第5章 轴心受压构件

I ω——扇性惯性矩； I 2tds ，其中 为以扭转中心为极的扇性坐标；
I t ——截面的抗扭惯性矩； u、v、θ —— 构件剪力中心轴的三个初始位移 分量，即考虑初弯曲和初扭曲等初始缺陷； x0 、 y0 ——剪力中心坐标； 2 2 Ix Iy 2 2 2 R s x y dA r r0 x0 y 0 A A
0 m N 1 N Ex
N EX — —绕x轴的欧拉临界应力
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
由边缘纤维屈服准则可得
N N m fy Wx 将Δ mA 代入上式，并解出平均应力 s cr 后，即得 m公式 perry
N N m fy A Wx
s cr
f y (1 0 )s Ex 2
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
1)弯曲失稳极限承载力的准则 目前常用的准则有二种： 一种采用边缘纤维屈服准则，即当截面边缘纤维的应 力达到屈服点时就认为轴心受压构件达到弯曲失稳 极限承载力。 另一种则采用稳定极限承载力理论，即当轴心受压构 件的压力达到图所示极值型失稳的顶点时，才达到 了弯曲失稳极限承载力。
σ σ
cr
当 l lp ， s cr fp ，压杆进入弹塑 性阶段。采用切线模量理论计算。
fp
E
Ncr, t
ε
p EtI
2
l
2
p Et scr, t 2 l
2
图 应力-应变曲线
Et ---切线摸量
屈曲准则建立 的临界应力
5.3.2 实际轴心压杆的整体稳定
单曲线关系（解析法研究） 多曲线关系（弹性微分方程， 数值法研究）
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
3.不对称截面均的弯扭失稳
当压杆的截面无对称轴时，微分方程即为公式。 这三个微分方程是互相联立的，因此，杆件失稳时必 定是弯扭变形状态，属于弯扭失稳。
EI x (v (4) v0(4) ) Nv'' Nx0 '' 0 (4) (4) '' '' EI ( u u ) Nu Ny 0 y 0 0 (4) (4) '' '' '' '' 2 '' '' EI ( ) GI ( ) Nx v Ny u r N R 0 0 t 0 0 0 0
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
2.单轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
在弹性阶段，单轴对称截面轴心受压构件的三个 微分方程中有两个是相互联立的，即在y方向弯曲产 生变形v时，必定伴随扭转变形 ，反之亦然。这种形 式的失稳成为弯扭失稳。 上式中第2式仍可独立求解，因此单轴对称截面 轴心压杆在对称平面内失稳时，仍为弯曲失稳。
第5章 轴心受压构件
主要内容
• • • • • • • • 1、轴心受压构件的可能破坏形式 2、轴心受压构件的强度 3、轴心受压实腹式构件的整体稳定 4、轴心受压格构式构件的整体稳定 5、轴心受压构件的整体稳定计算 6、轴心受压实腹式构件的局部稳定 7、轴心受压格构式构件的局部稳定 8、轴心受压构件的刚度
(
)
1. 双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
当杆件双轴对称时，双轴对称截面因其剪力中心 与形心重合 x ， 0、y0 为零，三式相互独立，代入 可得：
EI x (v (4) v0(4) ) Nv '' 0 (4) (4) '' EI y (u u0 ) Nu 0 (4) (4) '' '' 2 '' '' EI ( 0 ) GI t ( 0 ) r0 N R 0
f y (1 0 )s Ex f ys Ex 2
2
A 0 0 — —初偏心率； 0 Wx
s Ex — —欧拉应力
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
给定 0即可由式求得s cr l 关系。我国冷弯薄壁 型钢结构技术规范采用了这个方法，并用下式 计算 s cr / f y ， 称为轴心压杆稳定系数 ：
学习目标
• 掌握轴心受压构件整体失稳的形态，实腹式构件 整体稳定问题的基本原理、稳定工程计算方法的 特点；掌握轴心受压格构式构件绕虚轴的整体稳 定原理和计算方法；掌握轴心受压实腹式构件的 局部失稳临界力准则和宽（高）厚比概念以及局 部稳定计算方法；掌握轴心受压格构式构件局部 稳定的计算方法。
1.轴心受压构件的可能破坏形式 轴心受压构件可能发生的破坏形式有三种： • 截面强度破坏（仅发生在有截面削弱 之处， ）； • 整体失稳破坏（主要破坏形式包括弯曲 、弯扭、扭转失稳）； • 局部失稳（薄壁构件须防止）。
5.3 轴心受压实腹构件的整体稳定
5.3.1 理想轴心压杆的整体稳定
1、整体稳定的临界应力
理想轴心压杆：假定杆件完全挺直、荷载沿杆件形心轴
作用, 杆件在受荷之前无初始应力、初弯曲和初偏心, 截面 沿杆件是均匀的。
此种杆件失稳, 称为发生屈曲。
屈曲形式:
1)弯曲屈曲：只发生弯曲变形, 截面绕一个主轴旋转；
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
2）临界应力 σcr按边缘纤维屈服准则的计算方法 弯曲变形的微分方程为（5-11a ），即：
EI x (v
(4)
v0 ) Nv 0
(4) ''
假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦曲线的初弯 曲，即 0 0 sin pz ，式中 0为压杆中点的最 l 大初挠度。 由上式可解得压杆中点的最大挠度为：
两端既不能转动也不能翘曲 0.5 一端不能转动但能翘曲 0.7 一端转动和翘曲都不能 一端转动和翘曲都不能 2.0 一端可自由转动和翘曲
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的极限
承载力小于扭转失稳，不会出现扭转失稳现象。
