高中物理竞赛_话题16：多个物体的平衡问题

话题16： 多个物体的平衡问题
1、如图所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、2⋅⋅⋅⋅⋅⋅9，其中绞接点8、
2、
5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水
平滑动。

各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力
2
P
，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的内力。

解： 由于点9可沿水平方向无摩擦滑动，故屋架在点9处所受外力只可能沿竖直方向，设为9N 。

由于屋架所受外力9N 、2
P
和P 均沿竖直方向，则屋架在点8所受的外力也只可能沿竖直方向，设其为9N 。

以整个屋架为对象，列各外力对支点8的力矩平衡方程，有
9242
P
P l l N l ⋅+
⋅=⋅ 所以 92
P
N =
9N 的方向竖直向上。

又由整个屋架的受力平衡关系应有892
P N N P +=+
所以 892
P
N P N P =+
-= 8N 的方向竖直向上。

假设将绞接点5、6、7、9这部分从整个屋架中隔离出来，则这部分受到杆15、杆47、杆36的作用力，这几个作用力均沿与杆15平行的方向，设其以一个力T 表示，则这个力T 也必与杆15方向平行。

此外，这部分还受到杆25的作用，设其为
25T ，显然25T 的方向应沿水平方向；这部分还受到支持力9N 的
作用。

这样，这部分就等效为受T 、25T 和9N 三个力的作用而平衡。

则表示此三82T 力的矢量构成一个封闭三角形，由前述此三力的方向关系可以确定，这一三角形只能是如图所示的三角形，由此三角形可见，2592
P T T ==
杆25对点5的作用力方向水平向左，可见杆25中的内力为张力。

25
T N
又假设取绞接点8为研究对象，它受到支持力8N 和杆82对它的作用力82T 和杆81对它的作用力81T ，由于此三力平衡，则8N 与82T 的合力必沿杆81的方向，可见应有
828N N P ==
且82T 的方向应水平向右，即杆82的内力为张力。

再假设取绞接点2为研究对象，由以上分析知，其左、
右两水平杆对它的作用力均为拉力，其大小分别为P 和2
P。

而另外只有杆24能对点2提供水平方向的分力，则为使点
2在水平方向受力平衡，杆24作用于点2的力必沿由2指
向点4的方向，进而为使点2在竖直方向上受力平衡，则杆
12对点2的作用力必沿竖直向下的方向。

综合上述可得点2的受力如图所示。

由图知 0
24cos 452
P
T P +=
故得242T P =
即杆24
中的内力为张力，其大小为2
P 最后以点4为研究对象，它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。

此三力应互相平衡。

现以42T 、47T 、43T 表示这三个力，由于42T 的方向是确定的（杆42的内力为张力，则42T 必沿由点4指向点2的方向），而47T 、43T 又只能沿对应杆的方向，则此三力只可能取如图所示的方向。

由点4在水平方向的受力平衡，应有
00
4247cos 45cos 45T T =
所以 4247T T =
由点4在竖直方向的平衡，应有
000
43424742sin 45sin 452sin 45T T T T P =+==
即杆43中的内力为张力，大小为P 。

3、一空心圆环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图所示，两管口处在一水平线上。

现向管内注入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢
42
47
12n 1
n -
珠都与圆管截面相切。

