控制工程基础----第一章控制原理拉氏变换
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
自动控制原理(拉氏变换)
置信号。
精品PPT
§3-1控制系统的暂态响应分析
② 斜坡（匀速）输入
xr(t)
0 t0
A
xr
(t)
At
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号， 该恒速度为A。
精品PPT
§3-1控制系统的暂态响应分析
③抛物线（匀加速）输入
xr(t)
0 t0
xr
(t
)
At2
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置 信号，该恒加速度为A。
tu(t)
1 s2
精品PPT
例5正弦函数
精品PPT
周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f (t)是周期为T 的周期函数,即
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
精品PPT
§2-2非线性数学模型的线性化
2. 数学描述 设系统的输入为x(t),输出为y（t）， 且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点
（x0,y0）, y(t)
y(t) f (x)
y0
x0
精品PPT
x(t)
§2-2非线性数学模型的线性化
k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4
求单位斜坡函数
自动控制理论基础知识拉氏变换
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
机械工程控制基础(拉氏变换)
拉氏变换的优势和局限性
优势
拉氏变换为我们提供了一种更方便、更灵活地分 析和解决机械工程中的问题的方法。
局限性
尽管拉氏变换在许多情况下非常有用，但在处理 非线性和时变系统时可能存在一定的限制。
结论和要点
拉氏变换是机械工程 中一种重要的数学工 具。
拉氏变换可以将函数 从时域转换到复频域。
它具有许多重要的性 质和公式，方便我们 分析和解决问题。
拉氏变换的性质
1 线性性质
拉氏变换遵循线性性质，可以对输入信号进行线性组合。
2 时移性质
通过在时域中移动输入信号，我们可以在复频域中对应地移动拉氏变换。
3 频移性质
拉氏变换可以将频率的偏移转移到复频域中。
拉氏变换的公式
输入信号 常数函数 阶跃函数 正弦函数
拉氏变换 1/s 1/s^2 s/(s^2 + w^2)
在机械工程中，拉氏变换被广泛应 用于控制系统、信号处理和系统建 模。
然而，它也有一些局限性，在处理 非线性和时变系统时需要注意。
机械工程控制基础(拉氏 变换)
在机械工程中，拉氏变换是一种重要的数学工具。本演示将介绍拉氏变换的 定义、性质、公式、逆变换以及在机械工程中的应用。同时，我们也会探讨 拉氏变换的优势和局限性。
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域转换到复频域。通过将函 数的时间的依赖性转换为频率的依赖性，我们可以更好地理解和分析信号和 系统的行为。
拉氏变换的逆变换
拉氏变换
F(s)
逆拉氏变换
f(t)常数ຫໍສະໝຸດ 数delta(t)拉氏变换在机械工程中的应用
1
控制系统分析
通过拉氏变换，我们可以分析和设计机械控制系统。
《控制工程基础》课程作业习题(含解答)
第一章概论本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。
学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。
例1 例图1-1a 为晶体管直流稳压电源电路图。
试画出其系统方块图。
例图1-1a 晶体管稳压电源电路图解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。
对于本题，可画出方块图如例图1-1b。
例图1-1b 晶体管稳压电源方块图本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过R和4R分压后与稳压管的电3压U比较，如果输出电压偏高，则经3R和4R分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极w电流增大，集电极电流随之增大，降在R两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。
c反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。
例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。
其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。
解：该系统是一种阀控液压油缸。
当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。
因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。
当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。
由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
例图1-2a 简单液压系统例图1-2b 职能方块图1．在给出的几种答案里，选择出正确的答案。