对于某些特殊截面形式如十字形等，扭转失
稳的极限承载力会低于弯曲失稳的极限承载力。
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
2.单轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳 当杆件为单轴对称时，设对称轴为x，则 y0＝0，绕x 轴转动为弯曲失稳，绕y轴转动为弯扭失稳。
EI x (v (4) v0 (4) ) Nv '' Nx0 '' 0 (4) (4) '' EI ( u u ) Nu 0 y 0 (4) (4) '' '' '' 2 '' '' EI ( 0 ) GI t ( 0 ) Nx0v r0 N R 0
2)扭转屈曲：绕纵轴扭转; 3)弯扭屈曲：即有弯曲变形也有扭转变形。
a）理想轴心压杆欧拉临界应力
p 2 EI N cr N E 2 l
l/2
NE p E N I E p EI ( scr sE 2 2 A ) 2
l p2E 2 p 2E p 2E 2 i 2 2 l ( l/i ) l
由此可得欧拉临界力：
N Ex
p EI x
2
l
2 ox
; N Ey
p EI y
2
l
2 oy
; N E
p 2 EI 1 GI R t 2 l r2; o o
绕x轴失稳
Y
绕y轴失稳
X
扭转失稳， 仅少数截面， Y 如“十形”
X
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
由x0 N
Y
N-v效应
(4) '' ''
引起的绕
由s r * ’ 分力与 （x 2 y 2 )组成的
X x x轴M
X
(4)
0
EI x (v v0 ) Nv Nx0 0 同上， 扭矩 (4) (4) '' '' EI y (u u0 ) Nu Ny0 0 转y轴 (4) (4) '' '' '' '' 2 '' '' EI ( ) GI ( ) Nx v Ny u r N R 0 0 t 0 0 0 0
s cr
p 2 Et 切线模量理论 s cr l 2
N Ny
N 公式： f A
欧拉双曲线
s cr p 2E 2 l
O
lp
非弹性 弹性 阶段 阶段
l
O
初始缺陷
1 l p
fy l E i
3.轴压构件的稳定极限承载力的影响因素
（1）构件不同方向的长细比（长度、支承状况） l （2）截面的形状和尺寸（H，O，L，口， 等） （3）截面的力学性能（E，f，不同 范围） （4）残余应力的分布和大小（轧制，焊接……） （5）构件的初弯曲和初扭曲（在规范允许范围内） （6）荷载作用点的初偏心（节点连接的常见状况） （7）支座并非理想状态的弹性约束力 （8）构件失稳的方向等等
2 1 1 1 4 1 2 (1 0 ) 1 2 (1 0 ) 2 2 l l l
l/2
A
l A
图 有初弯曲的 轴心压杆
λ ——杆件长细比，λ=l/i； i ——截面对应于屈曲的回转半径， i = I/A。
E为常量, 因此σ
cr
不超过材料的比例极限 fp
p 2E s cr 2 f p 或长细比 l lp p E / f p l
b)理想压杆的弹塑性弯曲屈曲临界应力
上式说明双轴对称截面轴心压杆在弹性阶段工作 时，三个微分方程是互相独立的，可以分别单独 研究。
(a ) (b) (c )
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
在弹塑性阶段，当研究式（a）时，只要截面上的 残余应力对称于y轴，同时又有 u0=0 和 θ0=0，则该 式将始终与其它两式无关，可以单独研究。这样， 压杆将只发生y方向位移，整体失稳呈弯曲变形状 态，成为弯曲失稳。 同样，式（b）也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的 方向不同而已。 对于式（c），如果残余应力对称于x轴和y轴分布， 同时假定u0=0 、v0=0 ，则压杆将只发生绕z轴的转 动，失稳时杆件呈扭转变形状态，称为扭转失稳。
扇性 惯性 翘曲应变引 起约束扭矩 矩 （瓦格纳）
' 由 N × 的分力与 自由扭转应 N * v 分力与x0 r02组成的扭矩 变引起的扭 组成的扭矩
'
矩（圣文南）
'为单位长度扭转
角增值
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
式中： N ——轴心压力； Ix 、Iy ——对主轴x-x和y-y的惯性矩；
其中，4、5、6均属于初始缺陷。 以上各因素都不是孤立的。
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
（1） 具有初始缺陷的任意非对称开口薄壁轴心 压杆弯扭失稳弹性微分方程，对任一截面取：
Z ( ) Y(v) X(u)
N
M
x
0, M y 0, M z 0
增加弯 曲应力 的合力 矩
计算长度系数 x y 轴压杆计算长度 l0 l 其中 为计算长度系数，l 为实际杆长。
支撑 类别
1 2 3 4 5
弯曲失稳 两端简支 两端固定
支撑条件 弯扭失稳
两端不能转动但能翘曲

值
1.0
一端简支， 一端固定 一端固定， 一端自由 两端嵌固， 两端能自由转动但不能翘曲 1.0 但能自由移动
式中： l0x 、l0y —— 分别为构件弯曲失稳时绕x轴和y
轴的计算长度； l0θ—— 构件扭转失稳时绕z轴的计算长度；
l0 x xl , l0 y y l , l0 l
l ——构件长度； y、 ——计算长度系数，由构件的支承条件确 x、 定。对于常见的支承条件，可按表5-1取用。
图5.1 轴心压杆的屈曲变形
(a)弯曲屈曲；(b)扭转屈曲；(c)弯扭屈曲
弯曲屈曲：双轴对称截面，单轴对称截面绕非对称轴； 扭转屈曲：十字形截面； 弯扭屈曲：单轴对称截面（槽钢，等边角钢）。
5.2 轴心受压构件的强度 以净截面的平均应力强度为准则，即
fy N σ f An rR
轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。