用卡诺图表示逻辑函数
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
卡诺图的认识
卡诺图的认识一、卡诺图的含义：把N个逻辑变量的全部最小项按一定规则排列出来的小方格矩形图。
1．最小项：由每一个变量构成的乘积项（与项），每个变量在乘积项中，只能以原变量或反变量的形式，仅出现一次；N个逻辑变量的逻辑函数构成的最小项个数m=2N。
2．一定规则：（1）卡诺图的画法。
将逻辑变量的个数N分为纵、横两组，若N为奇数：则纵、横两组任一组多一个变量都可以；若N为偶数；则纵、横两组平分。
以格雷码对变量进行二进制编码，分别作为纵、横坐标，纵、横坐标编码的一一对应点，即为小方格。
（2）几何相邻：相邻——紧挨；相对——行或列的两头；相重——对称点。
特点；最小项中只有一个变量取值不同。
二、用卡诺图表示逻辑函数①从真值表画卡诺图。
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0 或 1）即可。
需注意二者顺序不同。
②从最小项表达式画卡诺图。
把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入 1，其余的小方块中填入 0（0 一般不用写出）。
三、逻辑函数的卡诺图化简法1．最关键的步骤是：组圈。
正确组圈的原则是：①必须按 2、4、8、…2N的规律来圈取值为 1 的相邻最小项②每个取值为 1 的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次。
③圈的个数要最少（“与”项就少），即不要出现多余的圈（如果一个圈中所包含的最小项都是其他圈所包含了的，则这个圈就是多余的），另外，圈要尽可能大（消去的变量就越多）。
2．卡诺图中最小项合并的规律是：合并相邻最小项，可消去变量。
合并两个相邻最小项，可消去一个变量；合并四个相邻最小项，可消去两个变量；合并八个相邻最小项，可消去三个变量；合并 2N个最小项，可消去N个变量。
消去的是合并的相邻最小项中不同取值的变量，留下的是相同取值的变量——去“变”留“同”。
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m 0, m １,m ２,……来编号。
1010001111001A BCAB CD B A 0001111000011110m m m m m mmmm m m m 012300112233m m m m m m m m m m m m m m m m 456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的五种描述方法
逻辑函数的五种描述方法
逻辑函数的五种描述方法包括：
1.真值表：逻辑函数的真值表是一种描述逻辑函数的方法，它列出逻辑函数的输入和
输出变量的所有可能组合，以及对应的函数值。
2.表达式：逻辑函数可以用布尔代数表达式来描述，例如和、差、积、商、最大项、
最小项等。
这些表达式可以用来表示逻辑函数，并且可以方便地用于逻辑函数的计算和化简。
3.逻辑图：逻辑图是一种描述逻辑函数的方法，它用电路元件和连线来表示逻辑函数。
在逻辑图中，每个电路元件代表一个逻辑运算，每个连线代表一个逻辑变量。
4.卡诺图：卡诺图是一种描述逻辑函数的方法，它用方格来表示逻辑函数。
在卡诺图
中，每个方格代表一个逻辑函数，每个方格中的涂色表示逻辑函数的取值。
5.表格：逻辑函数也可以用表格来描述，表格列出逻辑函数的输入和输出变量的所有
可能组合，以及对应的函数值。
这些描述方法可以互相转换，并且在实际应用中根据需要选择合适的方法。
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数卡诺图表示方法
逻辑函数卡诺图表示方法从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。
确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。
例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。
下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表3.最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。
例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。
对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。
解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m4.最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
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24
2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.17]：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑
函数式。
Y ABC ABD CD ABC ACD ACD
解： Y CD
AB 00 01 11 10
D
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
第五节 逻辑函数的化简
A A 1
可在逻辑函数式中的某一项乘 ( A A)，
然后拆成两项分别与其他项合并。
[例2.5.13]：Y BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
AB AC
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则可合并为一项并消去一对因子。 2. 若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
B
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
卡诺图化简的步骤：