（1）以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较为_______ （A ）开环高； （B ）闭环高； （C ）相差不多； （D ）一样高。
（2）系统的输出信号对控制作用的影响 （A ）开环有； （B ）闭环有； (C ）都没有； （D ）都有。
自动控制原理课件-拉氏变换专讲
a3 an a1s a2 F ( s) s p1 s p2 s p3 s pn
1
a1s a2 s p
F ( s )s p1 s p2 s p
1
根据上述方程，令实部=实部，虚部= 虚部，可解出a1，a2
s 1 例: 求 F ( s ) 2 s s s 1 的部分分式 a3 a1 s a2 解: F ( s ) 2 s s 1 s
用拉氏变换法求解微分方程(2)
1 A a b
1 B a b
1 1 1 ba ba s a s b s a sb
用拉氏变换法求解微分方程(2)
留数法（适用于复杂函数)
s z1 s zm B( s ) 设 F ( s) A( s) s p1 s pn
a1 F (s)s 1
3 s 1
s 2s 3
2
s 1
2
用拉氏变换法求解微分方程(6)
d F ( s )s 1 a2 ds
2
3
s 1
2 s 2 s 1 0
3
1 d F ( s )s 1 a3 2 3 1! ds
2
令
A B C Y ( s) s s2 s3
2 1
0.866a1 a2 0.866
2
0.5
用拉氏变换法求解微分方程(5)
化简: a1 a2 1 求解得:
a1 a2 1
a2 0
a1 1
s 1 a3 s 1 2 s s s 1 s 0
工程控制理论-拉普拉斯变换ppt
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
证明：
L
df (t) dt
df (t) estdt 0 dt
estdf (t)
0
est f (t) s f (t)estdt sF (s) f (0)
0
0
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
L
d2 f dt
(t)
2
s2F
(s)
t
s0
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(6) 初值定理
若： L f (t) F(s)
则：
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
lim
s
0
df (t dt
拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
13
1 a
(1-e -at )
1 s(s+a)
14
1
b-a
(e -at -e -bt )
1 (s+a) (s+b)
15
1
b-a
(be
-bt
-ae
–at
)
s (s+a) (s+b)
16
sin(t + )
cos + s sin s2+2
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
两 e jt cost jsin t
自动控制原理拉氏变换
s
δ(t )
d [
ε(t )]
S
1
1
dt
S
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]
dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)
sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：
df ( t dt
例13-8
求：F(s)
s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s
K21 s2
K13 (s 1)
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)
1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12
d ds
1 s2
s1
注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )
0
f (t t0 )estdt
自动控制原理拉氏变换
3.拉氏变换的基本定理 ¾线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1 (s) + bF2 (s)
¾延迟定理
若 f (t) ⇒ F (s)
则
L[ f (t −τ )] = e−τs F (s)来自根据拉氏变换的 基本定理
部
分
分母全部为单根
分
式
法
分母有重根
¾A(s)=0 全部为单根
ai 为F (s) 对应于极点 si 的留数。
例:已知 解：
求 F (s) 拉氏反变换。
¾A (s) =0 有重根
。。。。。。
例：求
解：
的拉氏反变换 f (t) 。
例：已知
解：
，试求其 f (t)
6. 应用拉氏变换解微分方程
¾ 方程两边作拉氏变换 ¾代入初始条件和输入信号 ¾写出输出量的拉氏变换
¾作拉氏反变换求出系统输出的时间解
例 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，
电容的初始电压 Uc(0) 分别为 0V 和1V 时，分
别求时间解Uc(t)。
解：
¾Uc(0)=0V 时 ¾Uc(0)=1V 时
¾终值定理
若 f (t) ⇒ F (s) 且 f (∞) 存在，则
¾卷积定理
若 f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
求 ？
4. 拉氏变换的优点：
¾简化函数
