数理经济学
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第4组：第8章与第9章
第8章一般函数模型的比较静态分析
主要内容： 1、微分 2、全微分 3、微分法则 4、全导数 5、隐函数的导数 6、一般函数模型的比较静态学 7、比较静态学的局限性
引言
• 静态分析与比较静态分析的概念：
静态分析：根据既定的外生变量来求得内生变量值的分析
方法。它是考察在既定的条件下某一经济事物在 经济变量的相互作用下所实现的均衡状态。 比较静态分析方法：研究外生变量变化对内生变量的影响方 式，以及分析比较不同数值的外生变量下的内生变量的不同 数值。它是考察当原有的条件或外生变量发生变化时，原有 的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。
2、导数的链并不仅限于两个“环节”（两个导数相乘）；全导数
的概念可拓展至复合函数具有两个或多个环节的情况。
3、在讨论的所有情形中，全导数，包括偏全导数，度量因变量对
链中某些基本变量，或者说对某些具有外生性的或不能表示成 其他变量的函数的变量的变化率。全导数和全微分法的实质， 是考虑到直接和间接的所有渠道；通过这些渠道，基本变量变 化的影响能够传递到所研究的特定因变量中。
隐函数的导数
241页例4： 假设方程F（Q,K,L）=0隐含地被定义了一个生产函数Q=f（K,L）， 让我买求出表示与函数F相关的边际物质产品，MPP 和MPP 的方 K L Q Q 法。因为边际产品仅为偏导数 抖 / K 和抖 / L 我们可应用隐函数法则并写出： MPP ≡ ¶ Q = _ FK K ¶ k FQ
D x 0
微分与点弹性
• 弹性：表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度 • 弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例 • 对于需求函数，点弹性可以表示为：
• ed =（dQ/Q）/（dp/p）=（dQ/dP）/（Q/P）
• 一般函数y=f（x），y对x的点弹性为：
• ϵyx=（dy/dx）/（y/x）=边际函数/平均函数
FL ¶K =_ ¶L FK 此外，我们还可由方程F（Q,K,L）=0得到另一偏导数 注：此处由隐函数的求导法则公式得出。 246页的例6讲的是推广到方程组的隐函数求导问题。
F ¶ K = _ L FK MPP ≡ ¶ L L
一般函数模型的比较静态学参照249页到263页
• 比较静态学的局限性： • 比较静态学忽略了从旧平衡向新平衡的调整过程，同时它 也忽略了调整过程中的时间因素。结构，它必然忽略了由 于模型内在的不稳定性，从而导致新均衡难以达到的可能 性。
求解联立方程组的隐函数的步骤： 1、对每个均衡恒等式依次取全微分。
2、选择一个且仅选择一个外生变量，比如X0作为唯一的非均衡因 素，并令所有其他外生变量的微分等于零。然后以dx0除以每个恒 等式中余下各项，并将两个微分的商视为比较静态导数—若模型 包含两个或两个以上的外生变量，应视作一个偏导数。 3、解所得到的方程组，求出比较静态导数，并解释其经济意义。在这 一步，如果使用克莱姆法则，则可以利用这一事实：即前面在检验 |J| ≠0条件时，我们已经计算出现在要解的方程组的系数矩阵行列式 的值。 4、若有其他非均衡因素（其他外生变量），其分析可重复步骤2和步 骤3.尽管在新的方程组中会出现一组不同的比较静态导数，系数矩阵 却会同以前一样，所以可再次运用已知的|J|值。
dQ 抖 Q dK = + dt 抖 k dt Q dL + L dt Q t
• 或者用另一种符号表示：
dQ = Qk K '(t ) + QL L '(t ) + Qt dt
关于全导数和全微分，我们得出三个结论： 1、在本节所讨论的各种例子和情形中，无不涉及一个变量与 第二个变量相关，而第二个变量又与第三个变量函数相关的 情况。因而，必然出现链的概念。
• • 当ed的绝对值 • ＞1 = 1 时，需求在该点 ＜1 有弹性 为单位弹性 缺乏弹性
全微分与微分法则
• 全微分见书185到187页。 • 注意：187页的偏弹性，只衡量一个自变量变化时 因变量的敏感程度。 • 微分法则见书227页到229页。
全导数
• 以232页的例3来讲解全导数的求解过程 • 例3：令生产函数为Q=Q(K,L,t)其中除了两种投入K和L之 外，还有第三个自变量t，表示时间。变量t的存在表明， 生产函数可能随时间的变化以反映技术变化。因此，这是 一个动态的，而非静态的生产函数。因为资本与劳动也随 时间变化而变化，所以我们可以写成K=K(t)和L=L(t)，则 按照全导数公式，产出对时间的变化率可以表示成：
微分
• • • • • • • 导数dy/dx是差商的极限： D y lim dy/dx =f’（x）= Dx 0 D x dy=f’（x）dx，dx和dy分别被称为x和y的微分 D y lim D x 注意： 1、dx为自变量，dy为因变量。 2、若dx=0，则dy=0。 从给定y=f（x）求微分dy的过程被称作微分。