1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。
选取乘积项的原则： 1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 2. 所用的乘积项数目最少。 3. 每个乘积项包含的因子最少。
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2020/3/4
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
用卡诺图表示逻辑函数
L ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
m( 0,6,10,13,15 )
L CD 00 01 11 10
AB 00 0 1 1 1
2. 填写卡诺图
01 1 1 1 0 11 1 0 0 1
10 1 1 1 0
用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, 所得到的图形叫n变量的卡诺图。 逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。
如最小项 m6=ABC、与 m7 =ABC 在逻辑上相邻
D
C
2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特 点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
3. 已知逻辑函数画卡诺图Fra bibliotek当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中 最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可 用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都 等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。
m6 m7
两变量卡诺图
AB 0 1
0 AmB0 AmB1 1 mAB2 AmB3
三变量卡诺图 B
BC A
00
01
11
10
0 AmB0C AmBC1 AmBC3 AmBC2
A 1 AmBC4 AmBC5 AmBC7 AmBC6
四变量卡诺图
C CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14 B 10 m8 m9 m11 m10
第五次课 公式化简法及逻辑函数的卡诺图表示法1
5
2.6.1 公式化简法
公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式 和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件 不同，最终要得到的逻辑函数的形式不同，其最简的 定义也不同。
对于要用小规模集成门电路实现的电路，常用的 门为与非门、或非门、与或非门等。由上一节可 知，其最终都可以由与或式、或与式转换而成。 故 最常用的是最简与或式和最简或与式。
数字电子技术基础
阎石主编（第五版） 信息科学与工程学院基础部
常见逻辑函数的几种形式
【 】 内容 回顾
与或式、与非-与非式、与或非式、 或非-或非式
两次取反
与或式
与非-与非式
摩根定理展开
★
摩根定理
展开 与或摩 非式
★
根反 定用
理
★
或非-或非式
1
2.6 逻辑函数的化简方法
一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式， 虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成 本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单 可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数 进行简化。 注：随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。 逻辑函数是否“最简”已无太大意义。但作为设计思 路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是 不能忽视的。
22
A + A′B = A + B
23 AB + A B ′ = A 24
A( A + B ) = A
25
AB + A ′ C + BC = AB + A ′ C
8
1. 并项法
利用公式 AB + AB′ = A将两项合并成一 项，并消去互补因子。
三、用逻辑图描述逻辑函数
2.15：Y3=(((AB’)’+D)(B’+C)’)’ 2.19(b)：Y(A,B,C,D)= m(2,7,8,10,13)
= A’B’CD’+A’BCD+AB’C’D’+AB’CD’+ABC’D
2.22：Y(A,B,C,D) = m(1,3,6,7,9,10,11,14)
小 结
逻辑函数的五种表示方法：真值表、逻辑表达式、 逻辑图、波形图和卡诺图；关键是相互间的转换。
B A ABCD Y (A ,B ,C ,D ) A C B C D C D B A B ABCD A C D C D A B C D B A AB A C D B C D C D m ( 0 , 1 , 4 , 8 , 10 , 12 , 15 )
Y(A,B,C,D)=m(0,1,4,8,10,12,15)
2.3.7 逻辑函数描述方法间的转换
1.逻辑函数式与真值表之间的转换 (1)、由真值表写出逻辑函数式
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 1 0 1 0 1
（2）、二变量全部最小项的卡诺图 Y AB 00 01 11 10 Y= F（A、B） AB AB AB AB Y B 0 1 A 0 m0 m 1 01 11 10 Y AB 00 m0 m 1 m3 m 2 1 m2 m 3
（3）、三变量全部最小项的卡诺图 Y=F（A、B、C） Y BC 00 A 0 m0 1 m4 01 11 10 YC 0 1 AB 00 m0 m1 01 11 10