¾简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换： 已知 f ( t ) → 求 F (s) 拉式反变换： 已知 F (s) → 求 f ( t )
机械控制工程基础-CH2补充内容：拉氏变换
式中 p1 、
p2 、… pn为方程F2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 实数也可以是复数。由于 s pk 时|F(s)|，故这些根称为 F(s)的极点(pole)。 A1 、 A2 、 An…为待定系数。为了求出其中 任何一个常数Ak，用(spk)乘上式的两边各项得 ：
F ( s )( s pk ) A1 ( s pk ) A2 ( s pk ) A ( s pk ) Ak n s p1 s p2 s pn
该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除 以复参量s。 求 f ( t ) tu( t )
解
的象函数F(s) 。
tu(t ) u ( )d0 t因为所以
1 1 F ( s) L{tu(t )} L{ u ( )d } L{u (t )} 2 0 s s
二、拉普拉斯变换性质
基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。 1．线性性质
若 L { f1 (t )} F1 (s), L { f 2 (t )} F2 (s) ，a、b为任意常数，则
L {af1 (t ) bf 2 (t )} aF1 ( s) bF2 ( s) L 1{aF1 ( s) bF2 ( s)} af1 (t ) bf 2 (t )
(1 t )e at
(t )
A
A(1 e t )
1
A s A s( s ) n! s n 1
sin( t ) cos( t )
e at sin( t ) e at cos( t )
tn
(n为正 整数)
n! ( s a) n 1 s (s )2 s sin cos s2 2 s cos sin s2 2 ( s a) sin cos ( s a) 2 2 ( s a) cos sin ( s a) 2 2
吴振顺《控制工程基础》王积伟_第二版_课后习题解答
第一章3解：1)工作原理：电压u2反映大门的实际位置，电压u1由开（关）门开关的指令状态决定，两电压之差△u＝u1－u2驱动伺服电动机，进而通过传动装置控制大门的开启。
当大门在打开位置，u2＝u上：如合上开门开关，u1＝u上，△u＝0，大门不动作；如合上关门开关，u1＝u下，△u<0，大门逐渐关闭，直至完全关闭，使△u＝0。
当大门在关闭位置，u2＝u下：如合上开门开关，u1＝u上，△u>0，大门执行开门指令，直至完全打开，使△u＝0；如合上关门开关，u1＝u下，△u＝0，大门不动作。
2)控制系统方框图4解：1)控制系统方框图2)工作原理：a)水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h’由浮球顶杆的长度给定，杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。
当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），通过杠杆机构是进水阀的开度增大（减小），进入水箱的水流量增加（减小），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），进水阀开度增大（减小）量减小，直至达到新的水位平衡。
此为连续控制系统。
b) 水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h’由浮球拉杆的长度给定。
杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。
当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），到一定程度后，在浮球拉杆的带动下，电磁阀开关被闭合（断开），进水阀门完全打开（关闭），开始进水（断水），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），直至达到给定的水位高度。
随后水位进一步发生升高（降低），到一定程度后，电磁阀又发生一次打开（闭合）。
此系统是离散控制系统。
2-1解：（c ）确定输入输出变量（u1，u2） 22111R i R i u += 222R i u =⎰-=-dt i i Cu u )(11221得到：1121221222)1(u R R dt du CR u R R dt du CR +=++一阶微分方程（e ）确定输入输出变量（u1，u2）⎰++=idtC iR iR u 1211Ru u i 21-=消去i 得到：Cudt du R C u dt du R R 1122221)(+=++一阶微分方程第二章2-2解：1）确定输入、输出变量f(t)、x 22）对各元件列微分方程：222213311111122222232121311;)(;)()()()()()(x K f dtx x d B f dtdxB f x K f dt t x d m f f f dt t x d m t f t f t f t f K B B K B K B B B K =-====--=---3）拉氏变换：)()()()]()([)()]()([)()()(22222222131212131111s X s m s sX B s X K s X s X s B s X s m s X s X s B s sX B s X K s F =---=----4）消去中间变量：)()()()(23223232131123s