第四章 正 态 分 布 体育统计学

第四章 正 态 分 布

如果将第二章中的（表2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。（图4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图4 —

2）所示的平滑的曲线。这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。随机变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

图4 — 1 频数多边形图

第一节 正态分布曲线的形式

如果随机变量X 的概率密度函数为

y =π

σ21e 222)(σμ--x （+∞<<∞-x ） （4 — 1）

则称随机变量X 是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。

（图4 — 2）X 的变动范围在 ∞- 至 +∞ 间。

Y

X

0μ

图4 — 2 正态分布曲线

正态分布曲线中有两个参数：均值 μ 及方差 2σ。为了应用方

便，对式（4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令

u 来代替原式中的 σ

μ-x ， 寻这时的随机变量u 的概率密度函数成为：

y = π

21e 22

u - （4 — 2） 按照（4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图4 — 3）

Y

00.4

0.3

0.2

0.1

-1-2-3123μ

图4 — 3 标准正态分布曲线

第二节正态分布曲线的特征

正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面：

一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。

二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。

三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以σ

μ1

±的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。

四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1. 00。

五，正态曲线可以有不同形式，它们的均值和标准差可以不相同，均值不同表明曲线在横轴上所处位置不同，标准差不同表明曲线的形态不同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图4 — 4）由式（4 — 1）和（4 — 2）知，标准正态曲线的μ= 0，σ= 1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在μ= 0时，有最大值，它近似等于0. 4，如（图4 — 3）所示。

Y

X 0

μσ=0.5

σ=1

σ=2

图4 — 4 三种不同形式的正态分布曲线

第三节 正态分布表

从某市17岁男生中随机抽出205人测量身高，由这个样本计算

得到 X = 168. 40厘米，S = 6. 13厘米。假定该市17岁男生身高服从

正态分布，试估计身高在16. 40 — 172. 40厘米之间的人数。

求解这类问题的一般方法是：求从正态总体中随机选取一个个体

的测量值落在区间（a, b ）上的概率。这个概率在标准正态曲线下就

是曲线、X 轴、直线X = a 和X — b 所围成的面积。（图4 — 5）当

概率P 求得后，要求的人数约等于总人数乘以P 值。 Y

00.1

-1-2-3

123μ0.2

0.4

0.3

a b

图4 — 5 随机变量X在区间（a，b）内取值的概率示意图

表的左边第1 列这横轴上的位置，它是指横轴上某一点与平均值的距离，以标准差为单位来表示，通常记为u，即

u =

σμ

-

x

（4 — 3）

表上边的第1 行为u值的第2位小数。表的主体部分是各u值与均数（u = 0）之间所对应的单侧面积（或概率）。

一、知U值求对应的面积

例 4 —1求u 值为－1 至+2 之间对应的面积。

解：由于标准正态曲线是关于x = u对称的均数处的u值为零，所以u值在－1至0这间对应的面积与它在0 至+1 之间的对应面积相等。查书后附表1得u值在－1至0的对应面积是34. 13%；u 值在0至+2 之间的面积是47. 72%。前者在均值的左边，后者在均值的右边，因此这两块面积之和便是所求面积。（图4 — 6）即：

34. 13% + 47. 72% = 81. 85%

-12=+

81.85%34.13%47.72%

00

-12

图4—6

例 4 —2 本节开始提出的问题，即试估计身高在160. 40 —172. 40厘米之间的人数。

解：首先要求出身高为160. 40厘米和172. 40厘米的u值，按式（4 — 3）有（当u 和σ未知时，可用X和S近似代替）：

u 1 = 13

.640.16840.160- = －1. 31 u 2 = 13

.640.16840.172- = 0. 65 查书后附表1 求 u 1、u 2 所对应的面积。u 1 = －1. 31 所对应的面积

是40. 49%，u 2 = 0. 65所对应的面积是24. 22%。u 值－1. 31至0. 65

所对应的面积为40. 49% + 24. 22% = 64. 71%，见（图4 — 7）所示，

于是身高在 160. 40 — 172. 40厘米之间的人数约为 205×64. 71% ≈133（人）。

0-1-21

2μ

24.22%

40.49%

160.40米0.65-1.31

图4－7 估计身高在160. 40－172. 40厘米间的人数百分数

二、已知面积求对应的U 值

例 4 — 3 试求从 +1σ 向右到什么位置对应的面积为

14. 15%？

解：设从 +1σ 向右到 +k σ 对应的面积为14. 15%。查标准正

态分布表知+1σ对应的面积是34. 13%。 24. 13%+14. 15% = 48. 28%，

就是u 值从0 到 +k 之间对应的面积。查书后附表1和K = 2. 11，

即从 +1σ 向右到 +2. 11σ 之间对应的面积为14. 15%。（图4 — 8）

从标准正态分布表中，可以找出标准正态曲线下面的分布规律。

在下表中列出的五个分布位置与其对应的概率是统计中电子学用到

的，应该熟记。