ． 由题意知顶点坐标为(4，3)，∴y ＝a (x －4)2＋3．又图象过D(0，53)，∴53＝a(0－4)2＋3，解得a＝－112，∴所求抛物线的解析式为y＝－112(x－4)2＋3，即y＝－112x2＋23x＋53．(2)设C点坐标为(x0，y0)，过C作CB⊥x轴于B．在Rt△OBC和Rt△ABC中，OA＝1，∴tanα＝0yx＝928，tanβ＝01yx＝38，∴928x＝38(x0－1)，解得x0＝7．当x0＝7时，y0＝94，∴点C坐标为(7，94)．∵－112x2＋23x＋53＝－112×72＋23×7＋53＝94＝y0，∴点C(7，94)在抛物线上．因此，导弹能击中目标C8、分析本题主要考查将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系即可．解：建立如图27－68所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点A的坐标为(0，6)，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6．∵抛物线经过点(11，4.5)，∴4．5＝112a＋6，∴a＝－3242，y＝－3242x2＋6．当y＝0时，即－3242x2＋6＝0，解得x＝±22，∴隧道跨度是44 m．9、分析图象与x轴的交点的横坐标，即当y＝0时x的值，当△＞0时，图象与x轴有两个交点．解：(1)根据题意得方程x2＋(2m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，△＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1，∴4m＋1＞0，解得m＞－14．(2)设图象与x轴两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．则由根与系数的关系得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2．又∵x21＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，∴[－(2m＋1)]2－2m2＝7，即m2＋2m－3＝0，解得，m1＝－3，m2＝1．又∵m的取值范围是m＞－14，∴m＝－3不合题意，舍去，∴m＝1，∴当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，m等于1．【解题策略】本题主要考查一元二次方程与二次函数之间的关系．解此类题有两点要注意，其一是把抛物线与x轴交点的横坐标跟一元二次方程的判别式联系起来；其二是根据题中所给条件，列方程或方程组、不等式组等进行求解． 10、分析本题主要考查利用二次函数知识解决实际问题．解：(1)P＝2＋0．2x．(2)y＝(2＋0．2x)(200－x)＝－0．2x2＋38x＋400．(3)W＝y－20x－2×200＝－0．2x2＋38x＋400－20x－400＝－0．2x2＋18x．当x＝－182(0.2)⨯-＝45时，W最大＝405．11、分析 (1)由A(O，1)和M(2，－3)，结合对称轴为直线为x＝－1，可求抛物线的解析式．(2)由a，b，c的关系确定a的取值范围．(3)根据二次函数与一元二次方程的关系可求a的值．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得1 12 4231112aca b c bb ca⎧⎧=-⎪⎪=⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪=⎪⎪-=-⎩⎩，，，解得，，，∴抛物线的解析式为y＝－12x2－x＋1．(2)由题意得1423ca b c=⎧⎨++=-⎩，，消去c，得b＝－2a－2．又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩，，∴b＜0，∴b＝－2a－2＜0，解得a＞－1，∴a的取值范围是－1＜a＜0．(3)由抛物线开口向下，且经过点A(0，1)知，它与x轴的两个交点B，C分别在原点的两侧，如图27－69所示，此时B，C两点的横坐标异号．OA＝c＝1．∵∠BAC＝90°，OA⊥BC于O，∴OA2＝OB·O C．又∵b＝－2a－2，c＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2(a＋1)x＋1．设此抛物线与x 轴的两个交点的坐标为B (x 1，0)，C (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2－2(a ＋1)x ＋1＝0的两根，∴x 1x 2＝1a ，∴OB ·OC ＝|x 1||x 2|＝|x 1x 2|＝－x 1x 2，∴OB ·OC ＝－1a ． 又∵OA 2＝OB ·OC ，OA ＝1，∴c ＝－1a ，∴a ＝－1．【解题策略】 二次函数与一元二次方程之间有着十分密切的联系，解这类问题一般是通过一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式来求解．同时要注意挖掘题中对字母的限制条件、抛物线与x 轴交点位置的限制条件，才能正确解题．12、分析 本题主要考查二次函数性质的灵活运用．解：(1)根据题意得(1－110x )(1＋10P x )－1＞0， 整理，得 x 2－(10P －110)x ＜0，即x (100P x －10P ＋110)＜0． ∴x ＞0且x ＜10(1)P P -，∴当0＜x ＜10(1)P P -时，售出的总金额有所增加． (2)y ＝(1－110x )(1＋10P x )－1＝－100P x 2－(110－10P )x ， ∴当x ＝－110102100P P -⨯＝5(1)P P -时，售出的总金额最大． 体验中考1、解：(1)由题意得a (1＋25％)＝250，解得a ＝200(元)．(2)①依题意可设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋1，则421 1.361641 1.64a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得0.010.2a b =-⎧⎨=⎩，， ∴y ＝－0．01x 2＋0．2x ＋1．②S ＝(－0．01x 2＋0．2x ＋1)×10×250－(－0．01x 2＋0．2x ＋1)10×200－x ，即S ＝－5x 2＋99x ＋500，整理得S ＝－5(x －9．9)2＋990．05．∴当0＜x ＜9．9时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．(注：0＜x ≤ 9．9，0≤x ≤9．9均可)2、解：(1)由题意得S ＝AB ·BC ＝x (32－2x )，∴S ＝－2x 2＋32x ．(2)∵a ＝－2＜0，∴S 有最大值．∴当x ＝－2b a ＝－322(2)⨯-＝8时， S 最大值＝244ac b a-＝2324(2)-⨯-＝128． ∴当x ＝8时，S 有最大值，是128．3、分析 本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y ＝－12x 2＋10x ＋18000(3)当y＝17600时，x2＋10x＋400＝0，－12即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．。