X sB s m s B K s B s m s B K s B s sX B s F ++++++=+5）拉氏反变换：dtdfB x K K dt dx B K B K B K B K dtx d K m m K B B B B B B dt x d m B m B m B m B dt x d m m s s 3221232123121222212122131323132122142421)()()(=++++++++++++++2-3解：（2）2112+-+s stt e e 22---（4）2)1(13111914191+++-+s s st t t te e e ---+-3191914（5）2)1(1)1(2)2(2+-+++-s s s tt t te e e ----+-222（6）s s s s s 5.2124225.04225.022++-+⨯⨯-+⨯-5.222sin 2cos 5.0+----t e t t 2-5解：1)D(s)=0,得到极点：0,0,-2,-5M(s)=0,得到零点：－1，，，∞+∞+∞+ 2) D(s)=0,得到极点：－2，－1，－2 M(s)=0,得到零点：0，0，－1 3) D(s)=0,得到极点：0，，231j +-231j --M(s)=0,得到零点：－2，，∞+∞+4) D(s)=0,得到极点：－1，－2，∞- M(s)=0,得到零点：∞+ 2-8解：1）a ）建立微分方程dtt dx Bt f t f t x t x k t f t x k t f t f bat f t f t f t f t x m B k k k i k k )()()())()(()()()()()()()()()(202201121==-===--=∙∙b)拉氏变换)()())()(()()()()()()()()()(20220112102s BsX s F s X s X k s F s X k s F s F bas F s F s F s F s X ms k k k i k k =-===--= c)画单元框图（略） d)画系统框图2)a)建立微分方程：dt t dx B t f dt t x t x d B t f t x t x k t f t f t f t f t x m oB o i B i k B B k )()())()(()())()(()()()()()(22110210=-=-=-+=∙∙ b)拉氏变换：)()())()(()())()(()()()()()(02211212s sX B s F s X s X s B s F s X s X k s F s F s F s F s X ms B o i B o i k B B k o =-=-=-+= c)绘制单元方框图（略） 4)绘制系统框图2-11解：a)1212321232141H G G H G G H G G G G G -+++b)))((1)(214321214321H G G G G H G G G G G G -++++2-14解：(1)321232132132101111)()(K K K s Ts K K K TsK s K K Ts K s K K s X s X i i ++=+++==φ321243032132132103402)(111)(1)()()(K K K s Ts s K K s G K K K TsK s K K Ts K s K K s G Ts K K s N s X s n ++-=+++++-==φ(2)由于扰动产生的输出为： )()()()()(321243032102s N K K K s Ts sK K s G K K K s N s s X n ++-==φ要消除扰动对输出的影响，必须使0)(02=s X 得到：0)(430321=-s K K s G K K K得到：2140)(K K s K s G =第三章3-1解：1)法一：一阶惯性环节的调整时间为4T ，输出达稳态值的98%，故： 4T ＝1min ，得到：T ＝15s法二：求出一阶惯性环节的单位阶跃时间响应，代入，求出。
控制工程基础课后习题答案-最权威版本111111 第三版清华大学出版社
1 s X ( s ) sx(0) x(0) 6[ sX ( s ) x(0)] 8 X ( s ) s 1 2 s X ( s ) s 6 sX ( s ) 6 8 X ( s ) s s 2 6s 1 X ( s) s ( s 2 6 s 8)
st st 0 0
0
0
L[ x(t a)] e
2 s 6 1 e s
as
X ( s)
F ( s ) L[15t (t ) 4t (t ) 6 (t ) 1(t 2)]
2-1 求解时域函数的拉氏变换
（ 7 ）考查点： 1、衰减定理（或待定系数法，或分部积分法）
2
s 2 6s 1 X (s) s ( s 2 6 s 8) 1 7 1 7 1 s6 [ 2 ] 2 s s ( s 6 s 8) s 8 s s 6 s 8 1 7 2 1 [ ] 8s 8 s 2 s 4 1 7 2t 7 4t x(t ) e e 8 4 8
L[e
at
x(t )] X ( s a)
2、正、余弦函数的拉氏变换，
f (t ) e
6 t
cos8t s6 F (s) 2 2 ( s 6) 8
s L[cos 8t ] 2 , 2 s 8
2-3 求解微分方程
时域
拉氏
S域
反拉氏
时域
考查点： 1、拉氏变换的微分定理和积分定理，注 意初值 2、整理后，在分解为标准象函数形式 3、反拉氏变换
第一章 概论
作业 1－5，1－6 要求： 分析现有的简单控制系统，并定 性地画出他们的职能方块图。 要点：1、明确输入量和输出量； 2、比较点必须是同量纲的量。
控制工程基础-拉氏变换.