输入变量取值为 1 用原变量表 示;反之，则用反变量表示 逻辑函数式： A’BC、AB’C、ABC 挑出函数值为1的输入组合 写出函数值为1的输入组合对应的乘积项 将这些乘积项相加就得到逻辑表达式 F = A’BC+AB’C+ABC
第五讲 逻辑函数的卡诺图表示及卡诺图化简法
图形法化简函数
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC 化为最简与非—与非式 A B C BC 解： CD AB 00 01 11 化简得： 00 1 1 F AC BC AD BD ABC 01 1 1 BD 11 1 1 1 最简与非—与非式为： 10 1 1
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC 化为最简与非—与非式。 CD AB 00 01 11 10 解： ACD 00 1 1 0 m14,m15 0 01 1 0 1 两次填1 1 1 1 AB 11 1 1 10 B CD AC ABC 0 1
1
1
二、逻辑函数的卡诺图化简法
10
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图实际上是按格雷码排列， 具有很强的相邻性：
3、卡诺图上的相邻项 （1）直观相邻性： 只要小方格在几何位置上（不管上下左右）相邻，它 代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。
C
m
0
m
1
m
3
m
2
（2）循环相邻性： 每行、列的两头相邻 （3）对称相邻性： 五变量卡诺图折叠相邻
10
1
1
1
F F AC BC AD BD ABC
AC BC AD BD ABC
AD
AC
图形法化简函数
例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡 诺图 BC A B C F A 00 01 11 10 0 0 0 1 1 AB 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 ABC 1 0 1 0 得： 1 1 0 0 F= ABC + AB 1 1 1 0
3-3 逻辑函数的卡诺图化简法
F A, B, C BC A A BC ABC ABC m2 m6
A BC 0 1 00 0 0 01 0 0 11 0 0 10 1 1
方法二：将逻辑式表示成与或式，与项代表的最小项 在卡诺图中出现在行变量与列变量的交叉位置。在与项中 未出现的变量既以原变量形式出现，也以反变量形式出现。
2345任何n个变量的卡诺图是一块矩形区域该区域被划分为2个小方格每个小方格代表一个最小项所有最小项按一定顺序排列使几何相邻的最小项在逻辑上也相邻
3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
3.5.1 最小项与最大项
1. 最小项与最大项的定义 最小项：n个变量的最小项是这n个变量的逻辑乘，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
ABC ABC ABC m7 m6 m0 m 0,6,7
或与标准型：任何一个逻辑式都可以表示成若干个最大项 积的形式。 F A, B, C m 0,6,7
m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 M1M 2 M3M 4 M5 M 1,2,3,4,5
最大项：n个变量的最大项是这n个变量的逻辑和，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
三变量最小项和最大项的表示方法
2. 最小项和最大项的性质 (1) 给定n个变量的一组取值，这n个变量的2n个最小项中只 有一个等于1，2n个最大项中只有一个等于0。
(2) 全部最小项之和恒等于1；全部最大项之积恒等于0。 (4) 若干个最小项的和等于其余最小项和的反。
m2 m6
m18
数字逻辑电路- 逻辑函数的卡诺图
第二章 逻辑函数及逻辑门2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。
2-3-l 卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。
二变量 卡诺图三变量 卡诺图四变量卡诺图例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。
Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10)解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图例2-14试画出的卡诺图。
解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式：Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15)同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。
例2-15 试画出函数Y的卡诺图。
Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6)解作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量卡诺图Y＝AD+ABC+BCD+ABCD2-3-2用卡诺图化简函数 一、卡诺图化简原理 (1) 圈1法(最小项之和) ● 规则 ● 表达式例2-17 试用卡诺图化简函数Y ＝f (A ，B ，C)＝∑m (0，2，4，7)。
逻辑函数的卡诺图
1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为最小项通常用mi例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而按此原则，3个变量的最小项011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
逻辑函数卡诺图化简
11
二、用卡诺图表示逻辑函数
0100
最简与非—与非式为： 本节的重点是逻辑函数的卡诺图表示法和卡诺图化简方法。