第8章一般函数模型的比较静态分析
主要内容： 1、微分 2、全微分 3、微分法则 4、全导数 5、隐函数的导数 6、一般函数模型的比较静态学 7、比较静态学的局限性
引言
• 静态分析与比较静态分析的概念：
静态分析：根据既定的外生变量来求得内生变量值的分析
方法。它是考察在既定的条件下某一经济事物在 经济变量的相互作用下所实现的均衡状态。 比较静态分析方法：研究外生变量变化对内生变量的影响方 式，以及分析比较不同数值的外生变量下的内生变量的不同 数值。它是考察当原有的条件或外生变量发生变化时，原有 的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。
2、导数的链并不仅限于两个“环节”（两个导数相乘）；全导数
的概念可拓展至复合函数具有两个或多个环节的情况。
3、在讨论的所有情形中，全导数，包括偏全导数，度量因变量对
链中某些基本变量，或者说对某些具有外生性的或不能表示成 其他变量的函数的变量的变化率。全导数和全微分法的实质， 是考虑到直接和间接的所有渠道；通过这些渠道，基本变量变 化的影响能够传递到所研究的特定因变量中。
隐函数的导数
241页例4： 假设方程F（Q,K,L）=0隐含地被定义了一个生产函数Q=f（K,L）， 让我买求出表示与函数F相关的边际物质产品，MPP 和MPP 的方 K L Q Q 法。因为边际产品仅为偏导数 抖 / K 和抖 / L 我们可应用隐函数法则并写出： MPP ≡ ¶ Q = _ FK K ¶ k FQ
D x 0
微分与点弹性
• 弹性：表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度 • 弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例 • 对于需求函数，点弹性可以表示为：
• ed =（dQ/Q）/（dp/p）=（dQ/dP）/（Q/P）
• 一般函数y=f（x），y对x的点弹性为：
• ϵyx=（dy/dx）/（y/x）=边际函数/平均函数
FL ¶K =_ ¶L FK 此外，我们还可由方程F（Q,K,L）=0得到另一偏导数 注：此处由隐函数的求导法则公式得出。 246页的例6讲的是推广到方程组的隐函数求导问题。
F ¶ K = _ L FK MPP ≡ ¶ L L
一般函数模型的比较静态学参照249页到263页
• 比较静态学的局限性： • 比较静态学忽略了从旧平衡向新平衡的调整过程，同时它 也忽略了调整过程中的时间因素。结构，它必然忽略了由 于模型内在的不稳定性，从而导致新均衡难以达到的可能 性。
求解联立方程组的隐函数的步骤： 1、对每个均衡恒等式依次取全微分。
2、选择一个且仅选择一个外生变量，比如X0作为唯一的非均衡因 素，并令所有其他外生变量的微分等于零。然后以dx0除以每个恒 等式中余下各项，并将两个微分的商视为比较静态导数—若模型 包含两个或两个以上的外生变量，应视作一个偏导数。 3、解所得到的方程组，求出比较静态导数，并解释其经济意义。在这 一步，如果使用克莱姆法则，则可以利用这一事实：即前面在检验 |J| ≠0条件时，我们已经计算出现在要解的方程组的系数矩阵行列式 的值。 4、若有其他非均衡因素（其他外生变量），其分析可重复步骤2和步 骤3.尽管在新的方程组中会出现一组不同的比较静态导数，系数矩阵 却会同以前一样，所以可再次运用已知的|J|值。
dQ 抖 Q dK = + dt 抖 k dt Q dL + L dt Q t
• 或者用另一种符号表示：
dQ = Qk K '(t ) + QL L '(t ) + Qt dt
关于全导数和全微分，我们得出三个结论： 1、在本节所讨论的各种例子和情形中，无不涉及一个变量与 第二个变量相关，而第二个变量又与第三个变量函数相关的 情况。因而，必然出现链的概念。
• • 当ed的绝对值 • ＞1 = 1 时，需求在该点 ＜1 有弹性 为单位弹性 缺乏弹性
全微分与微分法则
• 全微分见书185到187页。 • 注意：187页的偏弹性，只衡量一个自变量变化时 因变量的敏感程度。 • 微分法则见书227页到229页。
全导数
• 以232页的例3来讲解全导数的求解过程 • 例3：令生产函数为Q=Q(K,L,t)其中除了两种投入K和L之 外，还有第三个自变量t，表示时间。变量t的存在表明， 生产函数可能随时间的变化以反映技术变化。因此，这是 一个动态的，而非静态的生产函数。因为资本与劳动也随 时间变化而变化，所以我们可以写成K=K(t)和L=L(t)，则 按照全导数公式，产出对时间的变化率可以表示成：
微分
• • • • • • • 导数dy/dx是差商的极限： D y lim dy/dx =f’（x）= Dx 0 D x dy=f’（x）dx，dx和dy分别被称为x和y的微分 D y lim D x 注意： 1、dx为自变量，dy为因变量。 2、若dx=0，则dy=0。 从给定y=f（x）求微分dy的过程被称作微分。