(t)
1、
(t )dt 1
0
t
2、
(t) f (t)dt
f (t)
t 0
=f (0)
单位脉冲函数的拉氏变换
L[ (t)]
(t)estdt =
0
(t)estdt =est
t0 1
注意：
1、（t）不可以省去；
2、多个单位脉冲信号可以叠加； ng (t) ，表示n个单位脉冲信号叠加。 16
需注意以下两点 ➢拉氏变换过程中,f(t)称为原函数,F(s)称为象函数。
➢并不是所有函数的拉氏变换都存在,它有存在的必要条件,但对于实际工
程中,我们可以直接应用,而不必考虑其边界条件。
拉氏变换的方法
按定义计算;查表法。
12
2.2.2 拉氏反变换
拉氏反变换 定义：已知f（t）的拉氏变换F(s)，求其原函数的过程称为拉氏反变换
本章要点
拉氏变换及拉氏反变换的定义 典型时间环节的拉氏变换 拉氏变换的基本性质 部分分式法求拉氏反变换 用拉氏变换求解常微分方程
4
第2章 拉普拉斯变换的数学方法
拉普拉斯变换简称拉氏变换，是《复变函数》课程中的 重要内容。 古典控制论引入拉氏变换的意义 ➢通过拉氏变换将时域内的微分方程转变为复数域内的代数 方程，运算方便。 ➢古典控制论在复数域内与频域相互转换，更方便的研究系 统的动态特性，更方便的对系统进行分析、综合和校正。
0
0
s 0s
注意：
1、（t）可以省去；
2、多个单位阶跃信号可以叠加； ng1(t) ，表示n个阶跃信号叠加，
可以简写成n。
3、阶跃信号也称为位移(位置)信号。
15
2.3 典型时间函数的拉氏变换
自动控制原理第一讲_拉氏变换
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
自动控制原理-附录拉氏变换
附录1： 拉普拉斯（LapLace ）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t 为自变量的实变函数)(t f ，它的定义域是0≥t ，那么)(t f 的拉普拉斯变换定义为⎰∞-==0)()()]([dt e t f s F t f L st （1-1）式中，s 是复变数， ωσj s +=（σ、ω均为实数），⎰∞-0st e 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称)(s F 为)(t f 的象函数，而称)(t f 为)(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数)(1t 的拉氏变换)(t f 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为)0()0(101≥<⎩⎨⎧∆t t t ）（图1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数如图1-1所示，它表示在0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为∞--∞-===⎰00|1)(1)](1[)(st st e sdt e t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0lim →-∞→stt e所以 ss e ss F st1)]1(0[1)(0=--=-=∞-（1-2）2.指数函数atet f -=)(的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
dt e dt ee eL s F t s a atst at⎰⎰∞+--∞--===0)(0][)(令a s s +=1则与求单位阶跃函数同理，就可求得 as e L s F sat+===-11][)(1（1-3） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设t t f ωsin )(1=， t t f ωcos )(2=，则dt te t L s F st ⎰∞-==01sin ][sin )(ωω由欧拉公式，有je e t tj t j 2sin ωωω--=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞---001j 21)(dt e e dt e e s F stt j st t j ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞+---00)()(j 21dt e dt e t j s t j s ωω ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=∞+-∞--0)(0)(j s 1j -s 1j 21t j s t j s e e ωωωω22s j s 1j -s 1j 21ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=（1-4）同理 222][cos )(ωω+==s st L s F （1-5）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间)0(→=εεt 期间幅值为ε1的矩形波。