1111 n个变量的函数--k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；
BD
11 10
1
1 1
1 1
1 1
八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量
F F AB CA CB D D A B C
1100
01 1 0 0 1
八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量
0101 1011
说明：如果求得了函数
1 1 1Ｙ1 的反函数Ｙ，则对Ｙ中所
11 0 0 0 0 10 0 0 1 1
包含的各个最小项，在卡诺 图相应方格内填入0，其余
ＢＣ的公因子
方格内填入1。
图形法化简函数
一A 、 A卡B诺C图D合 并A B最C小D项的规则：
0001111000011110abcd两个相邻格圈在一起两个相邻格圈在一起结果消去一个变量结果消去一个变量abdad000111100001111011abcd四个相邻格圈在一起四个相邻格圈在一起结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起八个相邻格圈在一起结果消去三个变量结果消去三个变量十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起结果一起结果mmii并在一起构成正方形或矩形圈消去i个变量而用含ni个变量的积项标注该圈
并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量， 而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。
CDE
AE
AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
逻辑函数的卡诺图
数字逻辑基础 【例】 解 画出函数 Z ( A B)C ( B C )D 的卡诺图。
Z ( A B)C （B C）D ( A B AB )C ( BC B C ) D A BC AB C B C D BCD
式中:
A BC m6 m7 AB C m10 m11 B C D m1 m9 BCD m7 m15
卡诺图
BC A 0 1
00 0 0
01 0 1
11 1 1
10 0 1
1 1
1 1
0
1
1
1
数字逻辑基础
（2）如果给出的是逻辑函数的标准与或式——最小项表达式， 只要 在变量卡诺图上找到函数表达式所包括的全部最小项对应的小方格，并填 上1，其余的小方格填0，即可得函数的卡诺图。
CD 00 AB 00 0 01 11 10 0 0 0
数字逻辑基础
3、最小项编号
对最小项进行编号主要是为了叙述和书写方便， 编号的方法是：
•
把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进
制数就是该最小项的编号。 • 例如变量A、 B、C的最小项 对应的变量取值组合是 000，相应的十进 ABC 制数是“0”，因此其编号是“0”，记作m0。表中列出了三变量A、B、C的 每个最小项的相应编号。
例如：两变量函数 而
AB
A
AB
是最小项 不是最小项
A B
A AB
数字逻辑基础
2、最小项的性质为：
• 每一个最小项对应了一组变量取值，而任意一个最小 项只有对应的那一组变量取值组合使其值为1； • 对于某一种取值，任意两个最小项的积恒为0； • 对于某一种取值，全体最小项之和恒为1； • 若两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小 项为逻辑相邻项。n变量函数，每个最小项有n个最小项 与之相邻。
用卡诺图表示逻辑函数
其中， “·〞为逻辑乘符号， 也可省略。
F=A·B
(1-5)
第1章 数字电路基础
A
B
E
F
图1-1 与电路图
第1章 数字电路基础
表1-5 与 真 值 表
第1章 数字电路基础
逻辑乘的运算规那么是
0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1
第1章 数字电路基础
2. 或逻辑
或逻辑的逻辑关系为当所有原因中的一个原因满足条件时结果就成立。在逻辑代数中，或逻辑又称逻辑 加。图1-2所示的是用2个并联开关控制一盏灯电路，为或逻辑电路。可看出， 2个开关中只要有一个闭合， 灯就亮；假设想要灯灭，那么2个开关必须全断开。或逻辑关系的真值表见表1-6， 由表可得，或逻辑为：输 入有1， 输出为1；输入全0，输出为0。或逻辑的函数表达式为
例1-2 将二进制数(1110.011)2 转换成十进制数。
解
(1110.011)2=1×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3 =8+4+2+0.25+0.125 =(14.375)10
第1章 数字电路基础
2. 十进制数转换成二进制数可将整数局部和小数局部分开进展。 十进制的整数局部可用“除2取余〞法转换成相应的二进制数， 即将这个十进制数连续除2，直至商为0， 每次除2所得余数的组合便是所求的二进制数。注意最先得出的余数对应二进制的最低位。
表1-1 9位二进制的权值
第1章 数字电路基础
例1-1 将二进制数(101101011)2转换成十进制数。 解
(101101011)2=1×28+0×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21 +1×20 =256+64+32+8+2+1 =(363)10
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=(45)10
第1章 数字电路基础 任意二进制数可表示为
( N )2
i
i K 2 i
其中, i同样为-∞～+∞之间的任意整数；Ki为第i位的数码，可是0 或1；2i为第i位的“权” 数。如一个带小数的二进制数 101.101 可按式(1-2) 展开表示为 (101.101)2=1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3
(2347.35)10=2×103+3×102+4×101+7×100+3×10-1+5×10-2
第1章 数字电路基础
2.
