非线性电路蔡氏电路

蔡氏电路的Matlab混沌

仿真研究

一、 引言

混沌现象是非线性系统在特定条件下产生的特殊行为，作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即:一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性，我们就认为该系统存在混沌现象。混沌具有三个特点1、随机性，即混沌具有类似随机变量的杂乱表现；2、遍历性，即能够不重复地历经系统的所有状态点；3、规律性，即混沌是由确定性的迭代式产生的。混沌还有一个很重要的性质：系统行为对初始条件非常敏感。

物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中都有混沌现象。近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley 大学的Leon. O.Chua 提出的蔡氏电路，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路。

自从1983年电路发现以来，它一直是人们研究混沌现象的重要模型，在许多文献中都以蔡氏电路为基础研究混沌现象。它的优点在于电路非常简单，但其非线性动力学行为却极其丰富。本文对蔡氏电路的混沌特性进行了理论分析，并通过仿真观察三阶自治动力系统的混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。

二、 蔡氏电路结构模型

自治动力系统产生混沌现象需要以下条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节。蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括：电阻R 、电感L 和两个电容C 1与C 2；非线性部分只有一个分段线性电阻R m ，其伏安特性如图2所示。

i +

-

图1 蔡氏电路

图2 非线性电阻的伏安特性

根据图1 可以列写所示电路的三阶微分方程组为：

)()(1

d d 11211u f u u R t u C --= L i u u R

t u C --=)(1

d d 2122

(1)

2u dt

di L

l

-= 其中, i r = f (u 1) = f (u r ) , 它是一个三段线性的分段线性函数:

⎪⎩⎪

⎨⎧≤=-+≤≥=-+==E

u u m m E u m E u u m E

u u m m E u m u f i r 1011

011

1101101)

()()(

也可以写成：{}E u E u m m u m u f +-+-+=1101101)(2

1

)(。

E

u x 1=

，E u y 2=，E R i z L =

如果定义：R C t

2=τ，R m a 1=，R m b 0=，1

2

C C =α，L R C 22=β (2)

则原微分方程组(1) 变为

))((d d x f x y x

--=ατ

z y x y

+-=τ

d d

(3)

y z

βτ

-=d d 其中：⎪⎩

⎪

⎨

⎧-=+-≤≥-+==1

11)(1x b a bx x ax x b a bx u f i r

三、蔡氏电路Matlab 仿真

通过电路参数的调整，我们可以从蔡氏电路中观察到丰富的非线性动态特性，以下我们详细地给出各种特性的Matlab 仿真结果。

在图1 所示的电路中，选择电路参数为：C 1= 10nF ，C 2= 100nF ，L = 18mH ，改变电路各参数均可改变电路的非线性特性。以改变电阻参数为例，通过Matlab 仿真电阻由小到大改变，初初值取x =0.01，y =0，z =0；步长为0.01，共计算20000个点。当电阻为1.86k Ω时系统开始出现双涡卷吸引子如图3所示。

(a) 吸引子在相平面iL- u(1) 上的投影(b) 吸引子在相平面iL- u(2) 上的投影

(c) 吸引子在相平面u(1)- u(2) 上的投影(d) 吸引子在相平面t- u(1) 上的投影

图3 电阻R =1.86kΩ时的吸引子

给出几种典型的吸引子在状态空间的投影如图4所示。当电阻为1934Ω时系统开始出现螺旋吸引子。

(a) R=1932Ω时的双涡卷吸引子(b) R=1933Ω时的双涡卷吸引子

(c) R=1934Ω时的螺旋吸引子

(d) R=1965Ω时的螺旋吸引子

图4吸引子在相平面iL- u(1) 上的投影

四、总结

由上述分析及仿真结果可知，虽然蔡氏电路非常简单，但其非线性动力学行为却极其丰富，当选择适当

的电路参数时，其动态特性出现混沌现象，此时，奇怪吸引子具有双涡卷结构，出现连续的功率谱，分形特征可用分数维来描述。