自动控制原理胥布工拉氏变换
自动控制原理胥布工拉氏变换
注：本回答是在一般背景下对于自动控制原理中使用的拉氏变换（Laplace Transform）进行解释。
拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于自动控制原理中。
它是将时域的函数转换为复频域的函数的一种变换方法。
在自动控制系统中，通过对系统的输入和输出信号进行拉氏变换，可以更方便地分析系统的稳态性能、动态响应等。
拉氏变换可以将时域的函数f(t)变换为复频域的函数F(s)，其中s为复变量。
拉氏变换的定义如下：
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞](f(t)e^(-st))dt
其中，F(s)表示拉氏变换后的函数，s表示复变量，L{}表示拉氏变换操作符，f(t)表示时域的函数，t表示时间。
在自动控制系统中，常常使用拉氏变换来分析系统的传递函数和频率响应。
传递函数是系统的输出与输入之间的关系，通过拉氏变换可以将微分方程转换为代数方程，更方便地进行分析和设计。
同时，拉氏变换也经常用于求解系统的稳态性能。
通过对系统的输入信号进行拉氏变换，可以得到系统的频率响应，进而分析系统对不同频率的输入信号的响应情况。
总之，拉氏变换是自动控制原理中非常重要的数学工具，通过将时域函数转换为复频域函数，方便了对系统性能的分析和设计。
它在自动控制系统的建模、分析和设计等方面具有广泛的应用。
拉氏变换
6、拉氏反变换的求解方法
当F(s)只含有不同的实数极点时
n B( s ) A1 A2 An A F ( s) i A( s ) s p1 s p2 s pn i 1 s pi
式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。
Ai F ( s ) ( s pi )s pi
拉氏变换与反变换
5、拉氏变换的主要定理
f(t) 定理4 延迟定理 设当t<0时，f(t)=0， 则对任意0，有： f(t) f(t-)
L f (t ) e
Le
at
s
F ( s)
0
定理5 位移定理
例： Lsin t
s2 2
f (t ) F (s a)
0 st
式中：s=+j（，均为实数）；
0
est dt 称为拉普拉氏积分；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复 变函数；f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏变换与反变换
2、拉氏反变换
1 j st f (t ) L F ( s) j F ( s)e ds , t 0 2j
即：
f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
s 0
拉氏变换与反变换
f () lim sF ( s )
s 0
6、拉氏反变换的求解方法
方法1
方法2
查表法
部分分式法
如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：
F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s), F2(s), …，Fn(s)的拉氏反变换
机械工程控制基础(拉氏变换)
Fundamentals of Control Engineering
拉普拉斯变换
一.拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是 f(t)从时域到复频域F(S)的积分变 换。设f(t)在t>=0上有定义,则
S j
称为函数f(t)的拉普拉斯变换,简称拉氏变换.
S为复平面上某一收敛范围.
四. 拉氏变换的性质
2、微分定理
L f t F S
四. 拉氏变换的性质
对于微分定理有以下推论:
四. 拉氏变换的性质
3、积分定理
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
卷积定理:
五. 拉氏反变换
由已知的像函数F(s),求它的像 原函数f(t),这就是拉普拉斯反变化.
式中的f(t)：像原函数；F(S)：f(t)在S域中的像函数。
Hale Waihona Puke 二.拉氏变换存在定理必须满足2个条件 (1) t<0时, f(t)=0. t>=0时, f(t)至少分段连续. (2) 当t→+∞时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数. 即存在 常数M>0, c0>0,使 | f(t)|<=Mec0t. 其中: c0称为增长指数. 由上可知, 物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这两 个条件.