二进制数只有两计数码0和1， 每位的基数为2， 即相邻两
位数值相差 2 倍基数，计数规律是“逢二进一”。如一个二进
制数101101可表示为 (101101)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20 =32+8+4+1
第1章 数字电路基础
第1章 数字电路基础
1.1 数字系统中的计数体制与编码
1.2 逻辑函数
1.3 逻辑函数的卡诺图化简法
本章小结
第1章 数字电路基础
1.1 数字系统中的计数体制与编码
1.1.1 用数码表示数量的多少称为计数， 而用何种方法来计数则 是计数体制问题。 我们在日常生活及生产中广泛使用的计数体 制是十进制。 而在数字系统中讨论的是用电路实现逻辑关系的
(132.4)8=1×82+3×81+2×80+4×8-1
=(90.5)10
第1章 数字电路基础 4. 十六进制数使用0～9、A、B、C、D、E、F等16个数码， 其中A代表10、 B代表11、C代表12、D代表13、E代表14、F 代表15，每位的基数为16。其表达式为
( N )16
i
第1章 数字电路基础 例1-4 将十进制数(0.843 75)10转换成二进制数。 解 用乘2取整法过程如下:
得(0.84375)10=(0.11011)2。
对于同时具有整数和小数部分的数，可将其分解为整数部
分和小数部分，再分别转换。
第1章 数字电路基础
例1-5 将十进制数(23.3125)10转换成二进制数。 解
一”，每位的基数为10(相邻2位数值相差十倍基数)。
任意一个十进制数可表示为
( N )10
i
i K 10 i
第1章 数字电路基础 式中，Ki为第i位的数码；i为数码的位数。其中Ki可以是（0～9）
十个数码之一，i可为-∞～+∞之间的任意整数，10i则为第i位的
“权” 数。例如：
数的组合便是所求的二进制数。注意最先得出的余数对应二进
制的最低位。
第1章 数字电路基础 例1-3 将十进制数(47)10转换成二进制数。 解 用除2取余法过程如下:
得 (47)10=(101111)2
第1章 数字电路基础
十进制的小数部分可用“乘2取整”法转换成相应的二进制 数， 即将这个十进制数小数部分连续乘2，直至为0或满足所要 求的误差为止。每次乘2所得整数的组合便是所求的二进制数。 注意最先得出的整数对应二进制的最高位。
=4+1+0.5+0.125=(5.625)10
此表达式也称为按权展开式。
第1章 数字电路基础
3.
八进制有0～7八个数码， 每位的基数为8，计数规律是
“逢八进一”。 其表达式为
( N )8
i
i K 8 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中，Ki可取0～7八个数码之一，8i为第i位的“权” 数。例如 一个八进制数132.4可按式(1-3) 展开表示为
第1章 数字电路基础 1.1.2
1.
将二进制转换成十进制的方法为按式(1-2)按权展开， 二进
制的权为2i。为便于熟练转换，
表1-1 9位二进制的权值
第1章 数字电路基础 例1-1 将二进制数(101101011)2转换成十进制数。 解
(101101011)2=1×28+0×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21 +1×20
二进制转换成十六进制，可将二进制数以小数点为基点，
分别向左和向右“每4位为一组，不够添0”，直接将二进制转换 成十六进制。
第1章 数字电路基础 例1-6 将二进制数(11101.01)2转换成八进制数。 解
011 101 . 010
3 5 .2
得(11101.01)2=(35.2)8。
第1章 数字电路基础 例1-7 将二进制数(1011010101.01)2转换成十六进制数。 解 0010 1101 0101 . 0100 2 D 5 . 4
i K 16 i
其中， Ki 可取 0 ～ F 这 16 个数中的任意一个数码， 16i 则为第 i 位的
“权” 数。例如一个十六进制数A3F.C可按式(1-4) 展开表示为
(A3F.C)16=A×162+3×161+F×160+C×16-1
=2560+48+15+0.75=(2623.75)10
=256+64+32+8+2+1 =(363)10
第1章 数字电路基础 例1-2 将二进制数(1110.011)2 转换成十进制数。 解 (1110.011)2=1×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3
=8+4+2+0.25+0.125
=(14.375)10
第1章 数字电路基础 2. 十进制转换成二进制 十进制数转换成二进制数可将整数部分和小数部分分开进行。 十进制的整数部分可用“除2取余”法转换成相应的二进制 数， 即将这个十进制数连续除 2，直至商为0，每次除2所得余
问题，采用的是二进制计数体制。二进制数太长时会使计数不
方便，故经常采用八进制和十六进制进行辅助计数。
第1章 数字电路基础 1. 十进制 我们都知道，一个数的大小由两个因素决定，一个是这个 数位数的多少， 另一个是每位数码的大小。 我们熟悉的十进制 数每位的数码是0～9，超过9的数就要用多位表示，即“逢十进
得 (23.3125)10=(10111.0101)2。
第1章 数字电路基础 3. 二进制与八进制、 由于八进制的基数为 8 ，而 8=23 ，因此，1 位八进制数刚好 换成 3位二进制数。同样，十六进制的基数为 16 ，而16=24，因 此， 1位十六进制数刚好换成4位二进制数。 二进制转换成八进制，可将二进制数以小数点为基点，分 别向左和向右“每3位为一组，不够添0”，直接将二进制转换成 八进制。