已知每个钢珠重G ，共2n 个。

求从左边起第k 个和第(1)k +个钢珠之间相互作用压力k N 。

假设系统中处处无摩擦。

分析与解:利用特殊值，求解一般性问题，特殊值是指物理量在某一特殊情况下的取值．物理量在一般情况下的量值之间必然与特殊值之间存在一定的联系．若能确定某一特殊值，则往往可以借助数学技巧来求出一般情况下该物理量的量值．
研究一般性问题——分析第k 个钢珠的受力情况，此钢珠受四个力的作用：重力G ，管壁对它的弹力k T ，第(1)k -个钢珠对它的压力1k N -及第(1)k +个钢珠对它的压力k N ．由于k T 的量值未知，且不为本题所求，故选取如图所示的与k T 方向共线的轴作为
y 轴建立直角坐标系．
由平衡条件知x 轴方向的合力为零，得
1cos cos cos 0k k N G N αβα-+-=
由几何知识，得2
θα=
（其中2n
πθ=
），
(1)2k n
π
βα-=
+， 故1(21)cos 4cos 4k k k n N N G n ππ
--⎛⎫
⎪
-=
⎪ ⎪⎝
⎭
． (1) 根据(1) 式，如何求得k N ？对第1个钢珠进行受力分析，如图所示，得到一特殊值，
即 1cos 4cos 4n N G n ππ⎛
⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ ， (2) 故可对(1)式进行递推，得
213cos 4cos 4n N N G n ππ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪
⎝
⎭， β
αα
β
y
x
G
k
T k
N 1
k N -α
y '
x '
G
1T 1
N α
325cos 4cos 4n N N G n ππ
⎛⎫ ⎪
-=
⎪ ⎪⎝
⎭
， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1(21)cos 4cos 4k k k n N N G n ππ
--⎛⎫ ⎪-=
⎪ ⎪⎝
⎭
将上面所列等式左、右两边分别相加，得
1
35(21)cos cos cos 444cos
4k k k n n n N N G n
ππππ
--⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
⎪
⎝
⎭-=，
把(2)式代入，得1
(21)cos 4cos
4n
k k k G
n N n
ππ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭=
∑．而
11
1(21)1cos 2cos sin 42442sin
41(1)sin sin 222sin
4n
n
k k n
k k k n n n n n
k k n n n
ππππππππ===-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑
又
1(1)sin sin 22232(1)sin 0sin sin sin sin sin sin 2222222sin
2n
k k k n n k k n n n n n n n k n
ππππππππππ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=∑ 故sin
2sin
2k k n N G n
π
π
=
⋅
4、如图所示，一轻质木板EF '长为L ，E 端用铰链固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳F D ''拉住。

木板上依次放着(21)n +个圆柱体，半径均为
R ，每个圆柱体重量均为G ，木板与墙的夹角为α ，一切摩擦都可略去，求F D ''绳上的张力T 。

分析与解: 以(21)n +个圆柱体组成的整体为研究对象,整体受到重力(21)n G +、木板的支持力N 和墙对整体的支持力F ，其中重力的方向竖直向下，如图所示，合重力经过圆柱1n +的轴心，墙的支持力F 垂直于墙面，并经过圆柱1的轴心，木板给的支持力N 垂直于木板。

由于整体处于平衡状态，此三力不平行必共点，即木板给的支持力N 必然过重力和墙的支持力
F 的交点。

根据三力平衡条件可得:
sin (21)N n G α⋅=+
因为木板EF '是轻质的,以木板为研究对象.处于平衡状态. 以E 端为转轴,它受两个力一个力为N 垂直于木板向下,另一个是绳上的张力T .设E 端到
N 的垂直距离为L '.
A 到
B 之间的距离为2nR .A 到
C 之间的距离为
2sin nR α.A 到D 之间的距离为22sin nR α.
A 到H 之间的距离为
cos R
α.A 到H '之间的距离为R . H '到H 之间的距离为
cos R
R α
+.E 到H '之间的距离为 cos ()cot cos sin sin R R R R ααααα
+⋅=+. E 端到N 的垂直距离为2cot 2sin sin R
L R nR ααα
'=
++. E 端到T 的垂直距离为cos L α⋅.
根据力矩平衡条件可知
:
'
'
'
2cos (
cot 2sin )sin R
T L N R nR αααα
⋅=⋅++ 而N 的求法,由以上两式可得
2(21)(cot 2sin )cos sin sin R n G R
T R nR L ααααα+=
++⋅
22(21)11(2tan )sin cos sin n R T G n L αααα
+=++
5、如图所示，用20
在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。