五. 拉氏反变换
方法一. 利用定义
五. 拉氏反变换
方法二. 利用卷积定理
五. 拉氏反变换
方法三. 用部分分式法
设
F (S ) N (S ) D(S ) a0 S m a1 S m 1 a m b0 S n b1 S n 1 bn
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第一章 概述第一节 课程内容概述一、控制理论的组成1、经典控制论：针对单输入——单输出系统；拉氏变换；线性系统。
2、现代控制论：多输入——多输出系统；状态空间法；线性及非线性系统。
离散系统的设计、分析、系统优化、系统智能化控制。
二、授课内容1、控制系统的工作原理、系统组成、系统分类；2、系统数学模型的建立。
包括微分方程、传递函数、频率特性。
3、系统性能分析。
包括系统的稳定性分析；稳态误差分析；时间响应分析；4、系统综合。
5、Matlab 软件及其在控制系统辅助设计中的应用。
三、学习本课程的目的1、掌握自动控制系统的工作原理。
2、建立系统动态特性的概念。
3、掌握控制系统的设计及分析的方法。
4、为后续课程打下基础。
（信号与系统、传感器、精密测量等） 2012年9月11日起，共18次，单周1次课，双周2次课。
第二节控制系统的工作原理一、系统工作原理1、举例 （1）恒温控制系统(control system) 系统如图所示● 系统组成：恒压源，热电偶，放大转换元件，电动机，减 速器，分压器，热阻丝。
● 系统工作过程：● ●●●● ●●●与人工控制的比较：人工控制：观察，比较，调节。
自动控制：检测，比较，调节。
两者工作过程相比较，不难发现，其过程都需要将当前的温度与要达到的目标温度相比较，再根据比较的结果决定调节的过程，这一过程就是反馈（feedback）过程。
所以控制是基于反馈实现的。
无论人工控制，还是自动控制都是如此。
●●●自动控制系统的工作原理：系统的输出能返回系统的输入，与输入相比较，得到具有大小和方向的偏差信号，根据偏差信号的大小和方向对系统的输出进行调节。
系统根据偏差信号的大小和方向对输出的调节，其目的是消除偏差。
（2）数控伺服系统数控伺服系统是较典型的计算机控制系统。
目前计算机控制数控伺服系统有无反馈和有反馈两种形式，其中，有反馈的又包括半闭环和全闭环。
如图所示系统为全闭环系统。
2、开环和闭环（1）开环：开环控制系统信号是单一流向的，其特点为：输入特点：无检测、无反馈、系统的控制精度取决于系统组成元件的精度。
系统结构简单，易维护，造价低。
无稳定性问题。
（2）闭环：闭环控制系统的信号是封闭的，其特点为：特点：有检测，有反馈，系统的控制精度高。
系统结构复杂，不易维护，造价高。
存在稳定性问题。
第三节系统的组成及分类一、系统的组成1、组成：给定元件，比较元件，检测反馈元件，放大转换元件，执行元件，控制对象，校正元件，辅助元件。
的输出能否跟随系统的输入，如果能跟随系统的输入，系统是稳定的，否则系统不稳定。
二、准确性：控制精度指标。
以稳态误差的大小衡量其控制精度。
三、快速性：衡量系统从一状态到另一状态所需的时间。
第二章拉普拉斯变换 第一节拉普拉斯变换一、定义：二、典型信号的拉氏变换 1、阶跃信号：⎩⎨⎧<≥=001)(t t t f ss esdt edt et r s R ststst1)10(11)()(0=--=-===∞-∞-∞-⎰⎰2、脉冲信号：⎩⎨⎧≠=∞=000)(t t t δ1lim 1lim 1lim 1)()]([00000lim==-=-===-→-→-→-→∞-⎰⎰τττττττττττδδs s stst st e s e e s dt e dte t t L 3、斜坡信号：⎩⎨⎧<≥=00)(t t tt R21][st L =dte tf t f L s F st ⎰∞-==0)()]([)(4、抛物线信号：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0021)(2t t att R32]21[saat L =5、正弦、余弦信号：22]sin [ωωω+=s a t a L22]c o s [ωω+=s ast a L三、性质： 1线性性质：例1：232]32[s s t L +=+2时域中的位移定理：s e s F t f L s F t f L ττ-=-=)()]([)()]([例2：方波信号的函数表达se e s s t x L t u t u t x s s ττττττ--==--=-1]1-1[1)]([)]()([1)(3、复域中的位移定理：)(])([)()]([a s F e t f L s F t f L at +==-例3：11][+=-s eL t例4：)()()]()([22112211s F a s F a t f a t f a L +=+2222221]11[21][sin ][21sin ωωωωωωωωωω+=+=+--=-=-s s j j j s j s j t L e e jt tj t j4、微分性质：若)(])([,0)0(,0)0()(s F s dtt f d L f f nnn n === 例5：已知)()()(6)(522t x t y dt t dy dtt y d =++写出Y(s) 