统计学第五章 概率分布与抽样分布

P( A) p m n
当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为 其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频 率方法）：贝努利概型
2-8 6
事件的概率
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率
实验 正面 次数
1 2 3 1 1 1
正面/ 实验次数
1.00 0.50 0.33
4
5 6 7

2 - 14 6
——因此，随机变量及其概率分布是描述随机现象的重要工具。
1. 离散型随机变量的概率分布
1.
离散变量X的概率分布 ——离散型随机变量X的每一个可能的取值xi 与其概率 pi （i=1，2，3，…，n）之间所确立的对应关系称为这个 离散型随机变量的分布。
2.
概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi≥0，i=1,2,…,n； （2）
1
2 3 4
0.25
0.40 0.50 0.57
，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面
的频率稳定在1/2左右
正面 /试验次数 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0 2-9 6 25 50 75 试验的次数 100 125
8
9 10 11 12 13 14 15 16
5
6 7 8 9 9 9 9 10


不可能事件是一个空集（Φ ）
2-6 6
二、随机事件的概率
1.
概率

用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间，0<P(A)<1
2-7 6
概率的统计定义
当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳 定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度 一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件 A发生的概率
0.5069
0.5016 0.5005 0.4979
三、随机变量的概念
1.
随机变量——表示随机试验结果的变量

取值是随机的，事先不能确定取哪一个值
一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则 用相应的小写字母如x、y、z…来表示
2.
根据取值特点的不同，可分为：
0.63
0.67 0.70 0.73 0.75 0.69 0.64 0.60 0.63
17
18 19 20
10
10 11 12
0.59
0.56 0.58 0.60
历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验：
试验者
试验次数
正面出现的频率
Baidu Nhomakorabea蒲丰
K.皮尔逊 K.皮尔逊 罗曼诺夫斯基
2 - 10 6
4040
12000 24000 80640

2-5 6
显然，样本空间等同于集合论中的全集，基本事件对应于全集中 的元素，满足某些规定性质的随机事件就是集合论中的一个 子集。
随机事件（续）
1.
随机事件的两种特例

必然事件

在一定条件下，每次试验都必然发生的事件 必然事件发生的概率为1 不可能事件 在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件

2-4 6
随机事件（事件）
1.
随机事件（简称事件）

随机试验的每一个可能结果 常用大写英文字母A、B、… …、来表示
2.
基本事件（样本点）——中国足球队胜、负、平

不可能再分成为两个或更多事件的事件：
在一项随机试验中，每一个基本事件称为一个样本点 ，而所有样本点构成这项试验的样本空间。
3.
样本空间（Ω ）
2 - 12 6
随机变量 取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
可能的取值 0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
连续型随机变量
1.
2.
随机变量 X 取无限个值
所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某 一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子
3.
p
i
i
1
概率函数
P(X= xi)= pi
离散型概率分布的表示：
X = xi
2 - 15 6
x1
x2
…
xn
P(X =xi)=pi
p1
p2
…
pn
离散型随机变量的概率分布
（实例）
【例】如规定打靶中域Ⅰ得2分，中域Ⅱ得1分，中域 Ⅲ及中域外得0分。今某射手每100次射击，平 均有30次中域Ⅰ，60次中域Ⅱ，10次中Ⅲ及中 域外。则考察每次射击得分为 0, 1, 2这一离散 型随机变量，求其概率分布。

这种关系通常可以用公式或定律来表示
2.
随机现象 （有不确定性，但不等同于偶然现象）

十五的夜 晚能看见 月亮？
在相同条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定
大量观察的结果会呈现出某种规律性
（随机性中寓含着规律性） ——统计规律性
2-3 6
随机试验
1.
严格意义上的随机试验满足三个条件：


试验可以在相同的条件下重复进行；
每次试验的可能结果不止一个，但试验的所有可能结 果在试验之前是明确可知的； 每次试验只能观察到可能结果中的一个，但在试验结 束之前不能肯定哪一个结果会出现。 实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从 广义角度来理解。

2.
广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）


离散型随机变量——取值可以一一列举
连续型随机变量——取值不能一一列举
2 - 11 6
离散型随机变量
1.
随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列 举出来 X1 , X2，…
以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子
2. 3.
试验 抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
试验 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼
随机变量 使用寿命(小时)
可能的取值 X0 X0
半年后工程完成的百分比 0 X 100
测量一个产品的长度 测量误差(cm)
2 - 13 6
四、随机变量的概率分布
1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数

不同的随机试验，其样本空间的具体构成千差万别。 但是，实质上，如果把具体内容抽象掉，将随机事件数量化，就会 发现许多随机试验中概率的计算具有某种共同性，遵循某一种概率 分布模型。 只要能找到这些概率分布模型，就会为我们计算概率和研究同类随 机现象的规律性提供方便。
学习目标
1. 2. 3. 4. 5.
了解随机事件及概率分布
理解抽样分布的意义
了解抽样分布的形成过程
理解中心极限定理
理解抽样分布的性质
2-1 6
第一节
随机事件与概率分布
2-2 6
一、随机试验与随机事件
1.
十五的月亮比 初十圆！
必然现象（确定性现象）

变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然 导致某一结果