已知每一称木块的长度为L ，横截面是边长为1
()4
h h L =
的正方形。

要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），试计算跨度K 与桥孔高度H 的比值。

分析:从上往下分别将砖命名为1、2、3、⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ,解：伸长最大长度时
第一块砖的重力作用力恰好通过第二块边缘，故第一块最多伸出
2
L
第一、二块砖的重力作用力恰好通过第三块边缘，故第二块最多伸出4
L 第一、二、三块砖的重力作用力恰好通过第四块边缘，故第三块最多伸出
6
L
以此类推，第n 块砖伸长2L n
n 块的组成的桥孔高度(1)H n h =-.
跨度
2()
2462(1111
(1)
231
L L L L
K n L n =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-）
当10n =时、111
(1) 2.83239
K L L =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 9
(101)9 2.254
H h h L L =-===
则 1.258K
H
=
6、一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图所示为其一截面图，已知图中相邻两钢杆间的距离为9m ，靠桥面中心的钢杆长度为2m （即2AA DD m ''==）
，BB EE ''=，CC PP ''=，又已知两端钢缆与水平方向成0
45角。

若钢杆及钢缆的自重均不计，为使每根钢杆承受的负荷相同，试求每根钢杆的长度应各为多少？ 解、如图所示，设每根钢杆承受的拉力均为F
由整体法可得0
2sin 456C F F =
解得6
C F F =
在C 处：设钢缆BC 承受的拉力为BC F ，由平衡条件可知
竖直方向上满足 0
sin 45cos C BC F F F α=+
水平方向上满足 0
cos 45sin C BC F F α=
由以上各式解得 00
sin 452
cot cos 453
C C F F F α-== 在B 处：设钢缆AB 承受的拉力为AB F ，由平衡条件可知 竖直方向上满足 cos cos BC AB F F F αβ=+ 水平方向上满足 sin sin BC AB F F αβ= 由以上各式解得
0cos 2116cot cot cot sin sin cos 45333
BC BC BC C F F F F F F αβαααα-==-=-=-= 故1
cot (29)53
BB AA B A m m β''''=+=+⨯=
2
cot (59)113
CC BB C B m m α''''=+=+⨯=
即5BB EE m ''==，11CC PP m ''==
7、 如图所示，n 个质量为m
的完全相同的物块叠放在一起，所有接触面的动摩擦因数均
P
P
为μ，滑轮摩擦不计，当F 为____________时，所有物块恰好相对滑动。

解、如答图所示，对物块1：水平方向受到左边滑轮上的绳水平向左的拉力1T 、物块2对物块1水平向右的摩擦力1f mg μ=，
据平衡条件有2
111T f mg mg μμ===⨯
对物块2：水平方向受到右边滑轮绳上的水平向右的拉力2T 、物块3和物块1水平向左的摩擦力1f 和2f 、左边滑轮绳上的水平向左的拉力1T ，
据平衡条件有2
2112242T T f f mg mg mg mg mg μμμμμ=++=++==⨯
同理可分析得出，
对物块3：据平衡条件有2
322342+393T T f f mg mg mg mg mg μμμμμ=++=+==⨯
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
对物块n ：据平衡条件有
2n-11n (n-1)2(1)+n n n n T T f f mg n mg mg mg μμμμ-=++=+-=⨯
故2
n n F T mg μ==⨯
8、如图所示，两本书A 和B ，逐页交叉后叠放在一起，平放在光滑的水平桌面上。

设书的每张纸质量为5g ，每本书均为200张纸，纸与纸之间的动摩擦因数0.3μ=。

问至少需用多大的水平力，才能将它命拉开2(10/)g m s =
分析：由于B 书的第一页在最上面，故B 书每页受到的弹力小于A 书相应的页码受到的弹力，滑动摩擦力也就小些。

求出从上至下每页所受到的摩擦力，就可以找出一般的表达式。

解：拉B 书所用的力较小。

第一页仅受的摩擦力1f mg μ=，第二页则受到A 书上、下两面的摩擦力，共为
2235f mg mg mg μμμ=+=
第三页则受到A 书上、下两面的摩擦力，共为
3459f mg mg mg μμμ=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
第n 页则受到A 书上、下两面的摩擦力，共为
2(1)(21)(43)n f n mg n mg n mg μμμ=-+-=-
F
B
A
要把书拉出，则需要的拉力为
123200(159797)1197F f f f f mg N μ=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=
注：此题求解过程说明了建立通式的重要性，这是利用数学归纳的方法解答物理问题。