表达式0)0(,0)0(='=y y ５、积分性质：６、初值定理：７、终值定理：练习：１、求L 氏变换)(lim )(lim 0s sF t f s t −→−∞−→−=)(lim )(lim 0s sF t f s t ∞−→−−→−=)0()(])([)()]([f s sF dtt df L s F t f L -==)0()0()(])(['222f sf s F s dtt f d L --=⎰--=sf s s F dt t f L )0()(])([1⎪⎩⎪⎨⎧<<=取其它值t T t t t f 020sin )(ω２、求)]4[sin(π+t L第二节 拉氏逆变换一、逆变换表达式⎰∞∞--==j j st ds e s F j s F L t f )(21)]([)(1π 二、部分分式展开求逆变换)())()(()()()()(321n a s a s a s a s s A s B s A s F ----== （1）1、无重根形式若0)(=s B 的根无重根，（1）式可展开为nn a s m a s m a s m s F -++-+-= 2211)(nias n n a s i i as a s s F a s m s F a s m s F a s m s F a s m ====-=-=-=-=)()()()()()()()(212211在确定了分式的m i 后，可根据11][+=-s eL t得出∑=-=+++==ni ta i t a n t a t a i n e m e m e m e m s F L t f 121121)]([)(例：已知)2)(1(10)(++=s s s F ，求其逆变换。
解：F(s)为无重根形式tt s s e e s F L t f s F s m s F s m s m s m s F 212211211010)]([)(10)()2(10)()1(21)(----=-=-==∴-=+==+=+++=例：已知)1()(+=Ts s ks Y ，求其逆变换。
解：t TTs s kek t y Ts k s kTs Tk s k s Y Tks F Ts m k s sF m Ts m s m s Y 1120121)(11)()()1()(1)(--==-=∴+-=+-+=-=+===++=2、F (s ) 有重根的形式若0)(=s B 的根有重根，（1）式可展开为1)1(1)1(1221121131112111121)]()[()!1(1)()()()()()()()()(a s k j k k j j j j j n j ds s F a s d k m a s m a s m a s m a s m a s m s F a s a s a s s A s F =----+---=+-+-++-+-+-=---=例：求拉氏逆变换)1(1)(2+=s s s Yts s s s s et t y s s ss Y s Y s m s s ds s Y s d m s Y s m s m s m s m s Y --=====+-=∴++-+=∴=+=-=+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+====+++=1)(1111)(1)()1(1)1(111)]([1)(1)(21202021202112122113、含有复数根的情况：若0)(=s B 的根含有复数根，为共轭复数根。
令a 1、a 2为一对共轭复数根，（1）式可展开为+-+--+=3321))(()(a s m a s a s b as s F m i 无重根部分分子确定方法与前述无重根形式的方法相同，复数根部分分子多项式系数a 、b 确定方法为：11)())(()(21as a s s F a s a s b as ==--=+复数相等，实部、虚部分别相等。
联立求解，可确定a 、b例：求)1(1)(2+++=s s s s s F 的拉氏逆变换解：F(s)中含有复数根，F(s)部分分式展开为)73.1()578.01()866.0sin(16.11)866.0sin 578.01578.0866.0cos 578.011(578.011866.0sin 578.0866.0cos 1)]([)(866.0)5.0(578.0866.0866.0)5.0(5.01)23()21(5.05.0111)(0,1866.0866.0866.05.05.05.0)866.05.0()75.0866.025.0(866.05.0866.05.0866.05.0)866.05.0()()1()(1)(1)(115.02225.05.05.012222222866.05.02866.05.002-=-=+-=+-++-=+-==∴++⨯++++-=++-+-=++-=∴=-=∴-=-=----+-+=----=+--++=+==++++=---------=--==tg tg t e t t e te t e s F L tf s s s s s s s s s s s s F b a b a b a j b j a j j j b j a s F s s b as s sF m sm s s b as s F t t t t j s j s s ϕϕ。